Transcript aljabar matriks pert 8

ALJABAR MATRIKS
pertemuan 8
Oleh :
L1153
Halim Agung,S.Kom
Transformasi Linier
Pengertian Transformasi Linier.
Pandang 2 buah himpunan A dan B. kemudian pasangkan setiap x є A dengan satu dan hanya satu y є B.
Dikatakan terdapat suatu fungsi f : A→B.
Contoh 1.
Misalkan A = {x1,x2,x3}, B = {y1,y2} , Himpunan A di atas dinamakan Domain dan himpunan B dinamakan Codomain.
terlihat bahwa setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B.
Jadi f adalah fungsi f : A→B.
Contoh 2.
terlihat bahwa tidak setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B.
jadi f adalah bukan fungsi A B
Catatan :
Apabila himpunan A dan B di samping merupakan himpunan bilangan riil R1 atau himpunan
bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya dapat dirumuskan dalam 1 hubungan matematis.
Contoh 3.
Diketahui Suatu transformasi T : R3→ R3 dengan rumus Transformasi T(x1,x2,x3) = (2x1 – x2 ,x2 + x3 ,x32),
untuk setiap x = (x1,x2,x3)єR3. vector(2,1,-1) akan ditransformasikan oleh T menjadi : T(2,1,-1) = (3,0,1).
Kita katakan vektor (3,0,1) adalah peta dari vektor (2,1,-1), sebaliknya vektor (2,1,-1) adalah prapeta dari vektor (3,0,1)
Perubahan Basis
Basis orthonormal
Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2,…, v n adalah vektor – vektor dalam V.
Beberapa definisi penting
a. H = { v 1, v 2,…, v n } disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus ,yaitu < v i, v j > = 0
untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n.
b. G = { v 1, v 2,…, v n }disebut himpunan orthonormal bila G himpunan orthogonal normalisasi dari vi = 1 , i = 1,2,…,n
atau < v i, v i > = 1
Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormal
Diketahui V RHD (Ruang Hasil kali Dalam / perkalian dot) dan H = { v 1 , v 2,…, v n }∈ V merupakan himpunan orthogonal
dengan vi ≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan sebagai S = { s1, s2,…, sn } dengan
v
si  i
, i = 1,2,…,n.
vi
Kalau dilihat secara seksama , sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schimdt (google untuk
lebih jelas) yang telah mengalami reduksi yaitu untuk nilai proy W(vi) = 0 akibat dari v 1 , v 2,…, v n yang saling
orthogonal.
Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal biasa disebut dengan menormalisasikan vektor.
Jika dim (V) = n , maka S juga merupakan basis orthonormal dari V.
Contoh :
Next ,
Jika V ruang vektor, S : { s1, s2,…, sn } merupakan basis V maka untuk sembarang x ∈ V, dapat dituliskan :
x = k1.s1 + k2.s2 +…+ kn.sn dengan k1, k2, …, kn skalar. k1, k2, …, kn juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.
 k1
k 2 disebut matriks x relatif terhadap basis S
xS  
:
 x, s1
 

 kn 
x, s 2
Jika S merupakan basis orthonormal , maka x S  
:

 x, s n


 
 



 
Apa hubungannya dengan perubahan basis ?
Ini hubungannya …
Contoh :
Transformasi Vektor Linier
Definisi :
T : V →W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. Transformasi T disebut transformasi vektor linier
jika terpenuhi :
1. Untuk setiap v1,v2 є V T(v1) + T(v2) = T(v1+v2), dan
2. untuk setiap v є V dan λ berlaku λT(v) = T(λv)
Contoh :
Diketahui T : R3→R3 dimana T(x1,x2,x3) = (2x1+x2 , x2 , x3+1) untuk setiap (x1,x2,x3) є R3.
T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1,misal tak terpenuhi.
Ambil v1 = (1,0,1), v2 = (1,0,1) maka T(v1) + T(v2) = (2,0,1) + (2,0,2) = (4,0,3).
Sedangkan T(v1+v2) = (4,0,2)
Jadi T(v1)+T(v2) ≠ T(v1+v2)
Matriks dan Transformasi Vektor Linier
Definisi :
Pandang T : Rn→Rn .suatu transformasi vektor linier.
{ ei }, i = 1,2,3,…,n, basis natural Rn .
{ εi } , i = 1,2,3,…,m, basis natural Rm .
T(e1), T(e2),… T(en) adalah vector-vektor di Rm, sehingga merupakan kombinasi linier dari { εi }
Misalnya :
T(e1) = a11ε1+ a21ε2+…+ am1εm
T(e2) = a12ε1 +a22ε2+…+ am2εm
……………
T(en) = a1nε1+ a1nε1+…+ amnεm
Transpose dari matriks koefisien diatas :
T e
 a11 a12

 a 21 a 22

...
...

 am1 am2

... a1n 

... a 2n 
... ... 

... am n mxn
Disebut matriks REPRESENTASI dari transfomasi linier T yang relative terhadap basis-basis natural { ei } dan { εi }
Contoh :
T : R3 → R3 .suatu transformasi linier dimana T(x1,x2,x3) = (x1,2x2,x1+x3). Mencari matriks transformasi tak lain adalah
mencari peta dari vektor - vektor basis.jika tidak disebutkan maka menggunakan basis natural (matriks identitas).
T(e1) = T(1,0,0) = (1,0,1)=1e1 + 0e2 + 1e3.
T(e2) = T(0,1,0) = (0,2,0)=0e1 + 2e2 + 0e3.
T(e3) = T(0,0,1) = (0,0,1)=0e1 + 0e2 + 1e3.
Maka matriks Representasi nya adalah T e
1 0 0


 0 2 0
1 0 1


 1 0 0  2   2 

   
Misalnya peta dari (2,3,1) , maka vektor hasil dari transformasi linier nya adalah  0 2 0  3    6 
 1 0 1  1   3 

   
Tugas
1. Joint dalam kelompok (3 orang)
– kelompok ditentukan oleh dosen
2. Buatlah soal (Boleh Goggling) mengenai pertemuan hari ini lengkap dengan solusi dalam
menjawab soal tersebut (WAJIB 10 soal!!! )
3. Syarat penilaian :
1. Tepat 10 soal (10 point)
2. Solusi + Jawaban dari soal diatas (40 point)
– nilai maximum untuk solusi & jawaban yg benar
3. Tidak ada kerjasama antar kelompok (10 point)
4. Tingkat kerumitan soal tinggi (40 point)