Transcript 8) AC Circuit Analysis Sinusoidal voltages and currents

AC DEVRE ANALİZİ
(Sinüzoidal Kaynak Devre Analizi)
AC devre analizi ile hepsi aynı frekansta salınım
yapan sin veya cos tipi (sinüzoidal) sinyallerin
olduğu bir devredeki herhangi bir akım veya
gerilim
büyüklüğünün
bulunması
ifade
edilmektedir.
Yani bu konu başlığı altında sadece sinüzoidal
olan AC kaynaklar incelenecekler: NEDEN?
Önce sinüzoidal kaynağı tanımlayalım...
Sinüzoidal Kaynak
Aşağıdaki gibi tanımlanan bir kaynak veya sinyal
sinüzoidal olarak adlandırılır:
vs(t)=Vm . Sin (2πf.t + θ) Volt
vs(t)=Vm . Cos (2πf.t + θ) Volt
is(t)=Vm . Sin (2πf.t + θ) Amper
veya
is(t)=Vm . Cos (2πf.t + θ) Amper
Sinüzoidal Kaynak (Sinüzoidal Sinyal)
Bu şekildeki bir sinüzoidal kaynak veya sinyalin üç
tane tanımlayıcı parametresi vardır. Bunlar:
Genlik
Vm [Volt veya Amper]
Faz Açısı

Frekans
(Açısal Frekans
f
[Hz = 1/sn]
 = 2f [rad/sn] )
büyüklükleridir.
[rad veya derece]
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
v( t )  Vm  Cos  t   
Yukarıdaki gibi bir sinüzoidal işaretin genlik
(Vm), frekans veya açısal frekans (f veya ω) ve
faz açısı (θ) büyüklükleri kullanıldıkları
devrelerde ne şekilde değişikliğe uğrarlar?
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
• Bizim inceleyeceğimiz devreler sadece doğrusal ve pasif
olan R, L ve C elektrik devre elemanları ile kurulu
olanlardır.
• Bu elemanların akım ve gerilim büyüklüklerini birbirine
bağlayan tanım bağıntıları ya ölçekleme ya türev ya da
integral işlemleri ile tanımlıdırlar.
• O zaman bu üç işlem sonunda sinüzoidal bir işarette nasıl
bir değişiklik oluşur veya üç tanımlayıcı parametresi nasıl
değişir?
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
v( t )  Vm  Cos  t   
Vm
Vm
 vt dt    Sin  t       Cos  t    90
dv( t )
 Vm    Sin  t     Vm    Cos  t    90
dt
YANİ; Sinüzoidal işaretlerin ölçeklenmesi, türev
veya integralinin hesaplanması durumunda yine
aynı frekansta salın yapan fakat genlik ve fazı
değişmiş yanı sinüzoidal işaret elde edilir.
Sinyal v(t), integrali (iv(t) ile gösterilen) ve
türevi (dv(t) ile gösterilen)
0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal
44.429 60
48
36

