Transcript Sistem Bilangan Nyata

Sistem bilangan

N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q  , a, b  Z , b  0
b
R  Q  Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3, 
Sifat–sifat bilangan real

Sifat-sifat urutan :
 Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
 Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
 Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1

Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
Selang

)
selang
(- , a
Grafik
(- , a]
a
(a, b)
a
[a, b]
(b, )
[b, )
(, )
a
b
a
b
b
b
Pertidaksamaan

 Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk
aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan
dengan relasi urutan.
 Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B( x ) E ( x )
 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak
(polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
Pertidaksamaan

 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan
adalah mencari semua himpunan
bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
<0
Q( x )
, dengan cara :
Pertidaksamaan

 Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya
2.
3.
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13  2 x - 3  5

13  3  2 x  5  3
16  2 x  8
8 x4
4 x8
Hp = [4,8]
4
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x  8
- 8 < -4 x  2
8 > 4 x  -2
- 2  4x < 8
1
- x<2
2

 1 
Hp  - ,2 
 2 
- 12
2
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
3
2 x 2 - 5x - 3 < 0
(2x  1)(x - 3) < 0

1
Titik Pemecah (TP) : x  2
++
--
-
1
 1 
 - ,3 
Hp =  2 
++
3
2
dan
x3
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian

4 2 x - 4  6 - 7 x  3x  6
2x - 4  6 - 7 x
2x  7x  6  4
9 x  10
10
x
9
10
x
9
dan
6 - 7 x  3x  6
dan - 7 x - 3x  -6  6
dan
- 10 x  0
dan
10 x  0
dan
x0

10

Hp =  - ,   [0,  )
9

0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
Hp = 0, 
 9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x  1 3x - 1
1
2
<0
x  1 3x - 1
(3x - 1) - (2 x  2) < 0
(x  1)(3x - 1)
x -3
<0
(x  1)(3x - 1)
TP : -1,
1
3
,3

--
++
-1
Hp =
-1
++
3
3
1 
(- ,-1)   ,3 
3 
Pertidaksamaan nilai
mutlak

 Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari
titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu
bernilai positif.
 Definisi nilai mutlak :
 x ,x  0
x 
- x , x < 0
Pertidaksamaan nilai mutlak
 Sifat-sifat nilai mutlak:
x  x2
1
2
x  a, a  0  - a  x  a
3
x  a, a  0  x  a atau
4
x  y
5
x
x

y
y
x  -a
 x2  y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y  x  y
x- y  x - y
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2  1- x
4 - 2x
x - 2 x 1

2
2
x
x3
3 2 - x  3 - 2x  3
4 x 12  2 x  2  2
5 2x  3  4x  5
6 x  3x  2