Sistem Persamaan linier
Download
Report
Transcript Sistem Persamaan linier
Sistem Persamaan linier
Persamaan linier
Definisi
N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a1x1 + a2x2+…+ an xn=b
disebut persamaan linier, dengan a1, a2, … ,an dan b adalah konstantakonstanta riil.
Sekumpulan nilai/ harga sebanyak n yang disubtitusikan ke n variable :
a1=k1, x2=k2 … xn=kn sedemikian sehingga persamaan tersebut
terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut
himpunan penyelesaian (solusi set).
Contoh
2x1 + x2 + 3x3=5
x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi
x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi
x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1.
Definisi
Sebuah himpunan berhingga dari persamaanpersamaan linier didalam n variable: x1, x2, …, xn
disebut sistem persamaan linier.
Sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi
disebut inconsisten. Sedangkan sistem persamaan
linier yang mempunyai paling sedikit sebuah solusi
disebut consisten.
Misal ada 2 persamaan dengan 2 variabel.
P1: a1x1+ a2x2=b1 (a1, a2≠0)
P2: a1x1+ a2x2=b2 (c1, c2≠0)
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam
grafik, maka:
U2
U2
U2
P2
X1
X1
P1
P2
Inconsisten
P1
Konsisten
X1
P2
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
a11x1 + a12x2 + a13x3 +…+a1nxn = b1
SPL umum: a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+a2nxn
:
am1x1 + an2x2 + an3x3 + …+annxn
= b2
= bm
matriks koefisien
A=
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2n
x1
x=
:
am1 am2 am3 amn
Ax = b
x2
b1
b =
b2
:
:
xm
bm
Penyajian SPL sebagai matriks augmented
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn
a21x1 + a22x2 + a23x3 +… + a2nxn
= b1
= b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + … + amnxn = bm
a11
a21
:
.
am1
a12
a22
a13 …
a23 …
a1n
a2n
b1
b2
am2
am3 …
amn
bm
matriks augmented
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGEN
AX=0
SELALU ADA JAWAB
JAWAB HANYA
JAWAB TRIVIAL
(NOL);R=N
NON HOMOGEN
AX=B, B≠0
TAK PUNYA JAWAB
R(a)≠r(A,B)
SELAIN JAWAB TRIVIAL,
ADA JUGA JAWAB
NONTRIVIAL R<N
JAWAB UNIK
(TUNGGAL)
R=N
MEMPUNYAI JAWAB
BANYAK
JAWAB
R<N
Untuk menyelesaikan persamaan linier menggunakan metode ”Gauss. Jordan”
yaitu: merubah matriks augmented (A|B) menjadi matriks eselon terreduksi
dengan cara melakukan transformasi elementer.
Sistem Persamaan Linier Non Homogen
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila :
Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3
Jawab:
-3x+6y=-9
x-2y=3
Dalam bentuk matriks=
3 6 x 9
1 2 y 3 atau Ax B
- 3 6 : 9
1 2 : 3 (3) 1 2 : 3
(A | B)
B12
B21
1 2 : 3 ~
3 6 : 9 ~ 0 0 : 0
R(a)=r(A|B)=1
Jumlah variabel=2
r<n
1<2
Jadi jawabnya tidak tunggal.
Contoh
2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen
Di bawah ini :
x1 2x2 x 3
2
3x1 x 2 2x3 1
4x1 3x2 x 3 3
2x1 4x2 2x3 4
Jawab :
1
1 2
2
x
1
3 1 2
1
x 2 A x B
4 3 1
3
x3
2
4
2
4
1
3
4
2
2
1
1 2
3 1
4
2
( 3)
2 B21
~
1 B ( 4)
31
3 ~( 2)
B
4 41~
2
1
2 B ( 1/ 5)
1
0 5 5 5 2 ~
0 11 5 5
0
0
0
0
2
1
2
1
0
1
1
1
0 11 5 5
0
0
0
0
2
1
2
1
0
1
1
1
0 11 5 5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
B12
( 2 )
1
0
0
0
~
B32
B13
(1)
~
B23
( 1)
(11)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
6
0
0
1
0
0
0
1
6
0
B3
( 1 / 6 )
~
1
0
1
0
Rank (A) = R (A|B) = 3 =banyaknya variabel
Jadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:
x1 0x2 0x3 1
0x1 x 2 0x3 0
0x1 0x2 x3 1
x1 1
atau
x2 0
x3 1
Sehingga sebagai penyelesaiannya :
x1
1
x x 2 0
x 3
1
Sistem Persamaan Linier Homogen
Bentuk umum: Ax = 0, yaitu:
a11 x1 + a12 x2 + ... a1n xn = 0
a21 x2 + a22 x2 + ... a2n xn = 0
a11
a
21
amn
a12
a22
am 2
am1 xm+am2 xm + ... amn xn = 0
Atau=
a1n x1 0
x 0
a2 n
2
amn xn 0
Matriks A berukuran (m x n)
Matriks x berukuran (n x 1)
Matriks o berukuran (m x 1)
Karena matriks lengkapnya (A|Õ) maka akan selalu berlaku rank (A)=rank (A|Õ).
Sehingga sistem persamaan linier homogen selalu mempunyai jawab (konsisten).
Contoh
1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
x1 x 2 x 3 0
x1 x 2 2x3 0
atau
x1 2x2 x3 0
1 1 1 x1
0
1 1 2 x 0
2
1 2 1 x 3
0
Jawab :
( 1)
1 1 1 0 B21
~
(A | 0) 1 1 2 0
1 2 1 0 B31( 1)
1 1 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0
x0
( 1)
B23 1 1 1 0
~
~
0 1 0 0
0 0 1 0 B13( 1)
x1 0x2 0x3 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0x1 x2 0x3 0
0 0 1 0
0x1 0x2 x3 0
Sehingga solusinya :
x1 0 , x2 0 , x3 0
Yaitu solusi trivial atau
B12
2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :
x1 x 2 x 3 x 4
0
1 1 1 1
x1 3x2 2x3 4x4 0 atau 1 3 2 4
2 0 1 1
2x1 x3 x 4
0
Jawab :
( 1)
1 1 1 1 0 B21
~
(A | 0) 1 3 2 4 0
( 2 )
2 0 1 1 0 B31
x1
x 0
2 0
x3
0
x 4
1 1 1 1 0 B32
~
0 2 1 3 0
0 2 1 3 0
(1)
(1/ 2 )
1 1 1 1 0 B 2
~
0 2 1 3 0
0 0 0 0 0
1 0 B12 ( 1)
1 1 1
~
0 1 1 / 2 3 / 2 0
0 0 0
0 0
1 0 1 / 2 1 / 2 0
0 1 1 / 2 3 / 2 0
0 0 0
0
0
Rank (A) = (A|0) = 2< n = 4
jadi solusinya tidak tunggal
(banyak)
1
1
x1 0x2 x 3 x 4 0
2
2
1
3
0x1 x 2 x 3 x 4 0
2
2
1
1
x1 x 3 x 4
2
2
1
3
x 2 x3 x 4
2
2
Dimana : x3 dan x4 bebas.
unt uk x3
a dan x4 b
1
1
didapat x1 - a b
2
2
1
3
x2 - a b
2
2
Sehingga :
x1 - 1/2a
x - 1/2a
x 2
x3 a
x 4 0a
1/2b
- 1/2
1/2
- 1/2
- 3/2
- 3/2b
b
a
1
0
0b
b
0
1
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b