dvt n
ivt n
Voltaj [V]
v tn
24
12
0
12
24
36
 44.429
48
60
0
0
0.5
1
1.5
2
tn
Zaman [s]
2.5
3
3.5
4
4
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
• Basit bir AC kaynak ve R elemanı olan devrede:
+
vR(t)
R
iS(t)
-
Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa
R elemanı tanım bağıntısı vR(t) = R . iR(t) yardımıyla
vR(t)=R.K.cos(ωt+θ) V
şeklinde hesaplanır.
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
• Basit bir AC kaynak ve C elemanı olan devrede:
+
vC(t)
C
iS(t)
-
Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa
C elemanı tanım bağıntısı iC(t) = C . dvC(t)/dt yardımıyla
vC(t)=1/ωC.K.cos(ωt+θ-90o) V
şeklinde hesaplanır.
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
• Basit bir AC kaynak ve L elemanı olan devrede:
+
vL(t)
L
iS(t)
-
Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa
L elemanı tanım bağıntısı vL(t) = L . diL(t)/dt yardımıyla
vL(t)=ωL.K.cos(ωt+θ+90o) V
şeklinde hesaplanır.
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1:
R ELEMANI:
Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanın
uçları arasında oluşan gerilim sadece genliği R kadar ölçeklenmiş aynı sin/cos
sinyali olacaktır.
C ELEMANI:
Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanın
uçları arasında oluşan gerilim genliği 1/ωC kadar ölçeklenmiş ve fazı da -900
kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız C elemanı akım-gerilim
tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade integral işlemi)
L ELEMANI:
Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanın
uçları arasında oluşan gerilim genliği ωL kadar ölçeklenmiş ve fazı da +900
kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız L elemanı akım-gerilim
tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade türev işlemi)
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1
• BASİT R, L, C DEVRELERİNDE SİNÜZOIDAL
SİNYALLERİN KULLANILMASI DURUMUNDA
TÜM GERİLİM VE AKIM BÜYÜKLÜKLERİ SADECE
GENLİK VE FAZ AÇISI DEĞERLERİ DEĞİŞMİŞ
AYNI SİNÜZOİDAL SİNYAL OLMAKTADIR.
• BU DURUM R, L VE C ELEMANLARININ
HERHANGİ BİR KOMBİNASYONU İLE KURULU
TÜM DEVRELER İÇİN DE GEÇERLİDİR.
• BU DURUM BAŞKA BİR AC KANYAK İLE MESELA
BİR KARE DALGA SİNYALİ İLE BU KADAR BASİT
VE SADE OLAMAYACAKTIR.
NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER
KULLANILIRLAR - 1
• O ZAMAN SADECE SİNÜZOİDAL KAYNAKLAR
VARKEN BİR DEVRE ELEMANININ AKIM VEYA
GERİLİM BÜYÜKLÜKLERİNE ETKİSİ GENLİK VE
FAZ
AÇISI
BÜYÜKLÜĞÜNÜ
DEĞİŞTİRMEK
OLARAK AÇIKLANABİLİR.
• BUNU MATEMATİKSEL OLARAK İFADE EDECEK
BİR HESAPLAMA YÖNTEMİ ACABA NE OLABİLİR?
İPUCU: KARMAŞIK SAYILAR GÜZELDİR…
NEDEN SİNÜZOİDAL
SİNYALLER KULLANILIRLAR - 2
ASLINDA SİNÜZOİDAL OLMAYAN BİR AC KAYNAĞI
TANIMLAMAK İÇİN DE sinüzoidal işaretleri KULLANMAK
YETERLİDİR.
Detaylar SİNYALLER ve SİSTEMLER Dersinde!
ŞİMDİLİK AC KAYNAK OLARAK SADECE sinüzoidal işaretler
VARMIŞ GİBİ DÜŞÜNEREK BUNLARLA DEVREDE EN ETKİN
EN KOLAY HESAPLAMA (ANALİZ) MATEMATİKSEL
OLARAK NASIL YAPILIR BUNUN ÜZERİNDE DURACAĞIZ…
İPUCU: BİR REEL SAYI İLE KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ
EN BELİRGİN FARK NEDİR?
SORU: ACABA BU MAKSATLA KARMAŞIK
SAYILAR KULLANILABİLİRLER Mİ?
CEVAP: EVET!!!
ÇÜNKÜ HER KARMAŞIK SAYI ASLINDA
ADLARI REEL VE İMAJİNER KISIM OLAN İKİ
FARKLI SAYI DEMEKTİR...
O ZAMAN KARMAŞIK SAYILAR AYNI ANDA
İKİ FARKLI BÜYÜKLÜK ÜZERİNDE (genlik ve
faz) İŞLEM YAPMAK İÇİN MATEMATİKSEL
OLARAK YETERLİ VE UYGUN OLURLAR...
SİNÜZOİDAL SİNYALİN
KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ
imajiner
Normalde karmaşıkdüzlemde bir nokta
bir karmaşık sayıyı
ifade eder.
+j
( = 90 veya  /2)

orijine olan uzaklık:
Vm
- reel
θ+t
Farklı bir yaklaşım olarak
zamanla konumunu değiştiren bir nokta göz önüne
alalım: bu noktanın θ başlangıç açısı ve ω açısal hızı
ile saatin ters yönünde
döndüğünü kabul edelim.
=0
+ reel
 = 180 veya 
-j ( = -90 or - /2)
+j ( = 90 veya  /2)
v  Vm cos2  f  t   
0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal
14.142 15
12

Voltaj [V]
9
Vm
+t
 = 180 veya 
=0
+
reel
- reel
6
v imagt n
3
0
3
6
9
12
 14.142
15
-j ( = -90 veya - /2)
5
10
(  t)
n
3
4.5
  t n
w açısal hızı ile dönen noktanın reel
eksen üzerine iz-düşümü cos(wt) olur
6
7.5
9
10.5
12
13.5
 12.566
15
15
12.566
w açısal hızı ile dönen noktanın imajiner
eksen üzerine iz-düşümü sin(wt) olur
0
1.5
açısal frekans [rad/s] . Zaman [s]
0
açısal frekans [rad/s] . Zaman [s]
0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal
0
0
15
 14.142
10
5
0
v real( t) n
Voltaj [V]
5
10
15
14.142
BASİT R DEVRESİ SİNYALLERİNİN
KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ
+ imajiner


θ+t
θ+t
R.K
K
+ reel
Gerilim sinyali akım sinyalini R kadar ölçeklenmiş olarak ancak aralarında
açı farkı olmaksızın takip eder.
BASİT C DEVRESİ SİNYALLERİNİN
KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ
+ imajiner

θ+t
1/ωC.K
K
ωt+θ-90o
+ reel

Gerilim sinyali akım sinyalini 1/ωC kadar ölçeklenmiş olarak ve aralarında açı
farkı -90o olarak takip eder.
BASİT L DEVRESİ SİNYALLERİNİN
KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ
+ imajiner


