Transcript persamaan differensial
PERSAMAAN DIFERENSIAL
I.
Definisinya : Suatu persamaan yang mempunyai satu atau lebih turunan dari sebuah fungsi yang tidak diketahui.
Persamaan Umum:
F
x
,
y
,
y
,
y
,......,
y
0
Persamaan Homogen Linear
Persamaan diferensial linear orde ke –n
y
a
1 dimana n≥2
y
.....
a
y
'
a n
y
k
Bentuk notasi operator:
D x n
a
1
D x
n
1 ........
a
n
1
D x
a n
y
k
Persamaan Linear Orde ke-2
Bentuk rumusannya:
y
' '
a
1
y
'
a
2
y
k
Dua asumsi penyederhanaan:
a
2 = konstanta 2. k(x) identik dengan nol
Persamaan diferensial homogen linear orde ke dua
y
' '
a
1
y
'
a
2
y
0 Solusi dari persamaan diatas:
c
1
u
1
c
2
u
2
Persamaan Pelengkap
D x
re rx
dimana
e rx
merupakan solusi Persamaan dalam bentuk operator:
D
2
a
1
D
a
2
y
0 …………….(1)
D
2
a
1
D
a
2
e rx
e rx
r
2
a
1
r
a
2 Persamaan diatas akan nol apabila:
r
2
a
1
r
a
2 0 ……………(2) Persamaan(2) disebut persamaan pelengkap Teorema A Akar-akar Real yang Berbeda Solusi Umumnya:
y
C
1
e r
1
x
C
2
e r
2
x
Teorema B Akar Tunggal Berulang Solusi Umumnya:
y
C
1
e r
1
x
C
2
xe r
1
x
Teorema C Akar-Akar Gabungan Kompleks Akar gabungan kompleks= (α±β) Solusi Umumnya:
y
C
1
e
x
cos
x
C
2
e
x
sin
x
Persamaan dengan Orde yang Lebih Tinggi
Akar-akar persamaan pelengkap
r n
a
1
r
.....
a r
a n
0
Contoh:
r
r
1
r
r
2 3
r
i
r
i
0
y
Solusi umum:
C
1
e r
1
x
C
2
C
3
x
C
4
x
2
e r
2
x
e
x
C
5 cos
x
C
6 sin
x
Contoh Soal: Tentukan solusi umum untuk:
y
3
y
' 4
y
0 Penyelesaian:
Persamaan pelengkap:
r
4 3
r
2 4
r
2 4
r
2 1 0 dengan akar-akar 2i,-2i,1 dan -1 maka solusi umumnya
y
C
1
e x
C
2
e
x
C
3 cos 2
x
C
4 sin 2
x
II.
Persamaan Tak Homogen
Rumusan persamaan linear tak homogen umum:
y
a
1
y
.....
a y
'
a n y
k
Penyelesaian Umum: 1. Solusi umum
y h
c
1
u
1
c
2
u
2
2. Solusi khusus y p 3. Solusi Total
y
untuk tak homogen
y h
y p
Penyelesaian persamaan diatas mengunakan 2 metode: Metode Koefisien Tak Tentu Metode Variasi Parameter
Metode Koefisien Tak Tentu
Definisi : Solusi khusus didapat dengan menduga bentuk y p jika bentuk k(x) diketahui.
Bentuk k(x) polinomial, eksponensial , sinus dan cosinus
Jika k(x)= Cobalah y p = b m x m +….+b 1 x+b 0 be
αx
b cos βx +c sin βx B m Be x
αx
m +…..+B 1 x+B 0 B cos βx + C sin βx Modifikasi: Jika sebuah suku di dalam fungsi k(x) merupakan solusi untuk persamaan homogen, kalikan solusi coba-coba tersebut dengan x ( atau pangkat x yang lebih tinggi ) Ilustrasi tabel diatas : 1.
y
'' 3
y
' 4
y
3
x
2 2
y p
B
2
x
2
B
1
x
B
0
y
'' 3
y
' 4
y
e
2
x
3. '' 4
y
' 2 sin
x
4.
y
'' 5. 6.
