Slide 1

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 2

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 3

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 4

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 5

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 6

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 7

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 8

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 9

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 10

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 11

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 12

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 13

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 14

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 15

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 16

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 17

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 18

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 19

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 20

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 21

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22


Slide 22

Selamat Datang
Dalam Kuliah Terbuka Ini

1

Kuliah terbuka kali ini berjudul

“Pilihan Topik Matematika -II”

2

Disajikan oleh
Sudaryatno Sudirham
melalui
www.darpublic.com

3

Sesi 4

Persamaan Diferensial

4

Persamaan Diferensial Orde-1
Pengertian
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat
satu atau lebih turunan fungsi.
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak
termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau
fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi
turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah
pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

 d3y

 dx 3


2


 d2y
 

 dx 2



5


y
x
 
e
2

x 1


adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
5

Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan
diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya
y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Contoh:

y  ke

x

adalah solusi dari persamaan

karena turunan y  ke  x

adalah

dy

dy

 y  0

dt
  ke

x

dt

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan
akan kita peroleh
 ke

x

 ke

x

0

Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang
mengandung n tetapan sembarang.
6

Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang
Dapat Dipisahkan

Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan
diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
f ( y ) dy  g ( x ) dx  0

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi
umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu

 f ( y ) dy   g ( x ) dx )  K
7

Contoh:

dy

e

x y

dx
dy

Persamaan ini dapat kita tuliskan



dx

e
e

x
y

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai
persamaan dengan peubah terpisah
y

x

e dy  e dx  0



e dy 

y
x
sehingga e  e  K

atau

Integrasi kedua ruas memberikan:

y



x

e dx  K

e

y

e

x

 K

8

Contoh:

dy
dx



1
xy

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
ydy 

dx
x

ydy 

atau

Integrasi kedua ruas:

dx

0

x



ydy 

y



dx

 K

x

2

 ln x  K

2

atau
y

2

ln x  K 

9

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan
dalam bentuk
 y
 F 
dx
 x

dy

Ini dapat dijadikan sebagai peubah
bebas baru
v

y

yang akan memberikan
y  vx dan

x

v x

dv

dy

 F (v )

dx

Pemisahan peubah:

dx

v x

dv
dx

dv

 F (v )  v
dx
dv
dx

F (v )  v
x

x

atau:

dx
x



dv
v  F (v )

0

10

Contoh:

2

2

( x  y ) dx  2 xydy  0
2

Usahakan menjadi homogen x (1 

y
x

(1 

y
x

dy

2
2

) dx  2 xydy  0

2
2

) dx   2



Peubah baru v = y/x
y  vx
dy
dx

vx

dv

1  ( y / x)



1 v

dx

 F ( y / x)

2

 F (v )

2v

v x

dv



dx
x

1 v

dv

2 vdv
2

 

2

2v
 v 

dx

1  3v

2

2( y / x)

dx

Peubah terpisah

dy

x

dx

dy

y

1 v

2



2v
dx
x

atau

1  3v

2

2v
dx
x



2 vdv
1  3v

2

0

11

Kita harus mencari solusi persamaan
ini untuk mendapatkan
v sebagai fungsi x.

dx



x

2 vdv
1  3v

2

0

Suku ke-dua ini berbentuk 1/x
dan kita tahu bahwa
1



d (ln x )

x
2

Kita coba hitung

d ln( 1  3 v )

2



dv

2

d ln( 1  3 v ) d (1  3 v )
2

d (1  3 v )



dv

1
1  3v

2

dx
(6v )

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah
bentuk persamaan menjadi
dx

2



1 d ln( 1  3 v )

x

Integrasi ke-dua ruas:

ln x 

3
1

dv  0

dv
2

ln( 1  3 v )  K 

3

1

ln K 

3
2

3 ln x  ln( 1  3 v )  K  ln K 
3

2

x (1  3 v )  K 
3



x 1  3( y / x )

2

 K 



2

x x  3y

2

 K 
12

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

dy

 Py  Q

dx

P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal
ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum
sebagai
a

dy

 by  f (t )

dt

Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi.
Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,
yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
13

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada
peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara
pendugaan
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan
rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk
rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa
tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan
jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan
solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
a

dy

 by  0

dt
14

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan
yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,
sebab
a

dy

 by  a

dt
 a

d  f1  f 2 
 b ( f1  f 2 )
dt
df 1
dt

 bf 1  a

df 2
dt

 bf 2  a

df 1
dt

 bf 1  0

Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan
kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.

15

Solusi Homogen
Persamaan homogen

a

dy

 by  0

dt

Jika ya adalah solusinya maka
dy a



ya

b

dt  0

a

Integrasi kedua ruas memberikan
ln y a 

sehingga

ya  e



b
a

tK

b

ln y a  

t  K

a
 K ae

b

tK

a

 (b / a )t

Inilah solusi homogen

16

Jika solusi khusus adalah yp , maka
a

dy p
dt

 by p  f (t )

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
Jika f ( t )  0  y p  0
Jika f ( t )  A  konstan,
Jika f ( t )  Ae

t

 y p  konstan  K

 eksponensi al,  y p  eksponensi al  Ke

t

Jika f ( t )  A sin  t , atau f ( t )  A cos  t  y p  K c cos  t  K s sin  t

Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini
dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti
itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Dugaan solusi total adalah jumlah dugaan solusi homogen dan
solusi khusus: ytot = ya + yp
17

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
dv

 1000 v  0

dt

Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi
khusus bernilai nol.
dv

 1000 dt  0

v
ln v   1000 t  K

ve

 1000 t  K

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

 K ae

 1000 t

12  K a

v  12 e

 1000 t

V

18

Contoh:

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
10

3

dv

 v  12

dt

Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah solusi total.
Solusi homogen:

10

3

dv a
dt

va  K a e

Solusi khusus:

v p  12

Solusi total (dugaan):

3

 10 dt  0

va

 1000 t

karena f(t) = 12

v total  12  K a e

Penerapan kondisi awal:
Solusi total:

dv a

 va  0

 1000 t

0  12  K a

v total  12  12 e

 1000 t

K a   12

V

19

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
dv

menghasilkan persamaan

dt

Carilah solusi total.

Solusi homogen:

dv a
dt

 5v a  0

 5 v  100 cos 10 t

dv a

 5 dt  0

va

ln v a  5 t  K

va  K a e

 5t

Solusi khusus: v p  A c cos 10 t  A s sin 10 t
 10 Ac sin 10 t  10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  5 A s sin 10 t  100 cos 10 t
10 A s cos 10 t  5 Ac cos 10 t  100 cos 10 t

10 A s  5 Ac  100

 10 Ac  5 A s  0

 10 Ac sin 10 t  5 A s sin 10 t  0

As  8

Ac  4

Solusi total (dugaan): v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  K a e  5 t
K a  4

Penerapan kondisi awal: 0  4  K a
Solusi total :

v  4 cos 10 t  8 sin 10 t  4 e

5t

20

Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Kunjungi Kuliah Terbuka

Analisis Rangkaian Listrik
di Kawan Waktu

21

Kuliah Terbuka

Pilihan Topik Matematika II
Sesi 4
Sudaryatno Sudirham

22