Document 9653853
Download
Report
Transcript Document 9653853
Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar
Tahun
: 2010
Model Persamaan Ruang Keadaan
Pertemuan 12
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan
• Mahasiswa dapat menunjukkan hubungan antara antara
model sistem konvensional dengan sistem pengaturan
persamaan Ruang Keadaan (state space)
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Model Ruang Keadaan:
Konsep state State space
Definisi , model persamaan
state variable
state space
persamaan keadaan
matrix transisi keadaan
Hubungan Fungsi alih dengan pers. ruang keadaan
persamaan output
controllability
observability
• Model Persamaan Ruang Keadaan
( State Space Model )
– Teori kontrol modern diperlukan karena kecenderungan sistem yang
makin kompleks yang mungkin mempunyai multiple input dan
multiple output.
– Sistem kontrol modern dengan model ruang keadaan menggunakan pendekatan wawasan waktu ( time domain ) berbeda
dengan sistem kontrol konvensional yang menggunakan wawasan
frekuensi.
– State dari suatu sistem dinamik adalah himpunan variabel-variabel
yang paling kecil ( disebut variabel keadaan / state variable )
dimana pengetahuan tentang variabel ini pada t = t0 bersama
dengan pengetahuan tentang input pada t 0 secara lengkap
akan menentukan kelakuan dari sistem untuk t t0.
– State variable menentukan state / keadaan dari sistem dinamik.
Jika paling sedikit diperlukan n variabel x1, x2 , ……..xn untuk
menggambarkan secara lengkap kelakuan dari sistem dinamik
maka n variabel diatas adalah himpunan variabel keadaan.
– State vector adalah vektor yang n buah komponenkomponennya merupakan n buah variabel keadaan.
– State space adalah ruang berdimensi n yang sumbu
koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2, …….., sumbu
xn.
– Persamaan Ruang Keadaan
x( t ) A( t )x( t ) B( t )u( t )
y( t ) C( t )x( t ) D( t )u( t )
A(t) : state matrix.
B(t) : input matrix.
C(t) : output matrix.
D(t) : direct transmission matrix.
– Model Diagram Blok sistem dengan ruang keadaan
D(t)
u(t)
B(t)
X(t)
+
X(t)
dt
+
+
C(t)
+
y(t)
A(t)
– Pada sistem mekanik berikut akan diturunkan persamaan
keadaan dan persamaan outputnya. u(t) adalah gaya luar yang
merupakan input pada sistem dan y(t) adalah output yang
merupakan perpindahan dari massa m dari titik setimbang
ketika tidak ada gaya luar
Pada sistem mekanik berikut merupakan sistem orde 2 akan
diturunkan persamaan keadaan dan persamaan outputnya.
u(t) adalah gaya luar yang merupakan input pada sistem dan
y(t) adalah output yaitu perpindahan posisi dari massa m dari titik
setimbang ketika tidak ada gaya luar
y(t)
K
m y b y ky u
u(t)
M
B
x1 x2
1
1
( ky b y ) u
m
m
k
b
1
x1 x2 u
m
m
m
x2
x2
Persamaan output
y x1
Dalam bentuk matriks persamaan adalah :
Dari persamaan (1) , (2) dan (3) :
0
1
x
1
k
b
x
m
2 m
x
y 0 1 1
x2
x1
x 2
0
1 u
m
Persamaan diatas merupakan persa-maan keadaan dan
persamaan output dari sistem mekanik dan mempunyai
bentuk standar :
dengan matrik D = 0
x( t ) A( t )x( t ) B( t )u( t )
y( t ) C( t )x( t ) D( t )u( t )
• Fungsi Alih terhadap Persamaan Ruang Keadaan
Persamaan keadaan dan output sistem dinyatakan
sbb :
x Ax Bu
y Cx Du
Jika pada persamaan di atas dilakukan transformasi
Laplace dengan kondisi awal x(0) adalah nol, maka :
SX = AX + BU
Y = CX + DU
( sI – A ) X = B.U
masukkan persamaan ini ke persamaan untuk Y,
Y = C( sI – A )-1BU + DU
Y = [ C( sI – A )-1B + D ] U
Fungsi alih G(s) adalah ratio output terhadap input :
Y (s)
[C ( sI A) 1 B ) D ]U
G (s)
U (s)
U
G ( s ) C ( sI A) 1.B D
Contoh soal :
Tentukanlah fungsi alih sistem mekanik pada contoh
soal sebelumnya.