2
y
' 3
x
2
y
''
y
'' 3 4
y
'
y
4
y
sin
e
2
x
4
x
2
y p
Be
2
x y p
B
cos
x
c
sin
x y p y p y p
B
2
x
3
Bxe
4
x
Bx
cos
B
1
x
2 2
x
B
0
x Cx
sin 2
x
Contoh soal : Selesaikan
y
''
y
' 2
y
2
x
2 10
x
3 Penyelesaian: Persamaan pelengkap akar -2 dan 1 Solusi Umum
y h r
2
r
2
C
1
e
2
x
0
C
2
e
mempunyai akar-
x
Solusi khusus :
y p
Ax
2
Bx
C
Substitusi persamaan ini ke persamaan diferensial diatas hasilnya :
y p
x
2 4
x
1 2 Solusi
y
y h
y p y
C
1
e
2
x
C
2
e x
x
2 4
x
1 2
Metode Variasi Parameter
Solusi khusus untuk persamaan tak homogen :
y p
v
1
u
1
v
2
2
dimana :
v
' 1
u
1
v
2 '
u
2
v
1 '
u
1 ' '
v
2
u
2 '
k
0
Contoh soal: Tentukan Solusi untuk
y
''
y
sec
x
Peny elesaian: Solusi umum: Solusi khusus :
y h y p
C
1
v
1 cos
x
cos
C
2
x
sin
v
2
x
sin
x
dimana:
v
1 ' cos
x
v
2 ' sin
x
0
v
1 ' sin
x
v
2 ' cos
x
sec
x
' Didapat: dan
y p
ln cos
x
cos
x
x v
2 ' sin 1
x
maka Jadi :
y
C
1 cos
x
C
2 sin
x
ln cos
x
cos
x
x
sin
x
Aplikasi Persamaan Orde Kedua
Tinjau rangkaian listrik pada gambar di bawah ini dengan sebuah resistor, induktor dan capasitor.
Hukum kirchhoff dalam muatan Q (Coulomb)
L d
2
Q dt
2
R dQ dt
1
C Q
E
Arus
I
dQ dt
……..(1) diukur dalam Amper , dan per(1) di Deferensialkan terhadap t yaitu:
L d
3
Q dt
3
R d
2
Q dt
2 1
C dQ
E
'
dt L d
2
I dt
2
R dI dt
1
C I
E
'
Contoh : Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi-fungsi dari waktu t di dalam sebuah rangkaian RLC jika R=16 Ώ, L = 0,02 H, C = 2 x 10 -4 F dan E = 12 V. Asumsikan Q =0 dan I = 0 di t=0 (ketika saklar tertutup) Peny: Berdasarkan hukum kirchhoff dalam rumus (1) 0 , 02
d
2
Q dt
2 16
dQ dt
1 2
x
10 4
Q
12
d
2
Q dt
2
800
dQ dt
250000
Q
600 …….(1)
Pers pelengkap:
r
2
800
r
250000
0
r
1 , 2 400 300
i
maka:
Q h
e
400
t
C
1 cos 300
t
C
2 sin 300
t
solusi khusus dari persamaan tak homogen
Q p
C
dQ
/
dt
0 ;
d
2
Q
/
dt
2
0
d
2
Q dt
2 800
dQ dt
250000
Q
600
maka: 0 800 250000
C
600
C
2 , 4
x
10 3
Q p
2 , 4
x
10 3 Solusi umumnya :
Q
2 , 4
x
10 3
e
400
t
C
1 cos 300
t
C
2 sin 300
t
Syarat awal Q=0 dan I=0 pada saat t=0 maka : C 1 = -2,4x10 -3 I = dQ/dt C 2 = -3,2x10 -3 maka:
Q
2 , 4
x
10 3
e
400
t
2 , 4
x
10 3 cos 300
t
3 , 2
x
10 3 sin 300
t
I=dQ/dt maka :
I
0 , 96
e
400
t
1 , 28
e
400
t
cos 300
t
0 , 72
e
400
t
sin 300
t
sin 300
t
0 , 96
e
400
t
cos 300
t I
2
e
400
t
sin 300
t
Pembahasan soal-soal : Selesaikan persamaan diferensial dengan koefisien tak tentu berikut ini: 1.
2.
3.
y y
'' '' 3
y
' 9
y
''
y
10
y
4
y
0 ; '
y
0 ;
y
3 ; cos 1 ;
x y
'
y
, 10 3 pada x=0 pada x=π/3 4.
y
'' 4
y
4 sin
x
;
y
4 ;
y
' 0 ketika x =0 Selesaikan PD berikut dengan variasi parameter:
y
3
y
2
y
5
x
2 6. Tentukan muatan Q pada kapasitornya sebagai fungsi waktu jika S adalah rangkaian tertutup pada waktu t=0. Dimana E=1V, R=10 6 Ω, C=10 -6 F. Asumsikan kapasitor tersebut awalnya belum bermuatan.