ωt+θ+90o
θ+t
ωL.K
K
+ reel
Gerilim sinyali akım sinyalini ωL kadar ölçeklenmiş olarak ve aralarında açı
farkı +90o olarak takip eder.
FAZÖR
Sin/Cos bir kaynak ile R, L ve C elemanından kurulu basit
bir AC devredeki akım veya gerilim büyüklükleri daha önce
tanımlandığı şekliyle karmaşık düzlemde gösterildiklerinde:
• akım ve gerilim büyüklükleri aynı ω açısal hız ile dönen
noktalarla temsil edilebilirler
• bunun benzeri şekilde tanımlı herhangi bir karmaşık akım
ve gerilim büyüklüğüne FAZÖR adı verilir
• genelikle akım fazörü Ĩ şeklinde ve gerilim fazörü Ũ (V ile
aynı sembol elde edilemediği için U) şeklinde gösterilirler
FAZÖR
FAZÖRLER aynı ω açısal hızı değerine sahip olduklarında
yani devrede tek bir ω büyüklüğü olduğunda:
• birbirlerine olan bağıl konumları değişmediği için dönme
hareketi yokmuş gibi yani basit bir KARMAŞIK SAYI gibi
de düşünülebilirler
• bir elektrik devre elmanına ait akım fazörünü gerilim
fazörüne bağlayan, en genel halde genlik ve faz açısı
büyüklüklerini değiştiren karmaşık sayıya EMPEDANS adı
verilir
• EMPEDANS aslında R, L, C elemanlarının tanım
bağıntılarının sadece sinüzoidal işaretler göz önüne
alındığındaki matematiksel ifadesi olarak ta tanımlanabilir
EMPEDANS
Sinüzoidal AC akıma gösterilen karşı koymanın (direnimin)
ölçüsüdür.
Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır:
– Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü
tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır.
– Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın
ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır.
Empedans = Rezistans + j.Reaktans
şeklinde tanımlı olup, EE uygulamalarında
Z=R+jX [ohm]
ile sembolize edilir.
EMPEDANS
• DİRENÇ ELEMANI: değeri R0 olan eleman için
Rdirenç= R0 ve
Xdirenç=0 
ZR=R
• BOBİN ELEMANI: değeri L olan eleman için
Rbobin= 0
ve
Xbobin=ωL 
Zbobin=jωL
• KAPASİTE ELEMANI: değeri C olan eleman için
Rkapasite= 0 ve
Xkapasite=-1/ωC  Zkapasite=1/jωC
ADMİTANS
Elektrik devrelerinde Sinüzoidal AC gerilim için tanımlı
iletkenliğin ölçüsüdür.
Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır:
– Reel bileşeni klasik iletkenlik gibi davranmanın ölçüsünü
tanımlayan KONDÜKTANS olarak adlandırılır.
– Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın
ölçüsünü tanımlayan SUSEPTANS olarak adlandırılır.
Admitans = Kondüktans + j.Suseptans
şeklinde tanımlı olup, EE uygulamalarında
Y=G+jB [siemens]
ile sembolize edilirler.
EMPEDANS’ ın Anlamı
• Empedans’ın R, L, C elemanları için
sinüzoidal akım ve gerilim arasındaki
ilişkiyi tanımladığı söylenmişti.
• Bu aslında, SADECE SİNÜZOİDAL
İŞARETLER varken özellikle L ve C
elemanlarının tanım bağıntılarının karmaşık
sayılar kullanılarak düzenlenmiş halidir.
I
V
Z
V=IZ
VR=R.IR
• vR(t) = R iR(t)

di L ( t )
• vL ( t )  L 
dt

VL  L  ( j  I L )
dvC ( t )
• iC ( t )  C 
dt

I C  C  ( j  VC )
veya
VC  ( C 1j )  VC
YANİ
SADECE SİNÜZOİDAL GERİLİM VE AKIM
BÜYÜKLÜKLERİ SÖZKONUSU İKEN
BUNLAR KARMAŞIK SAYI DÜZLEMİNDE TANIMLANDIĞINDA
TÜREV İŞLEMİNİN KARŞILIĞI OLARAK, yani
d/dt [ 1.Cos(wt+00)]  -w.Sin(wt) = w.Cos(wt+900)
d/dt [ 1.Sin(wt+00)]  w.Cos(wt) = w.Sin(wt+900)
işlemleri için
j ÇARPANI İLE +900 FAZ DEĞİŞİMİ
ω ÇARPANI İLE DE ω ÖLÇEĞİNDE GENLİK DEĞİŞİMİ
İFADE EDİLMEK ÜZERE jω ÇARPANI KULLANILIR.
ASLINDA EMPEDANS DENİLEN BÜYÜKLÜK İÇERİSİNDE
TÜREV DE OLAN TANIM BAĞINTISININ KARMAŞIK
DÜZLEMDEKİ İFADESİDİR.