Transcript BILANGAN

BILANGAN
KOMPLEKS
© sujono 2009
SIMBOL J
Pemecahan persamaan kuadrat
dengan rumus, x =
contoh:
LANJUTAN……
Jika dituliskan huruf j untuk menyatakan
maka
,
PANGKAT DARI J
j menyatakan
, marilah kita tinjau beberapa pangkat dari j
Untuk menyatakan pangkat dari j, kurangi pangkatnya dengan
pangkat j⁴ yang mungkin,hasilnya kembali ke salah satu
hasil: j, -1, -j, 1
LANJUTAN…….
Contoh:
pangkat dibagi dengan 4,
sisa pembagian merupakan
hasil
j43 = (j4)10.j3
= (1)10. (j2)(j)
= (1) . (-1)(j)
=-j
j125 = (j4)31.j
= (1)31.j
=j
BILANGAN KOMPLEKS
Gabungan antara bilangan riil dan bilangan
imajiner
Bilangan kompleks = (bil.riil)+j(bil.imajiner)
Contoh: x = 3 + j5
 3 disebut bagian riil dari x
 5 disebut bagian imajiner dari x
BILANGAN KOMPLEKS
Z=a+jb
PENJUMLAHAN & PENGURANGAN
(a+jb) + (c+jd) = (a+c) + j(b+d)
Contoh:
(2+j8)  (2+j2)+(6-j3)
=2 + j8  2  j2 + 6  j3
=2  2 + 6 + j8  j2  j3
=6 + j(8  2  3)
=6 + j3
PERKALIAN
(a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j²bd
Contoh:
Z₁=3+j4
Z₂=2+j5
(3+j4)(2+j5)=6+j8+j15+j²20
=6+j23-20
=-14+j23
LANJUTAN……..
Jika perkaliannya memuat lebih dari dua faktor
maka perkalian dilakukan secara bertahap
Contoh:
Z₁=3+j4
(3+j4)(2-j5)(1-j2)=(6+j8-j15-j²20)(1-j2)
Z₂=2-j5
=(6-j7+20)(1-j2)
Z₃=1-j2
=(26-j7)(1-j2)
=26-j7-j52+j²14
=26-j59-14
=12-j59
BILANGAN KOMPLEKS KONJUGAT
yaitu bilangan kompleks dalam bentuk
(a+jb)dan(a-jb)
 Hasil perkalian antara dua bilangan kompleks
konjugat selalu riil
Contoh:
(3-j2)(3+j2)=3²-j6+j6-(j2)²
=9-j²4
=9+4
=13

PEMBAGIAN
Untuk membagi sebuah bilangan kompleks dengan bilangan
kompleks lainnya, kita kalikan pembilang & penyebutnya dengan
konjugat dari penyebutnya. Cara ini akan mengubah penyebutnya
menjadi bilangan riil
Contoh:
konjugat dari penyebutnya
yaitu 1+j3

─
KESAMAAN BILANGAN KOMPLEKS
Apa yang dapat diketahui jika dua bilangan
kompleks dikatakan sama?
Misal kedua bilangan tersebut adalah:
a+jb dan c+jd
Maka diperoleh:
a+jb=c+jd
Penyusunan kembali letak suku-sukunya,
memberikan:
a-c=j(d-b)
LANJUTAN……..
Dari pernyataan tersebut, besaran di ruas kiri
keseluruhannya “riil” sedangkan besaran di ruas
kanan keseluruhannya “imajiner”. Jadi besaran
riil=besaran imajiner!! Hal itu TIDAK BENAR.
Tetapi ada “satu” hal khusus yang memungkinkan
hal itu benar, yaitu jika “masing-masing ruas =0”
a-c=j(d-b)
BENAR
hanya jika a-c=0, yaitu a=c
dan jika d-b=0, yaitu d=b
LANJUTAN……..
Jadi jika dua buah bilangan kompleks sama,
maka:
 kedua bagian riilnya sama
 kedua bagian imajinernya sama
Misal:
x+jy=5+j4
maka diketahui, x=5 dan y=4

PERNYATAAN BILANGAN KOMPLEKS SECARA
GRAFIS
Garis vektor menyatakan besar dan arah disebut
vektor.Faktor “j” selalu memutar vektor sebesar
90˚ dalam arah positif,tetapi berlawanan
dengan arah jarum jam.
Garis acuan pada diagram
a)Skala sumbu-x menyatakan bilangan riil
b)Skala sumbu-y menyatakan bilangan imajiner
Pernyataan grafis disebut sebagai diagram
argand
PENJUMLAHAN BILANGAN KOMPEKS SECARA
GRAFIS
Jumlah dua vektor dalam diagram argand
diberikan oleh jajar genjang yang dibentuk oleh
kedua vektor. Apabila ada vektor negatif maka
digambarkan dengan vektor positif tetapi
mengarah kearah berlawanan dengan panjang
atau besar yang sama.
Contoh :
Tentukan (4+j5)+(-5+j2)-(-3+j4)
=4+j5-5+j2+3-j4
=4-5+3+j(5+2-4)
= 2+j3
grafik

BENTUK KUTUB BILANGAN KOMPLEKS
Maka r²=a²+b²
Dan
Juga a=r cosθ dan b=r sinθ
z=a+jb
z=r cosθ +j r sin θ
z=r(cosθ+j sinθ)
Contoh:
Nyatakan z=4+j3 dalam bentuk kutub.
a=4
b=3

Z=4+j3
=r(cosθ+j sinθ)
=5(cos 36˚52’+j sin 36˚52’)
r disebut modulus dari bilangan kompleks(|z|)
θ disebut argumen dari bilangan kompleks(arg z)
Sering kali digunakan simbol singkat r
BENTUK EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS
Bentuk eksponen diperoleh dari bentuk kutub
 r(cosθ+j sinθ) dapat dituliskan
a)Harga r dalam kedua bentuk sama
b) Sudut dalam kedua bentuk itu juga sama,tetapi
untuk bentuk eksponensial harus dinyatakan
dalam radian.

Contoh: ubahlah dalam bentuk kutub
5(cos 60˚+j sin 60˚)
r=5
θ = 60˚= radian
Bentuk eksponensialnya adalah
 Tentang sudut negatif
Diketahui
jika kita ganti θ dengan –θ, maka kita dapatkan:
LOGARITMA BILANGAN KOMPLEKS
Satu operasi bilangan kompleks disebut
logaritma bilangan
kompleks.Bentukeksponensial memungkinkan
pengerjaan soal ini,karena bentuk
eksponensial hanya memuat perkalian dan
pangkat
maka dapat dituliskan
ln z= ln r+jθ
Contoh:
ln z=ln 6,42+j 1,57