Transcript Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Pengertian-Pengertian
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial
diklasifikasikan sebagai:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
2
Contoh:
5
 d3y 
 d2y 

 
  y  ex
2
 dx3 
 dx2 
x
1




adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian
Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan
digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh
f(x) dan turunannya.
Contoh: y  ke x adalah solusi dari persamaan
karena turunan y  ke
x
adalah
dy
 y0
dt
dy
 ke x
dt
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan
kita peroleh
 ke x  ke x  0
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
Persamaan Diferensial Orde Satu
Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan
Peubah Yang Dapat Dipisahkan
Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita
tuliskan dalam bentuk
f ( y )dy  g ( x)dx  0
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
 f ( y)dy   g ( x)dx)  K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-1:
dy
 ex y
dx
Persamaan ini dapat kita tuliskan
dy e x

dx e y
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
e y dy  e x dx  0
Integrasi kedua ruas:


e y dy  e x dx  K
y
x
y
x
sehingga e  e  K atau e  e  K
Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah
Contoh-2:
dy 1

dx xy
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 
dx
x
ydy 
atau
Integrasi kedua ruas

ydy 
dx
0
x

dx
K
x
y2
 ln x  K
2
atau
y  ln x 2  K 
Persamaan Diferensial Homogen
Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
dy
 y
 F 
dx
x
pemisahan peubah:
Jadikan sebagai peubah bebas baru
y
yang akan memberikan
v
x
y  vx dan
dv
dy
dv
v  x  F (v)

v

x
dx
dx
dx
dv
x
 F (v)  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x
dx
dv

0
atau:
x v  F (v )
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Contoh-3:
( x 2  y 2 )dx  2xydy  0
Usahakan menjadi homogen x (1 
2
y2
x
(1 
Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dv
vx
dx
dx
peubah terpisah
dy
dx
dy
dx
y2
2
)dx  2 xydy  0
y
dy
2
x
x
1  ( y / x) 2

 F ( y / x)
2( y / x)
1 v2

 F (v )
2v
)dx  2
dv
1  v2
vx

dx
2v
dv
1  v2
1  3v 2
x
 v 

dx
2v
2v
dx
2vdv
dx

0

atau
2
2
x 1  3v
x
1  3v
2vdv
Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu
Kita harus mencari solusi
persamaan ini untuk
mendapatkan v sebagai
fungsi x.
dx
2vdv

0
x 1  3v 2
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan
kita tahu bahwa 1 d (ln x)

x
dx
d ln(1  3v 2 ) d ln(1  3v 2 ) d (1  3v 2 )
1
Kita coba hitung


(6v)
2
2
dv
dv
d (1  3v )
1  3v
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk
persamaan menjadi
dx 1 d ln(1  3v 2 )

dv  0
x 3
dv
1
1
Integrasi ke-dua ruas: ln x  ln(1  3v 2 )  K  ln K 
3
3
3 ln x  ln(1  3v2 )  K  ln K 
x3 (1  3v 2 )  K 


x3 1  3( y / x)2  K 


x x2  3 y 2  K 
Persamaan Diferensial Linier
Orde Satu
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau
nol. Persamaan diferensial orde satu yang juga linier dapat kita
tuliskan dalam bentuk
dy
 Py  Q
dx
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan.
Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
a
dy
 by  f (t )
dt
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu
bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk utama
yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus.
Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit
yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan.
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
dy
a  by  0
dt
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang
diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, maka
y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab
a
d  f1  f 2 
dy
 by  a
 b( f1  f 2 )
dt
dt
df
df
df
 a 1  bf1  a 2  bf2  a 1  bf1  0
dt
dt
dt
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Solusi Homogen
Persamaan homogen a
dy
 by  0
dt
Jika ya adalah solusinya maka
dya b
 dt  0
ya
a
integrasi kedua ruas memberikan
b
ln ya  t  K
a
sehingga
ya
b
 tK
e a
b
ln ya   t  K
a
 K a e (b / a)t
Inilah solusi homogen
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Jika solusi khusus adalah yp , maka
dy p
a
 by p  f (t )
dt
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f (t )  0  y p  0
Jika f (t )  A  konstan, y p  konstan K
Jika f (t )  Aet  eksponensial,  y p  eksponensial  Ke t
Jika f (t )  A sint , atau f (t )  A cos t  y p  K c cos t  K s sint
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
(b / a)t
Jika dugaan solusi total adalah ytotal  y p  Ka e
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-4:
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv
 1000v  0
dt
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0.
Solusi khusus bernilai nol.
dv
 1000dt  0
v
ln v  1000 t  K
v  e 1000t  K  K a e 1000t
Penerapan kondisi awal:
12  K a
1000t
V
Solusi total: v  12e
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-5:
Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
dv
 v  12
dt
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
103
Solusi homogen: 103 dva  va  0
dt
dva
 103 dt  0
va
va  K a e1000t
Solusi khusus:
v p  12
karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan): vtotal  12  K a e 1000t
Penerapan kondisi awal:
0  12  K a
Solusi total: vtotal  12  12e 1000t V
K a  12
Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu
Contoh-6:
Pada kondisi awal v = 0 V suatu analisis transien
dv
menghasilkan persamaan
 5v  100cos10t
dt
Carilah solusi total
Solusi homogen:
dva
 5va  0
dt
dva
 5dt  0
va
ln va  5t  K
va  K a e 5t
Solusi khusus: v p  Ac cos10t  As sin10t
10Ac sin10t  10As cos10t  5 Ac cos10t  5 As sin10t  100cos10t
10As cos10t  5 Ac cos10t  100cos10t
10Ac sin10t  5 As sin10t  0
10As  5 Ac  100
10Ac  5 As  0
As  8
Solusi total (dugaan): v  4 cos10t  8 sin10t  K a e 5t
Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :
v  4 cos10t  8 sin10t  4e 5t
K a  4
Ac  4
Persamaan Diferensial
Linier Orde Dua
Untuk
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan
langsung melihat
Analisis Rangkaian Listrik di Kawasan Waktu
Analisis Transien Sistem Orde-2
Courseware
Persamaan Diferensial
Sudaryatno Sudirham