Transcript Pertemuan 3-4 Model Matematika dan diagram Blok sistem Matakuliah

Matakuliah
Tahun
Versi
: H0134 / Sistem Pengaturan Dasar
: 2005
: <<versi/revisi>>
Pertemuan 3-4
Model Matematika dan diagram Blok
sistem
1
Learning Outcomes
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa
akan mampu :
• menunjukkan kegunaan dasar-dasar
matematika dan fisika. Pengertian sistem
elektrik, mekanik, proses dan hubungan
input serta output dari suatu sistem
2
Outline Materi
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sistem linear dan non linear
Persamaan diferensial
Arti fisis persamaan diferensial
Persamaan Diferensial untuk Sistem Orde 1, 2 & 3
Diagram blok
Aljabar diagram blok
Metode aljabar
Transformasi Laplace
Sifat2 transformasi Laplace
3
•Sistem linear dan non linear
•Sistem fisis umumnya bersifat non linier dalam tingkat tertentu
•Untuk daerah kerja yg kecil sistem non-linier dpt dianggap linier
•Pada sistem linier berlaku hukum superposisi dimana response
sistem terhadap beberapa input yang berbeda merupakan kombinasi
jumlah dari masing-masing inputnya.
•Untuk menguji linieritas sustu sistem dengan sinusoidal test input
Persamaan diferensial
1. PD time invaryant
2. PD time varyant
4
•Arti fisis persamaan diferensial
•Persamaan diferensial adalah setiap persamaan aljabar
atau transcendental equality yang melibatkan diferensial
atau turunannya
•Persamaan diferensial berguna untu menghubungkan laju
perubahan variabel dan parameter lainnya.
•Contoh hukum Newton 
•Hukum Hook 
d2
F (t )  M . 2 X (t )
dt
F  K ..x
•Persamaan Diferensial untuk Sistem
Orde 1, 2 & 3
5
• Model matematis dari sistem fisik:
–
–
–
–
–
–
–
Rangkaian RLC
Sistem mekanik massa , pegas dan damper
Model sistem termometer
Model aktuator hidraulik
Model liquid level system
Model motor servo
dsb
6
Diagram blok
•Representasi grafis dari sistem fisik
•Menggambarkan hubungan funsional antar komponen pada sistem
•Aljabar diagram blok
•Diagram blok sistem secara praktis sering sangat rumit, melibatkan banyak
feedback maupun feedforward loop dan multi input
•Perlu reduksi terhadap diagram blok yg rumit tersebut
•Cara aljabar dapat berupa aljabar grafis maupun persamaan aljabar
•Cara aljabar grafis sering disebut aljabar diagram blok
Metode aljabar
•Metode aljabar adalah upanya untuk penyederhanaan diagram blok yg rumit
dengan bantuan persamaan yg diturunkan dari diagram blok
7
Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari fungsi f(t) didefinisikan sebagai :

L [ f(t) ] = F(s) =
f ( t ).e  st .dt

0
f(t) : fungsi waktu t dimana f(t) = 0 untuk t < 0.
s : variabel kompleks.
L : simbol operator transformasi Laplace
F(s): transformasi Laplace dari f(t).
8
Transformasi Laplace
Transformasi Laplace
 Transformasi Laplace adalah suatu metoda operasi yang dapat
digunakan dengan mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial
linier.
 Operasi seperti diferensial dan integral dapat digantikan dengan operasi
aljabar dalam bidang kompleks.
Keuntungan
 Dapat meramalkan harga akhir maupun harga awal sistem.
 Komponen transient dan steady state dapat diperoleh sekaligus.
9
Tabel Transformasi Laplace
Transformasi
Fungsi Waktu f(t)
Laplace F(s)
(t)
1
u(t)
1/s
Unit Ramp
t
1/s2
Polynomial
tn
n!/sn+1
Exponential
e-at
Differential
df
dt
Unit Impulse
Unit step
Integral
1
sa
sF(s)-f(0)
 fdt
Sine Wave
sin .t
Cosine Wave
cos .t
F(s) (1)
 f (0 )
s

s 
s
s 
2
2
2
2
Damped Sine Wave
e-at. sin .t

(s  a )  
Damped Cosine Wave
e-at. sin .t
sa
(s  a )  
2
2
2
2
10
SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Linier
 Penjumlahan
 Perkalian konstanta
L A. f t   A. F  s
Turunan (Derivative)
 Syarat awal diperlukan
Integrasi Riil
Syarat awal diperlukan
Teorema Harga Awal
 Mencari nilai awal sistem sebelum mendapat input
Teorema Harga Akhir
 Memprediksi nilai akhir respons sistem
 Menghitung output steady state input step
f t  t 0 lim s.F s
s ~
f t  t  lim
s.F (s)
s0
11
Skala Waktu
 Diperlukan untuk menormalkan terhadap fungsi waktu
 Dapat diterapkan ke fungsi yang mirip tapi berbeda waktunya
Translasi Waktu
Translasi Bidang S




t
L f a    aF as
 



L f t  a  eas F  s
F s  a  e . f t 
at
Translasi Kompleks
 Pergeseran ke bidang kompleks
 Bidang S  sumbu riil, sumbu imajiner
Perkalian 2 Fungsi Waktu (Konvolusi) 
f t  * f t 
1
2
12
Contoh :
Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi step berikut ini.
f(t) = 0
for t < 0
f(t) = A
for t > 0 dengan A adalah konstanta.
F(s) = L[ f(t) ] =

