Transcript MAM 4204 MATEMATIKA LANJUT

Pengantar
Persamaan Diferensial (PD)
Materi Persamaan Diferensial
1.
2.
3.
Definisi PD
PD Eksak
Faktor Integrasi
2
DEFINISI
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung
fungsi yang tidak diketahui dan turunannya.
Contoh.
𝑑𝑦
𝑎.
=𝑥+5
𝑑𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
𝑏.
+3
+ 6𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝒚 adalah variabel terikat dan 𝒙 adalah variabel bebas.
3
Persamaan Diferensial Parsial
Contoh.
𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
+ 2=0
2
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝒖 adalah variabel terikat dan 𝒙 dan 𝒚 adalah variabel
bebas.
4
ORDER Persamaan Diferensial
Order (tingkat) persamaan diferensial adalah tingkat
tertinggi dari turunan pada persamaan diferensial.
PERSAMAAN DIFERENSIAL
ORDER
𝑑𝑦
=𝑥+5
𝑑𝑥
1
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+
3
+ 6𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
2
5
DEGREE Persamaan Diferensial
Degree (derajat) persamaan diferensial adalah pangkat dari suku
dengan order tertinggi dalam persamaan diferensial.
PERSAMAAN DIFERENSIAL
DEGREE
𝑑𝑦
=𝑥+5
𝑑𝑥
1
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+
3
+ 6𝑦 = 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
+
3
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥
1
4
+ 6𝑦 + 7 = 0
1
6
Solusi Integrasi Langsung
Soal 1.
Selesaikan PD berikut:
Solusi
d𝑦
= 2𝑥 + 5
d𝑥
d𝑦 = 2𝑥 + 5 d𝑥
d𝑦 =
d𝑦
= 2𝑥 + 5
d𝑥
2𝑥 + 5 d𝑥
𝑦 + 𝐶1 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 𝐶2
𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 − 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐
𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑪
7
Persamaan Diferensial Eksak …(1)
Persamaan
𝑀 𝑥, 𝑦 d𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 d𝑦 = 0
(1)
disebut PD eksak bila terdapat fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 dimana turunan
totalnya adalah 𝑀 𝑥, 𝑦 d𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 d𝑦, yaitu
𝜕𝑓 𝑥, 𝑦
𝜕𝑓 𝑥, 𝑦
d𝑓 𝑥, 𝑦 =
d𝑥 +
d𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 d𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 d𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
8
Persamaan Diferensial Eksak …(2)
UJI KE – EKSAK – AN
Persamaan:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
adalah PD EKSAK jika
𝜕𝑀 𝑥, 𝑦
𝜕𝑁 𝑥, 𝑦
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
9
Soal 2.
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
2𝑥 + 3𝑦 d𝑥 + 3𝑥 + 4𝑦 d𝑦 = 0
Solusi
Uji keEKSAKan
𝜕𝑀
=3
𝜕𝑦
sama ⟹ Persamaan Diferensial EKSAK
𝜕𝑁
=3
𝜕𝑥
10
Solusi soal 2.
Mencari fungsi f
𝜕𝑓
=𝑀
𝜕𝑥
𝜕𝑓
⟺
= 2𝑥 + 3𝑦
𝜕𝑥
⟺ 𝜕𝑓 = 2𝑥 + 3𝑦 𝜕𝑥
⟺
𝜕𝑓 =
2𝑥 + 3𝑦 𝜕𝑥
⟺ 𝑓 = 𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝒉 𝒚
Ditambah fungsi ℎ 𝑦
karena turunan fungsi 𝑓
terhadap 𝑥 adalah nol
11
Faktor Integral …(1)
Jika persamaan
𝑀 𝑥, 𝑦 d𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 d𝑦 = 0
bukan PD eksak, maka dapat dijadikan PDE.
Persamaan di atas dikalikan dengan faktor integral.
12
Faktor Integral …(2)
Misal 𝑈 𝑥, 𝑦 adalah faktor integral, maka
𝑈 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦 d𝑥 + 𝑈 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦 d𝑦 = 0
adalah PD eksak. Sehingga
𝜕 𝑈 𝑥, 𝑦 𝑀 𝑥, 𝑦
𝜕𝑦
atau
𝑈
=
𝜕 𝑈 𝑥, 𝑦 𝑁 𝑥, 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑈
𝜕𝑁
𝜕𝑈
+𝑀
=𝑈
+𝑁
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
maka diperoleh
𝑈 𝑥, 𝑦 = −
𝑀
𝜕𝑈
𝜕𝑈
−𝑁
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑀 𝜕𝑁
−
𝜕𝑦 𝜕𝑥
13
Faktor Integrasi …(3)
Kondisi
Faktor Integral
1 𝜕𝑀 𝜕𝑁
−
=𝑓 𝑥
𝑁 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑈=𝑒
𝑓 𝑥 d𝑥
1 𝜕𝑀 𝜕𝑁
−
−
=𝑔 𝑦
𝑀 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑈=𝑒
𝑔 𝑦 d𝑦
𝑈 = 𝑈 𝑥, 𝑦
𝜕𝑀 𝜕𝑁
−
𝜕𝑦 𝜕𝑥
ℎ 𝑉 =−
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝑀
−𝑁
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑈=𝑒
ℎ V dV
14
Soal 3.
Selesaikan persamaan di bawah ini
a.
b.
4𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 𝑥 d𝑥 + 𝑥 𝑥 + 2𝑦 d𝑦 = 0
𝑦 𝑥 + 𝑦 + 1 d𝑥 + 𝑥 𝑥 + 3𝑦 + 2 d𝑦 = 0
15
Pengumuman
BAHAN UAS
1.
2.
SISTEM KOORDINAT
PENGANTAR PERSAMAAN
DIFERENSIAL
16