Transcript AKM Ders Notları 1

Ercan Kahya
Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul
1
Mechanics
Rigid Bodies
(Things that do not change shape)
Statics
Dynamics
Deformable Bodies
(Things that do change shape)
Fluids
Incompressible
Compressible
BÖLÜM 1
TEMEL KAVRAMLAR
1.2. BİRİMLER, ÖZGÜL KÜTLE, ÖZGÜL AGIRLIK
SI: "Systeme International d'Unites"
SI Birim Sistemi
 Newton İkinci Kanunundan türetilen kuvvet birimi:
“ the force required to accelerate a kilogram at one meter
per second per second is defined as the Newton (N)”
Yeryüzündeki yer çekimi ivmesi: 9.81 m/s2
Böylece, “bir kilogramın ağırlığı” yeryüzünde:
W = m g = (1) (9.81) kg m / s2 = 9.81 N
Özgül kütle (ρ): Maddenin birim hacminin kütlesi
Özgül ağırlık (γ): Maddenin birim hacminin ağırlığı
Ağırlık = Kütle x Yer Çekimi İvmesi
- Suyun 20 derece sıcaklıktaki özgül ağırlığı: 9.79 kN/m3
- Suyun 4 derece sıcaklıktaki yoğunlugu: 1000 kg/m3
Rölatif Özgül Kütle (S): Akışkan özgül kütlesinin standart
şartlardaki suyun özgül kütlesine oranıdır ve boyutsuzdur.
 Cıvanın 20 oC deki rölatif özgül kütlesi:
133kN/m3
SHg 
 13.6
9.81kN/m3
1.3. MOLEKÜLER YAPI
Akışkanlar Mekaniği, sürekli ortam kabulü üzerinde kurulur.
1.4. GERİLMELERE KARŞI DAVRANIŞ
- Bir kuvvetler sisteminin etkisi altında bulunan herhangi bir cismin
içinden geçen bir yüzey düşünelim:
Normal gerilme → Basınç
Akışkanın Basınç Gerilmelerine Karşı Davranışı: Sıkışabilirlik
- Gazlarda sıkışabilme en fazla, sıvılarda daha az, katılarda
ise en azdır.
Akışkanın hacımsal
elastisite katsayısı
SONUÇ: Akışkan sıkışabildiğine göre özgül
kütlesi de sabit kalmaz & özgül kütlesi artar.
Sıkıştırılamayan akışkan kabul: ρ=sabit
Akışkanın Kayma Gerilmelerine Karşı Davranışı: Vizkosite
Katıların kayma gerilmelerine karşı
gösterdiği direnç son derece
büyüktür.
Akışkanların ise kayma gerilmelerine
karşı gösterdiği direnç son derece
küçüktür.
GÖZLEM: Akışkan sürekli olarak şekil değiştiriyor...
SONUÇ: "derine doğru akımın zayıflaması, suyun bu gerilmeye karşı az da
olsa bir direncinin olduğunu gösteriyor"
Akışkanın kayma gerilmelerine karşı, az da olsa, direnç gösterme
özelliğine, akışkanın viskozite özelliği denir.
Viskozite: Akışkanların kaymaya veya açısal deformasyonlara, yani
akmaya, karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür.
Newton'un Elemanter Sürtünme Kanunu:
Taralı akışkan tabakasını düşünelim:
GÖZLEM: Kayma gerilmesi ne kadar büyük ise
hızdaki du/dy artması da o nisbette büyük olacaktır.
GÖZLEM: Akışkan viskozitesi ne kadar büyük olursa, “du/dy” o kadar
küçük olacaktır.
- Her iki gözlem sonucunu birleştirisek,
: kinematik viskozitesi kt.
:dinamik viskozite katsayısı
Viskozitenin Sıcaklıkla Değişimi:
Gazlardaki bu moleküler faaliyet, sıcaklığın artması ile
artar.
