Transcript Medan Vektor - Blog Mahasiswa UI

Medan
Vektor
Kalkulus Vektor
• Vector calculus (or vector analysis) is a branch of
mathematics concerned with differentiation and
integration of vector fields, primarily in 3 dimensional
Euclidean space R3
• Vector calculus plays an important role in differential
geometry and in the study of partial differential equations.
• It is used extensively in physics and engineering, especially
in the description of electromagnetic fields, gravitational
fields, and fluid flow.
• Vector calculus was developed by J. Willard Gibbs and
Oliver Heaviside near the end of the 19th century, and
most of the notation and terminology was established by
Gibbs and Edwin Bidwell Wilson in their 1901 book,
Vector Analysis
Medan Vektor
Konsep fungsi yang sudah dipelajari :
1. Fungsi bernilai riil dari satu peubah riil
2.Fungsi bernilai vektor dari satu peubah riil
3.Fungsi bernilai riil dari beberapa peubah riil
Selanjutnya akan dipelajari konsep fungsi bernilai vektor
dari beberapa peubah riil.
Fungsi tersebut dinamakan medan vektor.
Contoh:
 
F p  F  x, y   
1
2
yi
1
2
xj
Medan Vektor
Contoh:
Buatlah sketsa sebuah medan vektor berikut ini :
1. F  x , y   xi  y j
2. F  x , y  
xi y j
x y
2
2
Jawab :
F  x , y   xi  y j
F  x, y  
xi y j
x  y
2
2
Medan Skalar
Berlawanan dengan medan vektor, medan skalar adalah
suatu fungsi F yang mengaitkan sebuah bilangan pada
setiap titik dalam ruang.
Gradien Medan Skalar
Misalkan f(x,y,z) suatu medan skalar dan f dapat
didifferensialkan, maka gradien f ( f ) adalah medan vektor
yang diberikan oleh :
F  x, y, z    f  x, y, z  
f
x
i
f
y
j
f
z
k
Medan vektor ini disebut medan vektor konservatif,
sedangkan f disebut fungsi potensialnya.
Note :



 merupakan operator dimana    x i   y j   z k
Ketika  beroperasi pada sebuah fungsi f, operator
tersebut menghasilkan gradien  f , dapat ditulis
juga sebagai grad f
Divergensi dan Curl dari Medan Vektor
Medan vektor :
F  x, y, z   M
 x, y, z  i 
N
 x, y, z 
j  P  x, y, z  k
berhubungan dengan 2 medan penting lainnya, yaitu
divergensi (div) F yang merupakan medan skalar, dan
curl F yang merupakan medan vektor.
Definisi: Misalkan F  M i  N j  P k adalah medan
vektor dan  M ,  N , dan  P ada, maka :
x
div F 
M
x

N
y
y

z
P
z
 P N 
 N M 
P 
 M
curl F  



i  
k
 j
z 
x 
y 
 z
 y
 x
Bentuk lain div F dan curl F
1.
 

 
 .F   i 
j  k . M i  N j  Pk
z 
 x y


2.
M

x
F 
N

y
P
z
i
j
k



x
y
z
M
N
P

 div F
 P N 
 N M 
 P M 




i  
k
 j
z 
z 
y 
 x
 y
 x
 rot F  curl F
Makna div dan curl
• Jika F melambangkan medan kecepatan dari suatu
fluida, maka div F di titik p mengukur
kecendrungan fluida tersebut untuk menyebar
meninggalkan p (div F > 0) atau mengumpul
menuju p (div F < 0)
• Curl F menyatakan arah sumbu dimana fluida
tersebut berotasi (melingkar) paling cepat dan
|curl F| mengukur laju rotasi ini.
• Arah rotasi ini mengikuti aturan tangan kanan
Latihan
1. Gambarkan medan vektor untuk
a. F  x , y    yi  x j
b. F  x , y    xi  2 yj c. F  x , y   xi  y j  zk
2. Tentukan div F dan curl F dari
a. F(x,y,z)= ex cos y i +ex sin y j +z k
b. F(x,y,z)= x2e-z i + y3 ln x j + z cos y k
3. Misalkan f adalah sebuah medan skalar dan F adalah
medan vektor. Tentukan mana yang medan skalar,
medan vektor atau tidak berarti apa-apa
a. div f
f. curl (grad f)
b. grad f
g. grad (div F)
c. curl F
h. curl (curl F)
d. div (grad f)
i. grad (grad f)
e. div (div F)
j. div (curl(grad f))
Latihan
4.
5.
Tunjukkan bahwa:
a. div (curl F) = 0
b. div (fg) = f div (g) + g div (f) + 2 (f) . (g)
c. div (f x g) = 0
d. curl (grad f) = 0
e. div (f F) = f (div F) + (grad f) . F
f. curl (f F) = f (curl F) + (grad f) x F
g. div (F x G) = G . curl F – F . curl G
Fungsi skalar div (grad f) =  . f (juga ditulis 2f ) disebut
Laplacian. Tunjukkan bahwa 2f = fxx + fyy + fzz