Transcript Presentation1 - kukuh satrio utomo

Fungsi
Linear
Fungsi
Hiperbolik
Fungsi
Elementer
Fungsi
trigonome
tri
Fungsi
Eksponen
Fungsi yang berbentuk f(z) = az + b
dengan a,b  c disebut fungsi linear
Fungsi yang berbentuk P (z) = a0 + a1z +
… + anzn dengan n bilangan bulat tak
negatif dan a0, a1, … , an konstanta
kompleks disebut fungsi suku banyak
Jika P(z) dan Q(z) adalah fungsi suku banyak, maka fungsi
yang berbentuk
f (z) 
P(z)
,Q(z)  0
Q(z)
disebut fungsi rasional.
P(z) = az+b dan Q(z) = cz+bd, maka
f (z) 
az  b
, ad  bc  0
cz  d
disebut fungsi bilinear
dan
c  0
Bentuk umum f(z) = ez
misal z = x + iy maka f(z) = ez = ex+iy = ex . eiy
Bentuk bilangan kompleks dalam bentuk
kutub
eiy = cis y dimisalkan z = x + iy
z=
r (cos   i sin  )
atau z =
r .e
2
Teorema 2.2.2
Jika z = x+iy, maka e
 
dan Arg e
e
e
e
e
e
zw
2
z
 e
 e .e
0
z
w
 e
z
z
zw
 e
z  2 i
z

e
z
e
w
z
x
y
Contoh Soal.. !!!
1. Sederhanakan
e
2  2 i
2. Tentukan nilai z hingga
z
memenuhi persamaan e
=1
Penyelesaiannya !!!
e
2  2 i
 e cis 2 
2
 e cos 2   i sin 2 
2
 e (1  i . 0 )
2
e
2

Untuk bilangan kompleks
didefinisikan
Teorema 2.2.4




𝒔𝒊𝒏 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒚 + 𝒊 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒚 − 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝟐 = 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒉𝟐 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒉𝟐 𝒚, 𝒛 = 𝒙 + 𝒊𝒚
Contoh Soal
• Tentukan z sehingga 𝒔𝒊𝒏 𝒛 = 𝟏
• Penyelesaian :
• 𝒔𝒊𝒏 𝒛 = 𝟏
•
𝒆𝒊𝒛 −𝒆−𝒊𝒛
=𝟏
𝟐𝒊
𝒊𝒛
−𝒊𝒛
• 𝒆 −𝒆
•
𝒆𝒊𝒛
𝟐
= 𝟐𝐢
− 𝟐𝐢𝒆𝒊𝒛 − 𝟏 = 𝟎
• Misalkan 𝒆𝒊𝒛 = 𝐩 , maka menjadi𝒑𝟐 − 𝟐𝒊𝒑 − 𝟏 = 𝟎. akar – akar
persamaan tersebut :
• 𝒑=
𝟐𝒊± 𝟒𝒊𝟐 +𝟒
𝟐
=
𝟐𝒊± −𝟒+𝟒
𝟐
=
𝟐𝒊±𝟎
𝟐
=𝒊
• Di peroleh :
•
𝒆𝒊𝒛 = 𝐩
• sehingga diperoleh :
•
•
𝒆𝒊 𝒙+𝒊𝒚 = 𝐢
𝒆−𝒚+𝒊𝒙 = 𝐢
•
𝒆−𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝐱 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝐱 = 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝛑 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝛑
𝟏
𝟏
• Akibatnya,
•
𝒆−𝒚 = 𝟏
•
𝒆−𝒚 = 𝒆𝟎 → 𝒚 = 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒙 = 𝟐 𝛑 + 𝟐𝐤𝛑, 𝐤 ∈ 𝐙
𝟏
• Jadi nilai z yang memenuhi persamaan
𝒔𝒊𝒏 𝒛 = 𝟏 adalah
•
𝟏
𝟐
𝒛 = 𝛑 + 𝟐𝐤𝛑 =
𝟏
+
𝟐
𝟐𝐤 𝝅, 𝒌 ∈ 𝒁