Transcript Vektor-2 - dianpraja

ALJABAR LINIER & MATRIKS
VEKTOR
Menghitung Besar Vektor Hasil
Penjumlahan dan Pengurangan Bila
Diketahui Sudutnya
v
u+v
| u  v |
| u |  | v |  2 | u || v | cos 
2
2
θ
u
u-v
v
| u  v |
θ
u
| u |  | v |  2 | u || v | cos 
2
2
Perkalian
Vektor dengan Skalar
Definisi
• Untuk sembarang vektor a dengan α,
maka:
–
–
–
–
panjang αa = | α |.|a|
jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a
jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a
jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0
• Untuk vektor a dalam koordinat kartesian
jika a = [a1,a2,a3] maka
αa = [αa1, αa2, αa3]
Sifat Perkalian skalar & vektor
αa = aα
Komutatif
α( ka ) = ( αk )a
Asosiatif
α ( a+b ) = αa + αb
Distributif
(α+k) a = αa + ka
Distributif
1.a=a
Elemen Netral
0.a=0
Elemen Central
(-1) a = -a
Elemen Invers
Ruang Vektor
• Merupakan himpunan elemen vektor yang
terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi
yang membentuk group
• Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan
- distributif operasi 1 terhadap operasi 2
- distributif operasi 2 terhadap operasi 1
- assosiatif
Kombinasi linear
• Untuk sembarang vektor a1, … , am
didalam ruang vektor v , maka ungkapan:
α1a 1 + α2a 2 + … + αm a m
α1, … , αm skalar sembarang
disebut sebagai “Kombinasi Linear”
Ketergantungan Linear
• Jika kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor
nol dan berlaku hanya untuk αi = 0 (i=1,2,…,m), maka m buah
vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektor-vektor bebas linear’
• Jika sekurang-kurangnya terdapat satu α1=0, dimana
kombinasi linear dari m buah vektor sama dengan vektor nol,
maka m buah vektor tersebut dikatakan sebagai ‘vektorvektor bergantungan linear’
α1a1 + α2a2 + … + αm am = 0
• Berlaku untuk α1 = α2 = … = αm = 0 (vektor-vektor bebas
linear)
terdapat minimal satu α1≠0 (vektor-vektor tidak bebas linear)
Perkalian Titik
(Dot Product)
Visualisasi
• Vektor-vektor diposisikan sehingga titik
pangkalnya berimpitan
• Memiliki sudut antara dua vektor
Rumus
• Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan
Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil
kali titik u.v adalah:
u.v = |u||v| cos Ø jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
u.v = 0
jika u = 0 atau v = 0
Rumus

Dalam bentuk komponen vektor,

Dalam vektor 3 dimensi;

bila a = [a1,a2,a3] dan b = [b1,b2,b3], maka :
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Formulasi Khusus
| a .b |  | a || b | 
Pertidaksa maan Schwarz
|a b|  |a | |b| 
Pertidaksa maan segitiga
| a  b |  | a  b |  2 (| a |  | b | ) 
2
2
2
2
Pers . Jajaran
Genjang
Sifat Dot Product
• Untuk setiap vektor sebarang a, b, c dan
skalar α1, α2 berlaku:
Orthogonalitas dua vektor
• Teorema
– Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling
tegak lurus
• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0,
dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.
• Untuk vektor bukan-nol
– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0  γ = 90o = π/2
Rumus
• Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol,
maka :
cos  
u .v
u v
Hasil Dot Product bisa digunakan untuk
memperoleh informasi mengenai sudut antara
2 vektor.
• Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan 
adalah sudut antara kedua vektor tersebut,
maka :
 lancip;
 tumpul ;
jika dan hanya jika u.v>0
jika dan hanya jika u.v<0
 =/2;
jika dan hanya jika u.v=0
Contoh Soal
Jika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].
Tentukanlah:
- panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara vektor a
dan b,
- sudut vektor c = a + b terhadap sumbu x
Summary Dot Product
• Perkalian vektor dengan skalar merupakan
perbesaran atau pengecilan vektor, dengan
bilangan skalar merupakan satuan
pembandingnya.
• vektor dalam ruang Rn dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor basis
• Rumus untuk dot product
u.v = |u||v| cos Ø
u.v = 0
jika u ≠ 0 dan v ≠ 0
jika u = 0 atau v = 0
• Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan
menghasilkan suatu nilai skalar
Perkalian Cross
(CROSS PRODUCT)
Cross Product
• Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu
vektor baru yang besarnya sama dengan luas
jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor
tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk
oleh kedua vektor
• Hasil Dot Product dua buah vektor menghasilkan
skalar
• Hasil Cross Product antara dua buah vektor
menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada
kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua
buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di
ruang.
Cross Product
• Rumus Umum
v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α
v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama
dengan nol
Cross Product
• Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalah vektorvektor dalam ruang berdimensi 3,
• maka hasil kali silang u x v adalah vektor yang
didefinisikan sebagai
u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 )
•
atau dalam notasi determinan :
 u2
uxv  
 v
 2
u3
v3
, 
u1
u3
v1
v3
,
u1
v1
u2 

v 2 
Sifat Cross Product
• Jika u, v dan w adalah sebarang vektor dalam ruang
berdimensi 3 dan k adalah sebarang skalar, maka :
uxv
= -(v x u)
u x (v+w) =(u x v) + (u x w)
(u + v) x w = (u x w) + (v x w)
k(u x v)
= (ku) x v = u x (kv)
ux0
=0xu =0
uxu
=0
Hubungan Dot Product dan
Cross Product
• Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 3, maka :
u.(u x v) = 0
u x v ortogonal terhadap u.
v.(u x v) = 0
u x v ortogonal terhadap v.
|u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2
u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w
(u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u
Contoh Soal
• Diketahui u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1),
hitunglah u x v !
Contoh Soal
Jawab:
1

3
uxv =
=
2

0

 2

1 
2
0
2
1
,
1
3
2 ,  7 ,  6 
2 1
,
1 3
2

0 
Scalar Triple Product
Scalar
triple
product
dari tiga vektor
a  [ a 1 , a 2 , a 3 ] , b  [ b1 , b 2 , b 3 ],
ditulis
( a b c ) dengan
(a b c)  a  (b  c)
c  [ c1 , c 2 , c 3 ]
definisi
andaikan
b  c  v  [v 1 , v 2 , v 3 ]
a  (b  c)  a  v  a 1v 1 , a 2 v 2 , a 3 v 3
 a1
b2
b3
c2
c3
 b3
 a2  
 c
3

b1 
b
  a3 1
c1 
c1
b2
c2
Sifat Hasil Kali Triple Scalar
Latihan
1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan
( bila terdefinisi /mungkin ) :
a. a x (b - 2 c)
c. a x b x c
b. a·b x c
2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v
bila
a. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)
b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .
3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik
sudutnya.
a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )
b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )