Transcript Sınırlamalar

DOĞRUSAL ve DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR*
Bazen İktisat teorisinden kaynaklanan bazı sınırlamaların
modelde yer alması istenebilir veya gerekebilir.
Tüketim ve tasarruf eğilimlerinin toplamı, Coubb-Douglas
modelinin katsayılarının toplamının ölçeğe göre sabit getiri
olması için bire eşit olması gibi durumlarda doğrusal
birleşimler söz konusu olabilir.
Benzer şekilde bazı katsayıların birbirine eşitliği veya farklı
doğrusal birleşimlerinin varlığı da arzu edilebilir. Bu tür
sınırlamalara doğrusal sınırlamalar denir.
* Bu konu, Selahattin GÜRİŞ,Ebru ÇAĞLAYAN,Burak GÜRİŞ EViews ile Temel Ekonometri Bölüm
1
6’dan alınmıştır.
Regresyon modeli,
Yi  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3  ˆ 4 X 4  ˆ 5 X 5   İ
ve sınırlama,
3  4  1
olsun. Bu durumda,
4  1 3
olacağından,
Yi  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3  (1  ˆ 3 ) X 4  ˆ 5 X 5   İ
Yi  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3  X 4  ˆ 3 X 4  ˆ 5 X 5   İ
2
Yi  X 4  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 ( X 3  X 4 )  ˆ 5 X 5   İ
olacak ve model (Y İ  X 4 ) ve ( X 3  X 4 )  için
tanımlaması yapılırsa,
Y
*
ve
X
*
*
*
Y  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X  ˆ 5 X 5   İ
olarak tahmin edilecektir.
Katsayıların birbirine eşitliği de doğrusal sınırlamadır. Aynı
modelde sınırlama  2   3 olursa,
Yi  ˆ1  ˆ 2 X 2  ˆ 3 X 3  ˆ 4 X 4  ˆ 5 X 5   İ
modeli,
3
Yi  ˆ1  ˆ 2 ( X 2  X 3 )  ˆ 4 X 4  ˆ 5 X 5   İ
olarak incelenebilir. Burada,
Xİ  X2  X3
*
tanımlaması ile model,
*
ˆ
ˆ
Yi   1   2 X i  ˆ 4 X 4  ˆ 5 X 5   İ
olarak tahmin edilir.
4
DOĞRUSAL SINIRLAMALARIN TESTİ
Sınırlamalar doğrusal olduğunda test edilmeleri için t ve F
testleri kullanılabilir.
t TESTİ
Katsayıların
anlamlılığının
veya
belirli
bir
değere
eşitliğinin söz konusu olduğu durumda açıklanan t testi,
doğrusal sınırlamaların testi için de benzer bir şekilde
kullanılır. Doğrusal sınırlama türlerinin gösterdiği farklılığa
bağlı olarak t testinin uygulanması da farklılıklar gösterir.
Sabit değer sınırlamasında katsayılardan birinin belirli bir
değere eşit olması söz konusu olduğunda yapılacak t testi
katsayıların belirli bir değere eşit olmasının testi ile aynıdır.
5
Regresyonun orijinden geçip geçmediği test edilmek
istendiğinde ise, sabit katsayının anlamlılığın yani sıfırdan
farklı olup olmadığının test edilmesi gerekecektir. Sabit değer
kısıtlaması birden fazla parametre için geçerli ise, t testi her
biri
için
ayrı
ayrı
uygulanacaktır.
Test
işlemleri
sınırlandırılmamış model ile yapılacaktır.
İki parametrenin birbirine eşit olması, toplamlarının veya
farklarının belirli bir değere eşit olması şeklinde bir sınırlama
söz konusu ise, yani  1   2 veya  1   2  0 sınırlaması
veya örneğin  1   2  1 veya  1   2  0 sınırlaması test
edilecekse hipotezler daha önce açıklandığı gibi oluşturulur.
Test istatistiği ise eşitlik için,
t
( ˆ1  ˆ 2 )  (  1   2 )
s ˆ  ˆ
1
2
olacak ve  1   2 test edildiğinden
6
ˆ1  ˆ 2
t
s ˆ  ˆ
1
s
2
ˆ1  ˆ 2
olacaktır.Burada,
2
s
s
2
ˆ
1

2
ˆ
2

 2 Cov (  1 ,  2 )
olarak tahmin edilir.
Toplamlar veya farklar söz konusu olduğunda test istatistiği,
örneğin  1   2  1 durumu için,
t
( ˆ1  ˆ 2 )  (  1   2 )
s ˆ
ˆ
12
ve
t 
( ˆ1  ˆ 2 )  1
s ˆ
ve
1
 ˆ 2
7
s
2
ˆ1  ˆ 2
 s
olacaktır. Diğer
yapılacaktır.
2
ˆ
1
s

2
ˆ
2

 2 Cov (  1 ,  2 )
işlemler
daha
önce
açıklandığı
gibi
8
Uygulama: Türkiye’nin 1980-2000 yılları arasında elde ettiği
turizm gelirlerini (TG) incelemek amacıyla Türkiye’ye gelen
turist sayısı (TS) ve turizm yatırımları (TY) değişkenleri ile tam
logaritmik model elde edilmiştir.Bulunan bu modelde turist
sayısına ilişkin parametrenin turizm yatırımlarına ilişkin
parametre ile eşit olduğunu sınayınız.
LN(TG) = -3.1406+2.1888LN(TS)+1.1413LN(TY)
s(bi) =
(0.77)
(0.523)
t = (-4.078)
prob = [0.0000]
Fhes= 461.68
prob [0.0000]
(4.185)
(0.325)
(3.512)
[0.0000]
R2=0.9777
[0.0000]

e t  0 . 7042
2
Cov(  2  3 )  0 . 14
9
H 0 :  2   3 (  2   3  0)
H 1   2   3 (  2   3  0)
t 0 .05 ;18  1 . 734
t
( ˆ 2  ˆ 3 )  (  2   3 )
s ˆ
s ˆ
2
 ˆ 3
( 0 . 523 )  ( 0 . 325 )  2 ( 0 . 14 )  0 . 32
2
ˆ
2 3
t
2
( 2 . 1888  1 . 1413 )  0
0 . 32
 3 . 273
10
thes= 3.273 > ttab= 1.734
H0 reddedilir.Sınırlama geçerli değildir.
Parametrelerin birbirine eşit olduğu söylenemez.(  2   3 )
11
F TESTİ
Doğrusal
sınırlamaların
testi
için
sınırlandırılmış
ve
sınırlandırılmamış modellerin tahmin edilmesi gereklidir. Bu
test yapılırken sınırlama sayısı önemli değildir. Test söz
konusu
olan
sınırlamaların
geçerli
olmaması
halinde
modellerin açıklandığı değişim miktarlarının aynı olacağı
mantığına dayanmaktadır. Diğer bir ifade ile söz konusu olan
sınırlamalar geçerli ise sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış
modeller
tarafından
bağımlı
değişkendeki
değişmelerin
açıklanma miktarları arasında istatistiksel olarak anlamlı bir
fark olacaktır.
12
Test için açıklanmayan değişme, yani artıkların kareleri
toplamı
kullanılabilir.Sınırlandırılmış
modelin
artıklarının
kareleri toplamı e t2 ve sınırlandırılmamış modelin artıklarının
R
kareleri toplamı

(  et
2
e tU
2
F 
ile ifade edilirse F test istatistiği,
  et
2
R
2
t U
e
U
)/h
/( n  k u )
olarak hesaplanacaktır. Burada,
h  kU  k R
13
ve test istatistiğinin dağılımı h ve (n- kU) serbestlik
dereceli F dağılımıdır.
F test istatistiği
F 
R2 değerleri ile,
(R  R ) / h
2
U
2
R
(1  RU ) /( n  k )
2
veya
F 
( RBD
U
( HBD
 RBD
U
R
)/h
) /( n  k )
olarak da hesaplanabilir.
14
Kimya Sanayii dalında faaliyet gösteren 15 firmanın üretimleri (Y), emek
girdileri(X 2) ve sermaye girdileri (X3) aşağıdaki gibidir.
Firma
Üretim(bin ton)
Emek(saat)
Sermaye(makin
e saati)
1
60
1000
300
2
120
1200
400
3
190
1430
420
4
250
1100
400
5
300
1520
510
6
360
1620
590
7
380
1800
600
8
430
1820
630
9
440
1800
610
10
490
1750
630
11
500
1950
850
12
520
1960
900
13
540
1830
980
14
410
1900
900
15
350
1500
800
15
Y  b1 . X
b2
2
X
b3
3
log Y   16 . 72020  2 . 721901 log X 2  0 . 366228 log X 3
s ( bi )
t
prob
(2.829909)
(-5.908387)
(0.0001)
(0.567107)
(4.799623)
(0.0004)
R u  0 . 915
2
(0.279795)
(1.308917)
(0.2151)
n=15, k=3
b
Bu üretim fonksiyonu sınırlanmamış
parametrelerine sınır konmamıştır.
i
modeldir,
zira
b
Şimdi b2 + b3 =1 sınırlamasını koymak isteyelim.
1. Aşama:
H 0 : b 2  b3  1
H 1 : b 2  b3  1
2. Aşama:
  0 . 05
anlamlılık seviyesi ve f1 =c=1 sınırlama,
16
f2=n-k=15-3=12 sd. lerinde Ftab=4.75
3. Aşama:
R2=0.915 Sınırlandırılmamış üretim fonksiyonunun belirlilik
katsayısıdır. Sınırlandırılmış üretim fonksiyonunun belirlilik
katsayısı; R 2  ?
R
Bunu bulabilmek için sınırlandırılmış üretim fonksiyonunu
belirleyip EKKY ile tahmin etmeliyiz, yani sınırlandırılmış
EKKY’yı uygulamalıyız. Şöyleki; yukarıdaki sınırlandırılmamış
orijinal üretim fonksiyonu;
ln Y  b1  b2 ln X 2  b3 ln X 3  u
göre H0 hipotezi sınırlaması b2 + b3=1’i dikkate almak için
b3  1  b2 veya b 2  1  b3
alınmalıdır. Biz sonuncusunu alalım:
ln Y  b1  (1  b3 ) ln X 2  b3 ln X 3  u
 b1  ln X 2  b3 (ln X 3  ln X 2 )  u
veya
17
ln Y  ln X
2
 b1  b 3 (ln X 3  ln X 2 )  u
ln Y  b1  ln X
ln Y  ln X
ln(
Y
X
2
 b 3 ln X
2
 b 3 ln X 3  u
 b1  b 3 ln X 3  b 3 ln X
)  b1  b 3 ln(
2
2
X3
X
2
u
)u
2
veya
ln( Y / X 2 )  b1  b 3 ln( X 3 / X 2 )  u
Burada Y/X2, üretim/emek oranı; X3/X2, sermaye/emek oranı
olup, iktisadi yönden önemlidir. İşte b1 ve b3 ‘ün denklemden
EKKY ile tahmini sınırlandırılmış EKKY adını alır. b3’ü bu
yöntemle bulduktan sonra b2 =1-b3’den b2’yi bulabiliriz. Üretim
fonksiyonu için yani sınırlandırılmış EKKY tahmin sonuçları
şöyledir:
ln( Y / X 2 )   0 . 376067  1 . 279176 ln( X 3 / X 2 )
s ( bi )
t
( 0 . 4407080 ) ( 0 . 433029 )
(-0.853186) (2.954019)
R R  0 . 402
2
18
Şimdi formül uygulanabilir,
Fhes 
( 0 . 915  0 . 402 ) / 1
 72 . 253
(1  0 . 915 ) / 12
4. Aşama:
%5 ve %10 önem düzeyinde, Fhes=72.253 > Ftab=4.75
H0 reddedilir. Yani sabit verimlilik reddedilir. Yani ilgili dönemde
^
^
b 2  b 3  3 . 088129
değeri %5 ve %10 anlamlılık seviyesinde 3.088129’un 1’den farklı
olduğu kabul edilir.
Buradan, istatistik testlerden anlamlılık
seviyesinin tespitinin, testi gerçekleştirmeden önce yapılması
gerektiği sonucu çıkmaktadır.
^
Sınırlı EKKY tahminlerinden b 3  1 . 279176
bulunduğuna göre
^
b 2  1  1 . 279176   0 . 279176
olacaktır.
19
Regresyon Modelinin Fonksiyonel Biçiminin
Test Edilmesi (MWD)
Bir
doğ-doğ
regresyon
modeli
ile
log-log
regresyon
modelinden hangisinin tercih edileceğine karar vermek için
MWD testini kullanabiliriz.
Y  a1  a 2X 2  a 3X 3  u
(1)
ln Y  b 1  b 2 ln X 2  b 3 ln X 3  v
(2)
H0: Doğ-doğ model geçerlidir
H1: Log-log model geçerlidir.
20
1. ADIM: 1 nolu model (doğ-doğ) model tahmin edilir. Yˆ ( do ğ )
2. ADIM: 2 nolu model (log-log) model tahmin edilir.
3. ADIM: 1. adımdaki Yˆ ( do ğ ) değerlerinin log.
4. ADIM:
ln Yˆ
ln Yˆ ( do ğ )
Z i  ln Yˆ ( do ğ )  ln Yˆ
4.adımda elde edilen Z değişkeni 1 nolu modeldeki
doğrusal regresyon modeline bağımsız değişken olarak
eklenir .
5.ADIM:
Z değişkeninin katsayı tahmini istatistiksel olarak anlamlı
ise H0 reddedilir.
21
UYGULAMA:
İzmir ilinde 1971(II)-1975(II) üçer aylık dönemlerinde on ikişer
adetlik demet gül talebi incelenmiştir. Demet gül talebi Y
bağımlı değişken, bir demet gülün fiyatı X2 ve ikame mal olarak
da bir demet karanfilin fiyatıX3 bağımsız değişken olarak
modele alınmıştır. Bu model hem doğ-doğ hem de log-log
model olarak tahmin edilmiştir. Hangi model tercih edilmelidir?
Doğ-doğ model:
Y  9734.26  3782.19 X 2  2815.25X 3
R2 = 0.776
Log-log model:
ln Y  9.2278  1.7607 ln X 2  1.3398 ln X 3
R2 = 0.7292
22
Zi değişkeni ile birlikte tahmin edilen doğrusal model
Y  9727.56  3783.06 X 2  2817.71X 3  85.23Z i R2 = 0.7707
t
(3.2178)
(-6.3337)
(2 .8366)
(0.0207)
H0: Doğ-doğ model geçerlidir
H1: Log-log model geçerlidir.
ttab = tn-k = t13, =0.05 = 2.160
thes < ttab
H0 reddedilemez.
23
Bir ekonomideki bir para talebi modelinde MD=Para talebi,
i=Faiz oranı, Y=Milli gelir, L=Likit aktifler stoku(Para
dışındaki) değişkenleri yer almaktadır.
1960-1997 dönemi verileri ile bir ülke için şu fonksiyon
tahmin edilmiştir.
MD= 0.003 - 0.216(İ) + 0.52(Y) + 0.367(L)
s(bi) (0.009) (0.112) (0.101) (0.102)

y i  0 . 1903
2
R  0 . 579
2
Daha sonra bu değişkenlerle tam logaritmik model
oluşturulmuştur.
lnMD=0.412 - 2.325ln(i) + 1.982ln(Y) + 0.417ln(L)
s(bi) (0.519) (0.102)
(0.192)
(1.562)

y i  0 . 123
2
R  0 . 413
2
24
Doğrusal modelin doğru model hipotezini test etmek için
aşağıdaki model kurulmuştur. Gerekli hipotezleri kurup %5
önem seviyesinde hangi modelin tercih edileceğini
söyleyiniz.
MD= 0.01 - 0.038(i) + 0.23(Y) - 0.68(L) + 2.814(Zİ)
s(bi) (0.004) (0.0026) (0.004) (0.512) (0.164)
H0=Doğ-doğ model geçerlidir.
H1=Log-log model geçerlidir.
t hes 
2 . 814
 17 . 159
0 . 164
t tab  t 0 .05 ; 33  2 . 042
thes(17.159)>ttab(2.042) H0 reddedilir.Log-log
model geçerlidir.
25
DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALAR
Bazı durumlarda sınırlamaların yapısı doğrusal olmaz. Bu
durumda doğrusal sınırlamalardan farklı olarak modellerin
tahmininde problemlerle karşılaşılır. Parametreler klasik en
küçük kareler yöntemi ile tahmin edilemeyebilirler.
Regresyon modelinin,
Yi  ˆ1  ˆ 2 X i 2  ˆ 3 X i 3  ˆ 4 X i 4   İ
olduğunu ve katsayılar ile ilgili sınırlamanın  3 . 4  1 olduğunu
varsayalım. Bu durumda,
4 
1
3
26
olacağı model,
1
ˆ
ˆ
ˆ
Yi   1   2 X i 2   3 X i 3 
X i4   İ
3
olacaktır. Bu model doğrusal olmayan bir modeldir. Model
parametreleri, en küçük kareler veya farklı bir yöntemle
tahmin edilecektir.
27
DOĞRUSAL OLMAYAN SINIRLAMALARIN TESTİ
Gerçekte doğrusal olmayan modellerin sınırlamaları için
kullanılacak testler, tahmincilerin dağılımı normal dağılım
olmadığından farklı olacaktır.
Sınırlamalar için Benzerlik Oranı testi (LR), Wald testi (W)
ve Lagrange Çarpanı testi (LM) kullanılır. Bu testler
sadece
doğrusal
olmayan
sınırlamalar
için
geçerli
olmayıp, doğrusal sınırlamalar için de geçerlidir.
Ancak doğrusal sınırlamalar için açıklanan testlerin gerçekte
doğrusal olmayan modeller için kullanılması söz konusu
değildir.
28
BENZERLİK ORANI TESTİ
Benzerlik oranı testi için adından da anlaşılacağı gibi
benzerlik fonksiyonu kullanılır. Test için sınırlandırılmış
modelin
tahmini
de
yapılır
ve
logaritmik
benzerlik
fonksiyonunu eğiminin sıfır veya sıfırdan farklı olması
durumuna göre sınırlamaların geçerli olup olmayacağına
karar verilir. Sınırlandırılmış modelin logaritmik benzerlik
fonksiyonunu
LR,
sınırlandırılmamış
modelin
logaritmik
benzerlik fonksiyonu LU ile ifade edersek test istatistiği,
LR   2 ( L R  LU )
olarak hesaplanır. LR test istatistiğinin dağılımı h serbestlik
dereceli ki-kare dağılımıdır. h sınırlama sayısıdır. Temel
hipotez sınırlamaların geçerli olduğunu,alternatif hipotez ise
29
sınırlamaların geçerli olmadığını ifade eder.
LR test istatistiği  hata payı ve h serbestlik derecesi ile
ki-kare tablosundan bulunacak değer ile karşılaştırılır. LR
tablo değerinden büyükse H0 hipotezi reddedilir,sınırlamalar
geçersizdir. Aksi söz konusu ise sınırlamalar geçerlidir.
LR test istatistiği sınırlandırılmış ve sınırlandırılmamış
modellerin artıklarının karelerinin toplamı ile
LR  n log