=> Gazların viskozitesi sıcaklıkla artar.
Sıvılarda sıcaklığın artması ile moleküller arasındaki
kohezyon kuvveti azalır.
=> Sıvılarda viskozitenin sıcaklıkla azalır.
Kayma gerilmesinin açısal deformasyon hızı ile değişimi
- Newtonian olmayan akışkanların mekaniğini de kapsayan bilimdalına
Rheology (Reoloji) denir.
Buhar Basıncı
■ Sıvılar bütün sıcaklıklarda buharlaşma eğilimi gösterirler.
■ Bu durum, sıvı moleküllerinin, doğal termal titreşim sonucu
yüzeyden kaçması ile oluşur.
■ Bu şekilde sıvı bünyesinden kaçarak sıvı yüzeyinde biriken
moleküllerin oluşturduğu basınca buhar basıncı, Pb, denir.
■ Moleküler aktivitenin sıcaklıkla artması nedeniyle buhar
basıncı da sıcaklıkla artar.
■ Yüzeyindeki mutlak basıncın, buhar basıncına eşit veya altına
düşmesiyle sıvılarda kaynama meydana gelir.
■ Kaynama ile birlikte sıvıya yoğun şekilde buhar kabarcıkları karışır. Sıvı
akımlarında ortaya çıkabilecek bu duruma kavitasyon denir.
Cavitation
Phenomenon that occurs when the fluid pressure is reduced to the local vapor
pressure and boiling occurs.
Vapor bubbles form in the liquid, grow and collapse; producing shock wave, noise &
dynamic effects.
RESULT: lessened performance & equipment failure !
Cavitation typically occurs at locations where the velocity is high.
In case b, flow rate is higher
BÖLÜM 2
AKIŞKANLARIN STATİĞİ
2.2. BİR NOKTADA BASINÇ
Bu denklemlerden:
Prizmaya etkiyen kuvvetler
için denge denklemleri:
dx → 0, dz → 0. Bu durumda
(dx,dz,ds) üçgeni bir noktaya
indirgenecektir.
Bir noktada basınç
doğrultudan bağımsızdır.
2.3. BASINCIN DERİNLİKLE DEGİŞİMİ
Durgun bir akışkan kütlesi içerisinde boyutlan (1x1xdz) olan bir akışkan
parçası düşünelim:
z-doğrultusunda denge denklemi:
mutlak basınç:
► Durgun bir akışkanda basıncı aynı olan
noktaların geometrik yeri birer yatay
düzlemdir. Bunlara “nivo yüzeyleri” denir.
rölatif basınç:
Mutlak Basınç, Rölatif Basınç:
Basınç ölçen manometreler ve düzenekler rölatif basıncı verdiğinden,
rölatif basınca manometre basıncı da denir.
Atmosfer basıncı, Patm, barometre basıncı olarak da anılır ve denizden
yükseklik ve meteorolojik şartlar ile değişir.
Standart atmosfer basıncı deniz seviyesindeki basınç olup aşağıdaki
değerler ile verilir:
Patm = 760 mm Hg = 10,34 m su = 101300 Pa = 1,013 bar
Mutlak ve rölatif basınç değerleri şematik olarak gösterimi:
2.4. BASINÇ-DERİNLİK BAĞINTISININ PRATİKTEKİ UYGULAMALARI
2.4.1. Değişik Ağırlıklı Sıvılar
2.4.2. Birleşik Kaplar
2.4.3. Manometre
a-a bir nivo yüzeyidir; bu yüzey
üzerinde basınçlar birbirine eşittir:
2.4.4. Toricelli Deneyi
2.4.5. Pascal Kanunu
Pascal kanunu: Denge halinde bulunan bir gaz, kapalı bir kap
içerisinde basınca maruz kalırsa, ağırlık ihmal edildiği takdirde,
kabın her noktasında basınç aynıdır.