 A.e .dt  
F(s) =
 st
0
=


 st .dt
 f (t ).e
0 A  st
A
s
 de  
0
s
 st

e |
0
A
A
(e  e ) 
s
s

0
Fungsi step untuk A = 1 dinamakan fungsi unit step dan transformasi
Laplace dari fungsi unit step ini adalah :
F(s) =
f(t)
1
s
1
t
13
Contoh :
t0
t<0
U(t) = 3
=0
Lut   ?

Lut    ut e  st dt
0

L[u(t )]   3e st dt
0
L[u(t )] 
3
s
14
f (t )  e
Let   ?
 t  st

t


Le    e e dt
0
t
  s  1t
 e
dt
0
1

s 1
F s   s11  f t   et
15
Contoh Pemakaian Skala Frekuensi
Fs 
1
 f t   ?
3s  1 1
 1 
f1t   L 1

 3s  1
  s 
L 1F   af at 
  a 
a
1
3
f t   e t
1

1 3t
f t   e
3
16
DIAGRAM BLOK
– Diagram blok dari suatu sistem merupakan
penggambaran grafis dari fungsi-fungsi yang
dilakukan oleh setiap komponen. Keterkaitan
yang ada di antara berbagai komponen
dinyatakan dengan arah aliran sinyal.
– Sistem pengaturan yg terdiri dari beberapa
komponen. Untuk menunjukkan fungsi-fungsi
yang dilakukan oleh setiap komponen
digunakan diagram blok.
17
Diagram Blok
R(s) +
E(s)
-
C(s)
G(s)
B(s)
Fungsi Alih
H(s)
C(s) = G(s) E(s)
…..…( 1 )
E(s) = R(s) – B(s )
E(s) = R(s) – C(s) H(s)
……..( 2 )
Eliminasi E(s) dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ).
C(s) = G(s) R(s) – G(s) C(s) H(s)
( 1 + G(s).H(s) ) C(s) = G(s) R(s)
C(s)
G(s)

R(s) 1  G(s)H(s)
18
Forward Transfer Function
• Fungsi alih arah maju
• Perbandingan antara sinyal output
dengan sinyal error
Feedback Transfer Function
• Fungsi alih arah umpan balik
• Perbandingan antara sinyal feed back
dengan sinyal output.
B(s)
 H(s)
C(s)
19
Open Loop Transfer Function
• Fungsi alih lup terbuka
• Perbandingan antara sinyal umpan
balik dengan sinyal error
• Positive Feedback
Sinyal feedback mempunyai tanda yang
sama dengan sinyal output.
Negative Feedback
Sinyal feedback mempunyai tanda
berlawanan dengan sinyal input.
Persamaan Karakteristik
Bagian penyebut fungsi alih
1 + G(s) H (s) = 0
B(s)
 G(s)H(s)
E(s)
20
Reduksi Diagram Blok
• Penyederhanaan sistem
• Prediksi overall performance
Model Matematis
• Memudahkan analisis
• Memudahkan modifikasi
• Sistem tidak unique
• Tidak memuat informasi rangkaian atau
konstruksi
21
Reduksi diagram blok / Aturan penyederhanaan blok/
1.
G1
G2
G1G2
G1
2.
+
G1
+
-
G2
G2
+
G1
-
3.
G1
1 + G1G2
G2
4.
X
G
Y
Y
X
G
Y
G
Y
22
Aturan penyederhanaan blok
5.
G
X
Y
G
X
Y
1/G
X
X
6.
G
X
+
Z
X
-
+
G
Z
1/G
Y
Y
7.
X
+
G
-
Z
X
G
+
Z
Y
1/G
Y
23
Reduksi diagram Blok
Contoh
G3
R
+
+
+
-
G1
G4
G2
+
C
+
H1
H2
R
+
C
+
-
G1G4
G2+G3
+
H1
H2
24
Reduksi Blok diagram
R
G1G4
+
C
G2+G3
1-G1G4H1
-
H2
R
G1G4 ( G2+G3 )
+
-
C
1-G1G4H1
H2
25
penutup
•Sistem pengaturan dapat berupa sistem linier ataupun non-linier
•Model matematis perlu untuk analisis sistem pengaturan
•Pernyataan sistem dalam diagram blok membantu menjelaskan
hubungan fungsional antar komponen.
•Reduksi diagram blok perlu dilakukan untuk memudahkan analisis
maupun sintesis serta modifikasi sistem jika diperlukan.
26