e
2
et
e
R
2
t U
veya sınırlandırılmış
belirlilik katsayısı ile,
ve
sınırlandırılmamış
modellerin
1  RR
2
LR  n log
e
1  RU
2
olarak da hesaplanabilir.
30
LAGRANGE ÇARPANI TESTİ
Bu test Lagrange fonksiyonuna ve sınırlandırılmış modelin
tahminine dayanarak yapılır. Büyük örnekler için
LM 
e e
e /n
2
t R
2
t U
2
t R
olarak hesaplanır ve test istatistiğinin dağılımı h (sınırlama
sayısı) serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır. LM test
istatistiği R2 değerleri ile,
( RU  R R )
2
LM 
2
(1  R R ) / n
2
hesaplanabilir.
Doğrusal sınırlamalar söz konusu olduğunda test istatistiği,
31
LM  nR
2
olarak hesaplanabilir. Hipotezler ve hipotezin kabul kararı
benzerlik oranı testinde açıklandığı gibidir.
LM testi F testi gibi bağımsız değişken katsayılarının
tümünün anlamlılığını test etmek için kullanılabilir. Bu
durumda test istatistiği sınırlandırılmamış modelin belirlilik
katsayısı R U2 kullanılarak
LM  nR
2
U
hesaplanır. LM test istatistiğinin dağılımı test edilen
parametre sayılı (k-1) serbestlik dereceli ki-kare
dağılımıdır.
32
WALD TESTİ
Testte, sınırlandırılmamış modelden tahmin edilen varyans
kullanıldığından sınırlandırılmamış modelin tahminini gerektirir.
Birden fazla sınırlama test edilebilir. Sınırlama sayısı h ile
ifade edilebilir. Wald test istatistiği,
W


2
et

  et
2
R
2
et
U
U
/n
olarak hesaplanır. Wald test istatistiği R2 değerleri ile,
W 
(R  R )
2
U
2
R
(1  RU ) / n
hesaplanır.
2
33
Sınırlama sayısı h=1 olduğundan ki-kare tablosunda 1
serbestlik derecesi ile tablo değeri bulunarak benzerlik
oranı testinde olduğu gibi karar verilir.
Aynı modelde aynı kısıtlamalar için Lagrange çarpanı,
Benzerlik oranı ve Wald testleri hesaplandığında,
LM  LR  W
ilişkisi görülür.
34
Uygulama: Mayıs 2001-Mart 2010 dönemi için faiz oranları
(FAİZ),
enflasyon
açığı
(EACIK),
üretim
açığı
(URETİMACIK), bir dönem önceki faiz oranı (GFAİZ) ve
döviz kuru açığı (DKACIK) değişkenleriyle model tahmin
edilmiştir.
Daha sonra döviz kuru açığının yer almadığı modeli ele
alarak sınırlama testlerinden F,LR,LM ve W testleri ile hangi
model ile çalışılacaktır.
35
Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut
H 0 : 3  0
H1 : 3  0
2
Sınırlandırılmamış model: R U = 0.995498

e t U  121 . 4291
2
36
2
R
Sınırlandırılmış model: R = 0.994842

2
et
R
 139 . 1270
37
1. F TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. (
H 0 : 3  0
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( H 1 :  3
)
0
)
2. aşama: f1: h= 1 , f2: n-k= 106-5=101 Ftab=6,85
3. aşama:
F 
( RU  R R ) / h
2
F 
2
(1  R ) /( n  k )
2
U
( 0 . 995498  0 . 994842 ) / 1
(1  0 . 995498 ) / 101
 14 . 7170
38
4. aşama: Fhes = 14.7170 > Ftab = 6.85
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış
model ile çalışılmalıdır.
39
2.BENZERLİK ORANI TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. ( H 0 :  3
H1: Sınırlamalar geçersizdir. (
H1 : 3  0
 0)
)
2.aşama: h=1  12  3 . 84
3.aşama:
LR  n log
LR  106 log

e
2
et
e
R
2
t U
139 . 1270
e
 14 . 42
121 . 4291
40
4.aşama: LR=14.42 >  tab  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış model
ile çalışılmalıdır.
veya
1  RR
2
LR  n log
LR  106 log
e
1 R
2
U
1  0 . 994842
e
1  0 . 995498
 14 . 419
>  tab  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
41
3.LAGRANGE ÇARPANI TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. (
H1: Sınırlamalar geçersizdir. (
2.aşama: h=1
3.aşama:
LM
LM 
H 0 : 3  0 )
H1 : 3  0
)
 1  3 . 84
2


2
et

  et
2
R
2
et
R
U
/n
139 . 127  121 . 4291
 13 . 483
139 . 127 / 106
42
4.aşama LM=13.483 >
 1  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
( RU  R R )
2
LM 
LM 
2
(1  R R ) / n
2
( 0 . 995498  0 . 994842 )
(1  0 . 994842 ) / 106
 13 . 481 >  1  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış
model ile çalışılmalıdır.
43
WALD TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. (
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( H 1 :  3
2.aşama: h=1
 1  3 . 84
3.aşama:


W 
H 0 : 3  0 )
0
)
2
W
2
et

  et
2
R
2
et
U
U
/n
139 . 1270  121 . 4291
 15 . 449
121 . 4291 / 106
44
W=15.449 >  1  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
( RU  R R )
2
W 
W 
2
(1  RU ) / n
2
( 0 . 995498  0 . 994842 )
(1  0 . 995498 ) / 106
 15 . 446 >  1  3 . 84
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış
model ile çalışılmalıdır.
45
LM=13.483
LR=14.42
W=15.449
LM  LR  W
46
Yt=β1+β2GFAİZ β3DKAÇIK+β4EAÇIK+β5ÜRETİMAÇIK+ut
H 0 : 3  4  0
H1 : 3  4  0
2
Sınırlandırılmamış model: R U = 0.995498

e t U  121 . 4291
2
47
Sınırlandırılmış model: R
2
R

=0.994597
2
et
R
 145 . 7361
48
4.WALD TESTİ ÖRNEĞİ
1. aşama: H0: Sınırlamalar geçerlidir. (
H 0 : 3   4  0)
H1: Sınırlamalar geçersizdir. ( H 1 :  3   4  0 )
2.aşama: h=2
 tab  5 . 991
3.aşama:

W 
2
W 
2
et

  et
2
R
2
et
U
U
/n
145 . 7361  121 . 4291
 21 . 218
121 . 4291 / 106
49
 tab  5 . 991
2
W=21.218 >
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir.
veya
W 
W 
(R  R )
2
U
2
R
(1  R ) / n
2
U
( 0 . 995498  0 . 994597 )
(1  0 . 995498 ) / 106
W=21.214 >
 21 . 214
 tab  5 . 991
2
H0 reddedilir. Sınırlamalar geçersizdir. Sınırlandırılmamış
model ile çalışılmalıdır.
50