Transcript BOUNDARY VALUE PROBLEMS Boundary Value Problems • Persamaan umum 2 y y  P( x)  Q( x) y  f ( x),x x y (a) 

BOUNDARY VALUE
PROBLEMS
Boundary Value Problems
• Persamaan umum
2 y
y
 P( x)  Q( x) y  f ( x),
2
x
x
y (a)  A,
y (b)  B
• Arti pernyataan tersebut adalah bahwa
persamaan ini memiliki solusi di x=a adalah
y=A dan di x=b adalah y=B
• Dalam bidang TL, BVP sering dijumpai
dalam persamaan transpor pencemar dan
persamaan hidrolika air tanah
• Persamaan transpor pencemar
 2C
C
D 2 v
 kC  0,
x
x
C (0)  C0 ,
dC
0
dx
• Persamaan hidrolika air tanah
d 2h
K 2  Q  0,
dx
h(0)  H1 ,
h( L )  H 2
Penyelesaian dengan Beda Hingga
• Kita dapat mencari solusi di semua nilai x
antara a dan b dengan Metode Beda Hingga
• Sebenarnya kita tidak menemukan solusi di
semua titik, tapi pada n jumlah dengan jarak
h diantara a dan b dimana h=(b-a)/(n+1)
h
h
h
h
h
x0=a x1=a+h x2=a+2h
xn=b
n= jumlah titik dalam range yang dicari
Pendekatan Beda Hingga
h
h(i  1)
h(i)
h(i  1)
x
 h  h(i)  h(i  1)
  
x
 x 1
 h  h(i  1)  h(i)
  
x
 x 2
 2 h 1  h   h  

     
2
x
x  x 2  x 1 
Konsep Penyelesaian dengan Beda Hingga
d y yi 1  2 yi  yi 1

2
2
dx
h
2
dy yi 1  yi 1

dx
2h
Contoh
d2y
dy
2

3

2
y

4
x
,
2
dx
dx
y(1)  0,1,
y(2)  6
• Cari solusinya dengan step size 0,2
• Jumlah titik solusi n=(2-1)/0,2)-1=4
• Kita dapatkan 4 persamaan, satu untuk tiap
titik yang dicari.
Penyelesaian dengan Beda Hingga
Persamaannya:
yi 1  2 yi  yi 1
yi 1  yi 1
2

3

2
y

4
x
i
i
2
h
2h
Buat persamaan untuk semua titik, mulai dari
i=1, hingga i=4
x0=a
x1
x2
x3
x4
x5=b
Domain Solusi
y5=6
y0=1
x0=1
x5=2
Penyelesaian dg Finite Diff.
• Dengan h = 0,2
32,5 yi 1  48yi 17,5 yi 1  4xi
2
• Buat persamaan untuk semua titik, mulai dari
i=1, hingga i=4
• Masukkan nilai-nilai x1=1,2 hingga x4 =1,8
dan kondisi batas y0 = 1 dan y5 = 6
Selesaikan dengan Matriks…