Transcript KALKULUS I NI KETUT SARI KLASIFIKASI BILANGAN RIIL        Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5,…. Bilangan asli membentuk himpunan.

KALKULUS I
NI KETUT SARI
KLASIFIKASI BILANGAN RIIL







Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli :
1, 2, 3, 4, 5,….
Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan
bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat :
…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari
klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional.
Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai
contoh adalah :
2 , 7 , 6 , 0 , 5 (= -5 = 5 )
3 5 1 9 2
2
-2
Bilangan irrasional adalah bilanganbilangan yang tidak dapat dinyatakan
sebagai perbandingan bilangan bulat.
Contoh bilangan irasional :
√3, √5, 1 + √2, 3√7, π , cos 19°
Bilangan rasional dan irasional bersamasama membangun suatu klas bilangan
yang lebih besar yang disebut bilangan
riil atau kadang disebut system
bilangan riil.
√2
1
1
PEMBAGIAN DENGAN
NOL
• Pada perhitungan dengan bilangan
riil, pembagian dengan nol tidak
pernah diperkenankan karena
hubungan dalam bentuk y = p/0
akan mengakibatkan
•
0.y=p
BILANGAN KOMPLEKS
• Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak
negatif, persamaan : x2 = -1
i = √-1 didefinisikan memiliki sifat i 2 = -1
Bilangan kompleks adalah bilanganbilangan yang berbentuk :
a + bi
dengan a dan b bilangan riil.
• Beberapa contohnya adalah :
2 + 3i
3 – 4i
6i
2
[a = 2, b = 3]
[a = 3, b = -4]
[a = 0, b = 6]
[a = 2, b = 0]
REPRESENTASI DESIMAL DARI
BILANGAN RIIL
• Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat
dibedakan berdasarkan bentuk penyajian
desimalnya.
•
= 1.333…, [3 berulang]
•
= .272727…, [27 berulang]
•
= .714285714285…, [714285 berulang]
• Desimal berulang yang memuat nol setelah
beberapa titik disebut desimal terakhir.
•
= .50000…,
= 3.0000… ,
= .320000…
GARIS KOORDINAT
Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan
rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya,
kurva geometri dengan rumus aljabar.
Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah
menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada
garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu
dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan
yang lain sebagai arah negatif.-+Titik Asal
Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis
disebut koordinat dari titik tersebut.
Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan
koordinat –4, -3, -2,75, -1/2, √2, π, dan 4. Tempat
dari √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari
hampiran desimalnya yaitu π ≈ 3.14 dan √2 ≈ 1.41
-4 -3
-1.7
-½
√2
Π
4
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3
4
SIFAT-SIFAT URUTAN
• KETIDAKSAMAAN :
1. a < b atau b > a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b
Ilustrasi :
a
b
2. a ≤ b atau b ≥ a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atau berimpit
dengan b
Ilustrasi :
a
b
a b
3. 0 < a atau a > 0
Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal
Ilustrasi :
0
a
4. a < 0 atau 0 > a
Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal
Ilustrasi :
a
0
5. a < b < c
Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan
b sebelah kiri c
Ilustrasi :
a
b
c
Simbol a < b ≤ c artinya a < b dan b ≤ c. Silahkan
menyimpulkan arti symbol-simbol seperti :
a ≤ b < c, a ≤ b ≤ c dan a < b < c < d
Ketidaksamaan berikut adalah benar :
3 < 8, -7 < 1.5, -12 ≤ π, 5 ≤ 5, 0 ≤ 2 ≤ 4.
8 ≥ 3, 1.5 > -7, -π > -12, 5 ≥ 5, 3 > 0 > -1.
TEOREMA 1.1
•
•
•
•
Misal a, b, c, dan d bilangan riil :
a) Jika a < b dan b < c, maka a < c
b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a – c < b – c
c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac
> bc untuk c negatif
• d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d
• e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya
• negatif dan a < b, maka 1/a > 1/b
• Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka
bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal
sebagai berikut :
• b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang
•
sama.
• c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya
•
digandakan dengan bilangan positif yang sama,
•
tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua
•
sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang
•
sama.
• d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat
•
dijumlahkan.
• e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda
•
yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan
•
berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang
•
berlawanan pada setiap sisinya.
Pernyataan dlm teorema 1.1 diIlustrasikan















1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7
Ketidaksamaan hasil : 5 < 13
2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8
Ketidaksamaan hasil : -10 < -2
3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6
Operasi : kedua sisi digandakan 3
Ketidaksamaan hasil : -6 < 18
4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan 4
Ketidaksamaan hasil : 12 28
5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7
Operasi : kedua sisi digandakan –4
Ketidaksamaan hasil : -12 > -28
PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN
Penyelesaian ketidaksamaan dalam x yang tidak diketahui merupakan
nilai untuk x yang membuat ketidaksamaan itu sebagai pernyataan
yang benar. Sebagai contoh x = 1 merupakan penyelesaian dari
ketidaksamaan x < 5, tetapi x = 7 bukan merupakan penyelesaian.
Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan
disebut menyelesaikan ketidaksamaan.
Contoh : Selesaikan 3 + 7x ≤ 2x – 9
Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1
dengan mengumpulkan x pada satu sisi ketidaksamaan
3 + 7x ≤ 2x – 9 [diberikan]
7x ≤ 2x – 12 [kurangkan 3 dari kedua sisi]
5x ≤ -12 [kurangkan 2x dari kedua sisi]
x≤[gandakan kedua sisi dengan 1/5]
krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung x, jadi
himpunannya berupa selang (-∞, - 12/5)
-
Contoh :
1. Selesaikan 7 ≤ 2 – 5x < 9
2. Selesaikan x2 – 3x ˃ 10
NILAI MUTLAK