Force = pressure x area
[N = N/m2 x m2]
For 25 cm-diameter piston:
If air pressure is 600 kN/m2
what is the force lifting
up the car?
Ans: 29.5 kN
U-tube Manometer
General manometer equation
p2  p1    i hi    i hi
down
1: Initial point index
2: Final point index
Problem: water in pipe, mercury manometer liquid ( mercury specific weight =133
kN/m3)
∆h = 60 cm l =180 cm
Find the pressure at the centre of the pipe ?
Ans: 62.1 kPa
up
Example 3.7: Manometer Analysis
Question: Pressure of the air?
Given: l1 = 40 cm l2 = 100 cm l3 = 80 cm
Differential Manometers
To measure the pressure difference btw two points in a pipe
Here, the pressure difference
between 1 and 2 is:
P  ( m   f )h
(this is for a horizontal pipe… z1 = z2)
γm : the specific weight of the manometer liquid,
γf : the specific weight of the fluid,
Δh : the deflection of this liquid.
Differential Manometers
 Example 3.8:
 Specific gravity of
manometer fluid is 3.
Δh = 5 cm
Δz = 1 m
y = 2 cm
What is the pressure difference?
What is the change in piezometric pressure?
Solution:
Piezometric pressure
p  z  pz
Piezometric difference
P  ( m   f )h
Applying the manometer equation between points 1 and 2:
P2  P1   w (y  h)   mh   w (y  z2  z1 )
( P2   w z2 )  ( P1   w z1 )  h( w   m )
Change in piezometric pressure:
Pz 2  Pz1  h( w  ym )
FLUID STATICS:
Düzlemsel Yüzeylere Etkiyen Basınç
Kuvveti
Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson
Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
SHOW INTRODUCTION !
36
Distribution of hydrostatic pressure on a plane surface
Pressure on the differential
area can be computed if the y
distance to the point is known
dF = p dA = ( y sin) dA
Integrating the differential
force over the entire area A
Hydrostatic Force
_
_
_
F  y SinA  p A
Pressure at the centroid
F  Sin  y dA Sin y A
A
Integral is the first moment of the area
Hydrostatic Force
Hydrostatic Force Terms
 Δh: Vertical distance from centroid to the water surface
(This distance determines the pressure at the centroid)
 y: Inclined distance from water surface to the centroid
 ycp: Inclined distance from water surface to centre of pressure
 ¯P: the pressure at the centroid
Vertical Location of Line of Action of resultant Hydrostatic Force
- Considering moments of the pressure about the horizontal axis 0-0:
_
_
ycp  y 
I
_
SHOW DERIVATION !
yA
•
•
•
•
ycp = (inclined) distance to the centre of pressure
y ¯= (inclined) distance to the centroid
I ¯= area moment of inertia about horizontal axis passing the centriod
A = surface area
Restrictions:
1- One liquid involved
2- Gage pressure is zero at the liquid surface
Lateral Location of Line of Action of resultant Hydrostatic Force
- The same principles as above can be used for the lateral location
- Starts with taking moments about a line normal to line 0-0
Review of Centroid & Area Moment of Inertia
Example: 3.10
• An elliptical gate covers the end of a pipe 4m in diameter. If the gate is hinged at
the top, what normal force F is required to open the gate when water is 8 m deep
above the top of the pipe and the pipe is open to the atmosphere on the other side?
Neglect the weight of gate.
Resultant hydrostatic force:

Fp  p A  hA  (9810x10)ab
(a, b: half of major and minor axes)
Fp = 1.54 MN
_
_
ycp  y 
I
_
yA

1 / 4a 3b

y ab
 0.125 m
y¯(slant distance from surface to centroid): 12.5m
Example cont’d
Moment about the hinge. Moment arm
for the hydrostatic force:
2.5 +0.125 = 2.625m
M hinge  0
(1.541x106 N x 2.625m) - (F x 5 m)  0
F  809 kN
Normal Force required to open gate
Free body diagram of the gate
Pressure Prism
The volume called the pressure prism, that is a geometric representation
of the hydrostatic force on a plane surface
The resultant force
must pass through the
centroid of the
pressure prism.
