Transcript membangun-dan-bebas-linier

KELOMPOK 3
Matematika 5F
MATERI
: 4.4 MEMBANGUN DAN BEBAS
LINIER
NAMA KELOMPOK
1. ELIN EKAWATI.S
2. JOKO CAHYONO
3. PURWANTI
4. PUTRI ARUM
5. PRISTIAN
08411.117
08411.163
08411.229
08411.230
08411.225
HIMPUNAN PEMBANGUN ATAU PERENTANG
 Jika
V adalah ruang vektor atas medan K , S = {V1, V2,
…Vr} С V dan k1, k2, …, kr adalah skalar, bentuk k1V1
+ k2V2 + … + krVr disebut kombinasi linear dari S.
Sp(S) = { k1V1 + k2V2 + … + krVr| Vi є S, ki є K },
himpunan semua kombinasi linear dari S. Untuk S
=Ø , didefinisikan Sp(S) = {0}.
 a.
 b.
Sp(S) adalah subruang dari V; S disebut himpunan
pembangun dari Sp(S).
Jika v , v , … , v adalah vektor-vektor di
dalam sebuah ruang vektor V dan jika
tiap-tiap vektor di dalam V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari
v , v , … , v maka kita katakan bahwa
vektor-vektor ini membangun/merentang
V
1
1
2
2
r
r
Menentukan Kebebasan/Ketidakbebasan Linier
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Misalkan V ruang vektor atas medan K dan S = {v1, v2, … |vr є V}.
S disebut bergantungan linear/ tak bebas linear (linearly
dependent) jika persamaan k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0
menghasilkan nilai-nilai kr yang tidak semuanya 0. Jika dalam
persamaan itu memberikan semua kr = 0, maka S disebut bebas
linear (linearly independent).
Jika y = k1V1 + k2V2 + … + krVr, maka dikatakan y bergantungan
linear pada S.
Jika S memuat vektor nol, maka S bergantungan linear. Jika S
bergantungan linear dan S С T , maka T juga bergantungan linear.
Konvers dari (4): Jika S bebas linear, maka S tidak memuat vektor
nol; jika S bebas linear dan T С S, maka T bebas linear.
Jika S1 diperoleh dari himpunan S dengan membuang vektorvektor yang bergantungan pada S, maka Sp(S1) = Sp(S)
Teorema
Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor
adalah:
1. Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak
salah satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S.
2. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada
S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi
linier dari vektor-vektor lain pada S.

Misalkan S = {v1, v2, ……,vr} adalah suatu
himpunan dengan dua atau lebih vektor. Jika kita
mengasumsikan bahwa S tidak bebas linier, maka
terdapat skalar k1, k2, ……kr, yang tidak semuanya
nol. Sehingga : k1V1 + k2V2 + … + krVr = 0.
untuk lebih jelasnya, misal k1 ≠ 0. maka (2) dapat
ditulis sebagai :
yang menyatakan v1 sebagai suatu kombinasi
linier dari vektor-vektor lain pada S.
Sebaliknya, jika kita mengasumsikan bahwa paling
tidak satu vektor pada S dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linier dari vektor-vektor lain. Untuk
lebih spesifiknya, misal :
v1 = c2v2 + c3v3 +. . . . . crvr
Sehingga
v1 – c2 v2 – c3 v3 - . . . . . - c r vr = 0
Maka S tidak bebas linier karena persamaan :
k1 v1 + k 2 v2 + … + kr vr = 0
Sehingga dipenuhi oleh
k1 = 1, k2 = -c2 . . . . .kr = -cr
Yang tidak semuanya nol. Bukti untuk kasus
dimana beberapa vektor selain V1 dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain
pada S.
Teorema
 Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang
mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier.
 Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah
bebas linier jika dan hanya jika tidak ada satu pun dari
vektornya merupakan kelipatan skalar dari vektor
lainnya.
Untuk vektor v1, v2, …… vr sembarang,
himpunan S = {v1, v2, ….. Vr, 0} tidak bebas
linier karena persamaan
0v1 + 0v2 + . . . . 0vr + 1(0) = 0
menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linier
dari vektor-vektor pada S dengan koefisienkoefisien yang tidak semuanya nol.
Kebebasan Linier pada R² dan
R³
 Pada R² atau R³, suatu himpunan yang terdiri dari
dua vektor adlah bebas linier jika dan hanya jika
vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang
sma ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga
titik awalnya terletak pada titik asal .
Z
Z
a.tidak bebas linier
Z
b. tidak bebas linier
V2
c.bebas linier
V1
V1
V1
V2
Y
V2
X
Y
X
X
Y
Teorema
1. Misalkan S = {v1, v2, . . . ,vr} adalah suatu
himpunan vektor-vektor pada Rⁿ. Jika r > n,
maka S tidak bebas linier.
Bukti

Misalkan :
v1 = {v11, v12, . . . ., v1n}
v2 = {v21, v22, . . . ., v2n}
vr = {vr1, vr2, . . . ., vrn}
perhatikan persamaan ini,
k1V1 + k2V2 + … + krVr = 0
Jika kita menyatakan kedua ruas dari persamaan ini dalam bentuk komponen-komponen , maka kita peroleh sistem
persamaan,
V11k1,+V21k2+ . . . .+ Vr1kr = 0
V21k1+V22k2+ . . . .+Vr2kr = 0
V1nk1 + V2nk2 + . . . . + Vrnkr = 0
Ini merupakan sistem homogen yang terdiri dari n persamaan dengan r faktor yang tidak diketahui k1, k2, . . . , kr.
Karena r > n, maka sesuai dengan teorema pertama, sistem tersebut memiliki solusi-solusi non trivial.
Contoh soal
1. Tunjukkan bahwa v =(3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1= (1,-2,0,3), u2 = (2,3,0,1) dan u3= (2,-1,2,1)
Jawab:
Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3, maka dapat ditentukan x, y dan z
sehingga: v = xu1 + yu2 + zu3
(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3)+ y(2,3,0,-1) + z (2,-1,2,1)
(3,9,-4,-2) = (1x,-2x, 0x, 3x)+ (2y,3y,0y,-1y) + (2 z,-1z,2z,1z)
(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z, -2x+3y-z, 2z, 3x-y+z)
Diperoleh persamaan:
X+2y+2z=3
-2x+3y-z=9
2z=-4
3x-y+z=-2
Penyelesaian:
x =1, y = 3 dan z = -2
Jadi v = u1 + 3u2 – 2u3
Jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1, u2, dan u3 dan bebas linier.
^-^