Nilai mutlak atau magnitude suatu
bilangan riil a dinotasikan dengan |a| dan
didefinisikan dengan :
|a| = +a jika a ≥ 0
-a jika a < 0
Contoh :
|5| = +5 [karena 5 > 0]
|-4/7| = -(-4/7) = + 4/7
[karena –4/7 < 0]
|0| = +0 [karena 0 ≥ 0]
• Pengambilan nilai mutlak pada sebuah
bilangan berakibat pada hilangnya tanda
minus jika bilangan negatif dan tidak
berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi
|a| merupakan bilangan tak-negatif untuk
semua nilai a dan
• -|a| ≤ a ≤ |a|
HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN
NILAI MUTLAK


Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar
kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a
mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan
satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan
dengan √a.
Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua
akar kuadrat –3 dan 3. Karena 3 merupakan
akar kuadrat positif, diperoleh √9 = 3. Sebagai
tambahan didefinisikan √0 = 0.









Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan √a 2 = a.
Meskipun persamaan ini benar apabila a tak negatif, tetapi
salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4, maka :
√a 2 = √(-4) 2 = √16 = 4 ≠ a
Teorema : Untuk setiap bilangan riil a
√a 2 = |a|
Bukti : Karena a 2 = (+a) 2 = (-a) 2, maka bilangan +a dan –a
merupakan akar-akar kuadrat dari a 2. Jika
a ≥ 0, maka +a merupakan akar kuadrat tak-negatif dari a 2,
dan jika a < 0, maka –a akar kuadrat tak-negatif dari a 2,
sehingga diperoleh
√a 2 = +a jika a ≥ 0
√a 2 = - a jika a < 0
Jadi √a 2 = |a|.
SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK






Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka
(a) |-a| = |a| Suatu bilangan dan negatifnya
mempunyai nilai mutlak sama
(b) |ab| = |a||b| Nilai mutlak dari perkalian
merupakan perkalian nilai mutlak
(c) |a/b| = |a|/|b| Nilai mutlak dari perbagian
merupakan pembagian nilai mutlak
Bukti (a) : |-a| = √(-a)2 = √a2 = |a|
Bukti (b) : |ab| = √(ab) 2 = √a 2b 2 = √a 2√b 2 = |a||b|
KETIDAKSAMAAN SEGITIGA





Secara umum tidak selalu benar bahwa
|a + b|=|a|+|b|
Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka
a + b = -1, sehingga|a + b| = |-1| = 1
Sedangkan ;|a| + |b| = |2| + |-3| = 2 + 3 = 5
Jadi |a + b| ≠ |a| + |b|.
Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu
jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah
nilai mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang
sangat penting, yang dikenal dengan
ketidaksamaan segitiga.
Teorema (Ketidaksamaan
Segitiga) :
•
Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka
|a + b| ≤ |a| + |b|
•
Bukti :-|a| ≤ a ≤ |a| dan -|b| ≤ |b| ≤ |b|
Dengan menambahkan kedua
ketidaksamaan tersebut didapat
-(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|)
INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK
• Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam
masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka
jarak d antara A dan B adalah :
•
b – a jika a < b
• d =
a – b jika a > b
•
0
jika a = b
•
A
B
B
A
•
a
b
b
a
•
b-a
a-b
• (1) b-a = positif, jadi b-a = |b-a|
• (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = |b-a|
TEOREMA 1.5




Rumus Jarak ;
Jika A dan B titik –titik pada suatu garis
koordinat yang masing-masing mempunyai
koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan
B adalah ;
d = | b - a|
Rumus diatas memberikan interpretasi
geometrik yang berguna untuk beberapa
ekspresi matematika yang umum dan dapat
dituliskan sbb ;
TABEL RUMUS JARAK
EKSPRESI
|x - a|
|x + a|
|x|
INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT
Jarak antara x dan a
Jarak antara x dan –a (krn |x+a|=|x-(-a)|)
Jarak antara x dan titik asal (karena |x|=|x-0|)
Ketidaksamaan dalam bentuk |x-a| < k dan |x-a| > k, sering digunakan,
sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ;
Ketidak Interpretasi
Samaan geometrik
(k>0)
|x-a|<k x didlm k
satuan dr a
|x-a|>k
x lebih dr
k stn dr a
Gambar
k
a-k
k
-k<x-a<k
Himpunan
penyelesain
(a-k, a+k)
a x a+k
k
a-k
Bentuk Alternatif
ketidaksamaan
k
a
a+k x
x-a<-k atau
x-a>k
(-∞,a-k) U
(a+k, +∞)
Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn ≤ dan > dgn ≥, yaitu titik2 terbuka diganti
dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas
Contoh ;

Selesaikan ; |x - 3| <4
Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai
-4 < x – 3 < 4
-1 < x< 7
dlm notasi selang ;(-1,7)
(+3)
-1

3
7
Selesaikan : |x + 4| ≥ 2
Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali
x + 4 ≤ -2
x ≤ -6
atau
atau lebih sederhana atau
x+4≥2
x ≥ -2
-6
-4
-2
BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK
• SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU
• Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut
sistem koordinat Cartesian) merupakan
pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang
disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian
sehingga keduanya berpotongan di titik asal.
Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal
dengan arah positif ke kanan, dan yang lain
vertical dengan arah positif ke atas.
titik asal
sumbu-y
0
-4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1
2
3 4
sumbu-x
*KOORDINAT
• GRAFIK
Kuadran
II
Kuadran
I
Kuadran
III
Kuadran
IV
(-,+)
(+,+)
(-,-)
(+,-)
Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x2
Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak
anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya
9
8
x
y = x2
(x, y)
7
0
1
2
3
-1
-2
-3
0
1
4
9
1
4
9
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
(3, 9)
(-1, 1)
(-2, 4)
(-3, 9)
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1
1 2 3
Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y =
x2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat
diketahui dengan pasti.
Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = x3
y
8
x
-2
2
-8
x
0
1
2
-1
-2
y = x3
0
1
8
-1
-8
(x, y)
(0, 0)
(1, 1)
(2, 8)
(-1, -1)
(-1, 1)
PERPOTONGAN
• Perpotongan grafik dengan sumbu-x berbentuk (a, 0) dan
perpotongan dengan sumbu-y berbentuk (0, b). Bilangan a
tersebut dinamakan perpotongan-x dari grafik dan bilangan
b dinamakan perpotongan-y.
• Contoh : Dapatkan semua perpotongan- x dan perpotongany dari
• (a) 3x + 2y = 6,
(b) x = y2 – 2y, (c) y = 1/x
• Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-x,
berikan y = 0 dan diselesaikan untuk x :
•
3x = 6 atau x = 2
• Untuk mendapatkan perpotongan-y diberikan x = 0 dan
diselesaikan untuk y :
•
2y = 6 atau
y=3
Grafik dari 3x + 2y = 6 merupakan garis seperti
ditunjukkan dalam gambar.
perpotongan-y
(0, b)
x
(a, 0)
perpotongan-x
3
2
3x + 2y = 6
GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA
•
•
Sebagai contoh, y = x3 untuk nilai antara –10 dan 10, akan mempunyai mempunyai
nilai y antara (-10)3 =
-1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satusatunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama
y
y
140
8
x
x
-2
-2
2
-140
-8
2
KATALOG GRAFIK-GRAFIK DASAR
y
y
x
x
y = x2
y = -x2
y
y
x
x = y2
x
x = -y2
y
y
x
y = √x
x
y = -√x
y
y
x
y = x3
x
y =
y
3
√x
y
x
y = 1/x
x
y = -1/x
GARIS

*Kemiringan

Dalam pengamatan,”tanjakan” atau “kemiringan” suatu bukit
didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan
ketinggian (rise).
y
P2 (x2, y2)
y2 – y1
(rise)
P1 (x1, y1)
x2 – x1
(run)
x
Definisi ; Jika P1(x1,y1) dan P2(x2,y2)
adalah titik-titik pada bidang koordinat maka
kemiringan m dari garis tersebut
didefinisikan dengan
m= rise = y2-y1
run x2-x1

Definisi diatas; tidak diterapkan untuk
garis vertikal. Untuk garis vertikal akan
diperoleh x2=x1, sehingga memuat
perbandingan dengan nol. Kemiringan
garis vertikal tidak didefinisikan. Garis
vertikal mempunyai kemiringan tak hingga
Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan
dan garis yang melalui
(a) titik (6,2) dan titik (9,8)
(b) titik (2,9) dan titik (4,3)
(c) titik (-2,7) dan titik (5,7)




Penyelesaian
(a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2
(c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0
(b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3
y
P2 (x2, y2)
P2’ (x2’, y2’)
y2’ – y1’
P1’ (x1’, y1’)
y2 – y1
x2’ – x1’
Q’
P1 (x1, y1)
x2 – x 1
Q
x
PERSAMAAN UMUM GARIS
 Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

Ax + By + C = 0
 disebut persamaan derajat-pertama dalam x dan y.
Sebagai contoh,

4x + 6y – 5 = 0
 adalah persamaan derajat-pertama dalam x dan y
karena memiliki bentuk sesuai di atas dengan

A = 4, B = 6, C = -5
 Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam x
dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya,
setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan
derajat-pertama dalam x dan y.
 Bentuk persamaan Ax + By + C = 0 kadang disebut
persamaan umum dari suatu garis atau persamaan
linear dalam x dan y.
Contoh : Gambarkan grafik
persamaan 3x – 4y + 12 = 0
y
(0, 3)
x
(-4, 0)
3x – 4y + 12 = 0