Pressure Prism
• An informative and useful graphical interpretation can be made for the force
developed by a fluid acting on a plane area.
• Consider the pressure distribution along a vertical wall of a tank of width b,
which contains a liquid having a specific weight .
• Since the pressure must vary linearly with depth, we can represent the
variation as is shown in Figure below, where the pressure is equal to zero at
the upper surface and reach to maximum at the bottom.
• It is apparent from this diagram that the average pressure occurs at the
depth h/2 and therefore the resultant force acting on the rectangular area
(A = b h) is
FLUID STATICS:
Hydrostatic Forces on Curved surfaces
Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson
Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Hydrostatic Forces on Curved Surfaces
Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force acting
on surface AB
Important Questions to Ask
1. What is the shape of
the curve?
2. How deep is the
curved surface?
3. Where does the curve
intersect straight
surfaces?
4. What is the radius of
the curve?
Hydrostatic Forces on Curved Surfaces
A free-body diagram of a suitable volume of fluid can be used to
determine the resultant force acting on a curved surface.
Hydrostatic forces on Curved surfaces.
Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force
acting on surface AB
Forces acting on the fluid element
1.
2.
3.
4.
FV : Force on the fluid element due to the
weight of water above CB
FH : Force on the fluid element due to
horizontal hydrostatic forces on AC
W : Weight of the water in fluid element
ABC
F : The force that counters all other forces
- F has a horizontal component: Fx
- F has a vertical component: Fy
Hydrostatic forces on Curved surfaces
Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force acting on surface AB
- Given: Surface AB with a width of 1 m
Problem Solving Preparation
1. By inspection, curve is a ¼ circle.
2. The depth to the beginning of the
curve (4 m depth to B)
3. The curve radius (2 m horizontal
curve projection distance = curve
radius)
4. Label relevant points:
• BCDE is water above fluid
element defined by the curve
•
ABC is the fluid element
defined by the curve
Example 3.11: Hydrostatic forces on Curved surfaces
Find Fv, FH, W, Fx, Fy, F, Line of action for FH & Fv
Given: Surface AB goes 1 m into the paper
Fx= FH = (5 x 9810) (2 x 1) = 98.1 kN
Pres. at the cenroid
AC side area
Fy= W + Fv
Fv= 9810 x 4 x 2 x 1 = 78.5 kN
W= γVABC= 9810 (1/4 x  r2) 1 = 30.8 kN
Fy= 78.5 + 30.8 = 109.3 kN
The hydrostatic force acting on AB
is equal and opposite to the force F shown
The centroid of the quadrant
Location of the resultant force
Slide 33
Curved Surface with “liquid above” & “liquid below”
W↓ = F = γ VABCD
W↑ = F = γ Vabcd
FLUID STATICS:
Buoyancy
Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson
Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Buoyancy, Flotation & Stability
Archimedes’ Principle
The resultant fluid
force acting on a
body that is completely
submerged or floating
in a fluid is called the
buoyant force.
FB ↑ = γ VABCD
Important for Surface Ships Stability; Sediment Transport in Rivers
Buoyancy: Floating Object
Depends on submerged portion of
the volume
VD is the submerged volume
Buoyant force
FB  VD
where γ is the specific weight of the
fluid and VD is the volume of the body
Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson
Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.
Example 3.12: Bouyant force on a metal part
- Wood block (1) has dimensions
of 10 x 50 x 50 mm
-Specific Gravity of 0.3
- Metal object (2) has volume of
6600 mm3
– Find the tension in the cable
and mass of object 2.
Steps
• Find the buoyant forces.
• Find the weight of the block.
• Perform force balances on both objects.
Solution:
Free Body Diagrams