Transcript Document

BAB 5. SELANG, KETAKSAMAAN
DAN NILAI MUTLAK
5.1 SISTEM BILANGAN REAL
Himpunan bilangan asli
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
+ bilangan 0
Himpunan bilangan cacah
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }
+ bilangan bulat negatif
Himpunan bilangan bulat
 = {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }
+ bilangan pecahan
Himpunan bilangan rasional
 = {m/n | m, n  , n  0}
+ bilangan irrasional
Himpunan bilangan real
=
 = himpunan bilangan irrasional
Departemen Matematika IPB
1
 diasosiasikan sebagai garis lurus
x   diasosiasikan sebagai suatu titik di garis

x
Titik acuan : bilangan 0
Bilangan real positif x terletak x unit di kanan 0
Bilangan real negatif –x terletak x unit di kiri 0
x
x
-x
0
x
Urutan di 
Misalkan + adalah himpunan bilangan real positif.
1. Trikhotomi bilangan real
Untuk setiap bilangan real x ada tiga kemungkinan
x  + atau x = 0 atau -x  +
2. Definisi: [Urutan]
Definisikan relasi urutan pada  sebagai berikut:
x < y jika dan hanya jika y-x  +
x  y jika dan hanya jika y-x  + atau y-x =
03. Sifat urutan
Misalkan a, b, c  
a. Jika a < b, maka a + c < b + c
Departemen Matematika IPB
2
b. Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
c. Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc
d. Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc
e. Jika 0 < a < b, maka 1/a > 1/b
5.2 SELANG
Definisi: [Selang]
Selang adalah himpunan bilangan real tertentu yang
didefinisikan dan dilambangkan sebagai berikut.
Notasi
Deskripsi himpunan
(a,b)
{x   | a < x < b}
[a,b]
Gambar
a
{x   | a  x 
b}
b
a
b
[a,b)
{x   | a  x < b}
a
b
(a,b]
{x   | a < x  b}
a
b
(a,)
{x   | x > a}
a
[a,)
{x   | x  a}
a
(-,b)
{x   | x < b}
b
(-,b]
{x   | x  b}
b
(-,) 
Catatan:  bukan bilangan real
Departemen Matematika IPB
3
5.3 KETAKSAMAAN
Definisi: [Ketaksamaan]
Ketaksamaan adalah pernyataan matematik yang
memuat salah satu relasi urutan <, >,  atau .
Definisi: [Penyelesaian ketaksamaan]
Penyelesaian ketaksamaan adalah semua bilangan real
yang memenuhi ketaksamaan tersebut.
dengan sifat urutan
Menyelesaikan ketaksamaan:
dengan garis bilangan
bertanda
Contoh:
1. Dengan menggunakan sifat urutan tentukan
penyelesaian ketaksamaan berikut.
a. -2 < 1 – 5x  3
b. x2 + 4x  5
2. Dengan menggunakan garis bilangan bertanda
tentukan penyelesaian ketaksamaan berikut
5
a.  2
x
5
x5
c.  1 
x
2x  4
Departemen Matematika IPB
x2  2x  7
b.
0
3 x
x 1
x
d.

x
x 1
4
5.4 NILAI MUTLAK
Definisi: [Nilai mutlak]
Nilai mutlak sebuah bilangan real a, dinyatakan |a|,
adalah jarak dari a ke 0 pada garis bilangan real.
|a| = -a
a<0
|a| = a
0
a>0
 a , jika a  0
| a | 
a, jika a  0
Sifat-sifat nilai mutlak
A. Misalkan a, b   dan n  , maka
1. | ab || a || b |
a |a|
2.

b |b|
3. | a n || a |n
B. Misalkan a > 0, maka
4. | x | a jika dan hanya jika x   a
5. | x | a jika dan hanya jika - a  x  a
6. | x | a jika dan hanya jika x  a atau x  a
7. | x || y | jika dan hanya jika x 2  y 2
Departemen Matematika IPB
5
C. Akar kuadrat
8. a 2  | a |
D. Ketaksamaan segitiga
9. | a  b |  | a |  | b |
Contoh:
Tentukan penyelesaian persamaan dan ketaksamaan
berikut.
1. | x  2 |  1
2. | x |   x
3. | 4 x  9 |  11
4. | 5 x  4 |  6
6. | x |  | 3  2 x |
(| x | 1) x
7.
 0
2 | x | 1
8. | 2 x  4 |  | x |  3
Departemen Matematika IPB
6