Transcript Bab 1.
Bab 1 Analisa Vektor Notasi Vektor Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen vektor satuan sebagai A = Axax + Ayay + Azaz Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A didefinisikan sebagai |A| =A= Ax2 Ay 2 Az 2 Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh A A aA | A | A' Aljabar Vektor Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz) = (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif berlaku dalam aljabar vektor × × × A + (B + C) k(A + B) A+B = = = (A + B) + C kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A B+A C = A+B=B+A Komutatif A+(B+C) = (A+B)+C Assosiatif Komutatif & Assosiatif Komunikatif Contoh : C= A+B=B+A B Assosiatif Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+C Perkalian Vektor dengan Skalar Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar) dari nilai vektor asli Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu a (A +B ) = aA + aB Contoh : B = aA a > 0, B searah A B = aA a<0, B berlawanan A Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor A • B = AB cos (dibaca sebagai "A titik B") Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar A.B A B cos Perkalian titik adalah komutatif Perkalian titik adalah distributif A.B = B.A A.(B+C) = A.B + A.C Perkalian titik memenuhi perkalian skalar Contoh : A • kB = k(A •B) C A B cos di mana adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil. Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan A • B = AxBx + AyBy + AzBz Perkalian Silang Dua Buah Vektor Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan tangan kanan. C AXB A B sin Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif AXB = -BXA Perkalian silang adalah distributif AX(B+C) = AXB + AXC Contoh : C AXB A B sin = sudut antara A dan B yang lebih kecil. an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan B Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran skrup Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen vektor akan menghasilkan, A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz) = (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az Contoh : Jika A = 2ax + 4ay – 3aZ dan B = ax – ay, carilah A • B dan A x B ! Penyelesaian! A B (2)(1) (4)(1) (3)(0) 2 ax ay az A B 2 4 3 3ax 3ay 6az 1 1 0 Sistem koordinat • Koordinat cartesian tidak cukup !!! • Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan bola • Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat bola. • Ilustrasi : • Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat • Koordinat cartesian = (x, y, z) • koordinat silindris = (r, , z ) • koordinat bola = (r,,) Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam Tiga Buah Sistem Koordinat Z Z Z AA(r,(r,φ, ,z)z) A (x, y, z) z z y X x r Y r Y z Y X A (r, ,θ) X Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem koordinat : A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian) A = Arar + Aa + Azaz (Silindris) A = Arar + Aa + Aa(Bola) Bidang-bidang Permukaan Nilai Konstan untuk . Tiga sistem Koordinat Arah vektor satuan untuk tiga sistem koordinat Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana koordinatnya bertambah. Semua sistem merupakan sistem tangan kanan: ax x aY = aZ ar x a = az ar x a = a Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat silinder vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : A Ar ar A a A a z z Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z; Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya dapat dicari dengan mengambil perkalian titik ar ay. sin az. 0 ax. cos a -sin cos 0 az 0 0 1 Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az Transformasi skalar antar sistem koordinat Koordinat cartesian – koordinat bola vektor dalam Cartesian : A = Axax + Ayay + Azaz Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z; vektor dalam Silinder : A Ar ar A a A a Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z; Dengan cara yang sama … ar ax. ay. az. a Sin θ sin Sin θ Cos Cos θ Cos θ Cos Cos θ Sin -Sin θ az -Sin Cos 0 Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar A = (Axax + Ayay + Azaz)• a A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ Diferensial volume pada tiga sistem koordinat Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak terhadap ar adalah, dS = (r d)(r sin d) = r2 sin d Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi, dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian) d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris) d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2 d2 (Bola) Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1 Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)! Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya? Penyelesaian : Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6. Selanjutnya. C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az Magnituda C adalah C | C | ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 Vektor satuannya adalah C ( x2 x1 ) a x ( y2 y1 ) a y ( z 2 z1 ) a z aC C ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 Soal 2 Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat silindris! Penyelesaian : Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b Panda gambar diperoleh : A = -5ay, B = 5ay + 10az Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen antara kedua titik | B A | 10 2 Soal 3 Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya pada vektor B = 5ax – ay + 2az! Penyelesaian : A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar, proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta mengambil perkalian titiknya. A aB Proyeksi A pada B Proyeksi A pada B = B A aB A B |B| Jadi pada (2,2,1) Proyeksi A pada B = A aB A B (1)(5) (4)(1) (0)(2) 1 |B| 30 (5) 2 (1) 2 (2) 2 Soal 4 Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari sebuah lembaran tipis pada selubung bola dengan jarijari r = r ( Gambar 1-9). Berapakah luas area yang diperoleh jika = 0 dan = ? Penyelesaian : Diferensial elemen permukaan adalah [ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ] dS = r02 sin d d Selanjutnya, 2 A r0 2 sindd 2r0 2 (cos cos ) 0 sehingga saat = 0 dan = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.