G ( s ) 1
1
0 s
0
G ( s ) 1
s
0
k
m
G ( s ) 1
b
s
m
1
0[
]
b
k
2
s
s
k
m
m
m
G ( s)
0
0
k
1
m
1
b
s
m
1
ms bs k
2
1
1
b
m
1
0
0
1
m
0
1
m
1
s
0
1
m
Terminologi State space:
•
State
•
•
State variable
•
•
Sekumpulan minimum variable;shg dgn mengetahui keadaan variable
tsb dpt menggambarkan keadaan sistem
Sekumpulan variable minimum untuk dptmendeskripsikan sistem
State vector
•
Vektor yg menentukan secara unik keadaan sistem
•
State space
• Ruang berdimensi n dengan sumbu x1, x2,.......xn
• Dengan x adalah state variable
•
Persamaan state space
•
Persamaan untuk mendeskripsikan sistem; tidak unik tetapi
mempunyai jumlah state variable yg sama utk sistem yg sama
Model Ruang Keadaan (state space)
r(t)
e
1
x2
2
s 1
x1= y
s3
y x1
ur
x3
3
s 4
2
. x2
s3
x1
x2
1
(u x3)
s 1
x3
3
x1
s4
s.x1 3.x1 2. x 2
s. x 2 x 2 u x3
s.x3 4 x3 3. x1
dalam bentuk matriks (state space) dituliskan sebagai:
x1
x 2
x3
0 x1 0
3 2
0 1 3 x2 1 u
3
0 4 x3 0
x1
y 1 0 0 x 2
x3
x1 3x1 2x2
x2 x2 x3 u
x3 3x1 4 x3
u
1
s 1
y x2
2
.x1
s3
1
x1
.u
s 1
x2
s.x1 x1 u
s.x 2 3x 2 2.x1
X2
X1
2
s3
y
x1 x1 u
x2 2 x1 3 x2
y x2
x1
x2
1 0 x1 1
u
2
3
x2 0
x1
y 0 1
x2
u
y
2
s2 1
4s 3
y x1
x1 x2 y
dalam bentuk persamaan keadaan:
x1
x2
1 x1 0
0
u
3
4
x2 2
x
y 1 0 1
x2
Pers. Diferensial sistem:
X1
( s 2 4 s 3)Y ( s ) 2.u ( s )
d2
d
y
(
t
)
4
y (t ) 3 y (t ) 2.u (t )
2
dt
dt
X2
u1
3
s5
m
+
1
s 1
y x1
x1= y
x1
+
u2
2
s3
3
u1
s5
sx2 5 x2 3 u1
x2 5 x2 3u1
x2
X3
1
( x 2 x3)
s 1
s x1 x1 x 2 x3
x1 x1 x2 x3
2
x3
.u2
s3
s.x3 3x3 2 u2
x3 3 x3 2 u2
1 x1 0 0 0 u1
x1 1 1
x2 0 5 0 x 2 3 0 0 u 2
x 0
0 3 x3 0 2 0 0
3
x1
y 1 0 0 x 2
x3
syms s t
a=[-1 1 1;0 -5 0;0 0 -3]
b=[0 0 0;3 0 0;0 2 0]
c=[1 0 0]
u(1)=laplace(diff(t))
u(2)=laplace(diff(2*t))
u=[u(1);u(2);0]
w=s*eye(3)-a
wi=inv(w)
x=wi*b*u
xt=ilaplace(x)
x1=x(1)
x2=x(2)
x3=x(3)
yt=x(1)
pretty(yt)
Controllability sistem pengaturan
•
Sistem disebut controlable jika utk semua input u(t) maka semua state
dapat dialihkan berdasarkan input tsb.
observability sistem pengaturan
•
Pd sistem yg observable maka semua state dpt diketahui keadaannya
(‘’dpt diukur ’’)
G0
G1
Sistem dgn 4 diagram sub-sistem:
G2
G0 =unobservable & uncontrollable
G1 = controllable & unobservable
U(t)
G3
G2 =controllable & observable
G3 = uncontrollable & observable