Transcript Document
BAB 5. SELANG, KETAKSAMAAN
DAN NILAI MUTLAK
5.1 SISTEM BILANGAN REAL
Himpunan bilangan asli
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
+ bilangan 0
Himpunan bilangan cacah
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
+ bilangan bulat negatif
Himpunan bilangan bulat
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }
+ bilangan pecahan
Himpunan bilangan rasional
= {m/n | m, n , n 0}
+ bilangan irrasional
Himpunan bilangan real
=
= himpunan bilangan irrasional
Departemen Matematika IPB
1
diasosiasikan sebagai garis lurus
x diasosiasikan sebagai suatu titik di garis
x
Titik acuan : bilangan 0
Bilangan real positif x terletak x unit di kanan 0
Bilangan real negatif –x terletak x unit di kiri 0
x
x
-x
0
x
Urutan di
Misalkan + adalah himpunan bilangan real positif.
1. Trikhotomi bilangan real
Untuk setiap bilangan real x ada tiga kemungkinan
x + atau x = 0 atau -x +
2. Definisi: [Urutan]
Definisikan relasi urutan pada sebagai berikut:
x < y jika dan hanya jika y-x +
x y jika dan hanya jika y-x + atau y-x =
03. Sifat urutan
Misalkan a, b, c
a. Jika a < b, maka a + c < b + c
Departemen Matematika IPB
2
b. Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
c. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
d. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
e. Jika 0 < a < b, maka 1/a > 1/b
5.2 SELANG
Definisi: [Selang]
Selang adalah himpunan bilangan real tertentu yang
didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut.
Notasi
Deskripsi himpunan
(a,b)
{x | a < x < b}
[a,b]
Gambar
a
{x | a x
b}
b
a
b
[a,b)
{x | a x < b}
a
b
(a,b]
{x | a < x b}
a
b
(a,)
{x | x > a}
a
[a,)
{x | x a}
a
(-,b)
{x | x < b}
b
(-,b]
{x | x b}
b
(-,)
Catatan: bukan bilangan real
Departemen Matematika IPB
3
5.3 KETAKSAMAAN
Definisi: [Ketaksamaan]
Ketaksamaan adalah pernyataan matematik yang
memuat salah satu relasi urutan <, >, atau .
Definisi: [Penyelesaian ketaksamaan]
Penyelesaian ketaksamaan adalah semua bilangan real
yang memenuhi ketaksamaan tersebut.
dengan sifat urutan
Menyelesaikan ketaksamaan:
dengan garis bilangan
bertanda
Contoh:
1. Dengan menggunakan sifat urutan tentukan
penyelesaian ketaksamaan berikut.
a. -2 < 1 – 5x 3
b. x2 + 4x 5
2. Dengan menggunakan garis bilangan bertanda
tentukan penyelesaian ketaksamaan berikut
5
a. 2
x
5
x5
c. 1
x
2x 4
Departemen Matematika IPB
x2 2x 7
b.
0
3 x
x 1
x
d.
x
x 1
4
5.4 NILAI MUTLAK
Definisi: [Nilai mutlak]
Nilai mutlak sebuah bilangan real a, dinyatakan |a|,
adalah jarak dari a ke 0 pada garis bilangan real.
|a| = -a
a<0
|a| = a
0
a>0
a , jika a 0
| a |
a, jika a 0
Sifat-sifat nilai mutlak
A. Misalkan a, b dan n , maka
1. | ab || a || b |
a |a|
2.
b |b|
3. | a n || a |n
B. Misalkan a > 0, maka
4. | x | a jika dan hanya jika x a
5. | x | a jika dan hanya jika - a x a
6. | x | a jika dan hanya jika x a atau x a
7. | x || y | jika dan hanya jika x 2 y 2
Departemen Matematika IPB
5
C. Akar kuadrat
8. a 2 | a |
D. Ketaksamaan segitiga
9. | a b | | a | | b |
Contoh:
Tentukan penyelesaian persamaan dan ketaksamaan
berikut.
1. | x 2 | 1
2. | x | x
3. | 4 x 9 | 11
4. | 5 x 4 | 6
6. | x | | 3 2 x |
(| x | 1) x
7.
0
2 | x | 1
8. | 2 x 4 | | x | 3
Departemen Matematika IPB
6