Alternatif akım Fazörler ve Alternatif akım Alternatif akım (AC akımı) • Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak (AC) alternatif.
Download ReportTranscript Alternatif akım Fazörler ve Alternatif akım Alternatif akım (AC akımı) • Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak (AC) alternatif.
Alternatif akım Fazörler ve Alternatif akım Alternatif akım (AC akımı) • Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak (AC) alternatif akım olarak isimlendirilir. AC akım kaynağına bir örnek bir manyetik alanda sabit açısal hızla dönen bir tel sarım(bobin) dır. sembolü AC kaynağını belirtmek için kullanılır. Genellikle bir kaynak ~ Ya alternatif akım kaynağı yada voltaj anlamına gelir. • ABD ve Kanada da, ticari elektrik-güç dağıtım sistemi w = 377 rad/s karşılık olan f = 60 Hz lik bir frekans kullanır. Dünyanın geri kalanını çoğu f = 50 Hz kullanır. Bununla birlikte Japonya da , ülke f = 50 Hz ve 60 Hz ile iki bölgeye ayrılır Fazörler ve Alternatif akımlar Fazör Fazör • Zamanla değişen sinüzoidal bir niceliği ifade etmek için uygun bir yol şekilde gösterildiği gibi fazör diyagramında bir fazördür. I wt Doğrultucu ve Doğrultulmuş akım O + + - w i=I cos wt Fazörler ve alternatif akımlar Doğrultucu ve Doğrultulmuş akım Fazörler ve Alternatif akımlar Etkin değer (rms) akımı ve voltajı • Bir sinüzoidal akımın etkin değeri(rms) Ortalama zaman 1 I2 2 i I coswt i I cos wt I (1 cos 2wt ) i 2 2 2 I rms 2 2 2 I 2 • Bir sinüzoidal voltajın etkin değeri (rms) Vrms V 2 For 120-volt AC, Vrms=170 V. Relüktans Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans • AC devresinde direnç Verilen : e e m sin wt VR RI R e m sin wt x IR em R s i n wt R R üzerindeki voltaj R den geçen akım r1 r1 x 0 , .. r1 0 , .. r1 fazındadır. n enm em 1 R VR 0 e ~ 1 IR I VR 0 f( x ) 0 f( x ) 0 em 1 00 2 t x 4 6 IR em 1 0 R 0 uR 2 t x 4 6 wt i t zamanında Relüktans Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans • Bir AC devresinde indüktör Verilen: e e m sin wt VL L d IL e m s i n wt dt 0, r1 .. r1 IL d IL d IL em L I s i n wt d t r1 L üzerindeki voltaj, L den geçen , bir çeyrek dönüş (90°) önde gider x 0akımdan , .. r1 n em 1 wL n e m1 I IL VL 0 VL em 1 wL 00 uL f( x ) 0 0 f( x ) 0 em 1 00 e ~ e m sin wt / 2 wL em co s w t wL L L 2 tx 4 6 2 tx 4 6 wt i t zamanında 0, Relüktans Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans • AC devresinde kondansatör Verilen: e e m sin wt VC r1 Q e m sin wt C C Q Ce m sin wt IC e ~ dQ IC w Ce m co s w t dt C üzerindeki voltaj, C den geçenr1akımdan, bir çeyrek dönüş (90°) geri kalır. x .. r1 0, .. r1 n n wCe m1 e m1 I IC VC 0 f( x ) 0 0 f( x ) 0 em uC wt i 1 00 2 4 x 6 t wCe m1 VC 0 0 2 t x 4 6 t zamanında Relüktans LRC seri devresi ve relüktans LRC devre özeti Verilen: e e m sin wt Akım için çözümler tasarlanır: I (t ) I m sin(wt ) VR RIm sin(wt ) 1 VC I m cos(wt ) wC VL wLI m cos(wt ) genlik VR I m R 1 VC I m wC VL I mw L XL XC reaktans Relüktans LRC seri devresi ve relüktans Reaktans nedir? fw/2 Frekansa bağlı direnç olarak düşünebilirsiniz. 1 XC wC XL wL ( " XR " R ) Yüksek ω için , χC~0 - Kondansatör bir tel olarak bakılır (“kısa”) Düşük ω için , χC∞ - Kondansatör bir kırılma noktası olarak bakılır. Düşük ω için, χL~0 - İndüktöre bir tel olarak bakılır (“kısa”) Yüksek ω için, χL∞ - İndüktöre bir kırılma noktası olarak bakılır. (indüktörler akım değişimine direnç gösterir.) LRC devresi LRC seri devresi R • Verilen :e e m sin wt I • Tasarlanan: Q m cos(wt ) w I I m sin( wt ) dI I mw cos(wt ) dt Genlik C VR RI RI m sin( wt ) VC Q 1 I m cos(wt ) C wC dI VL L wLI m cos(wt ) e ~ w Imw L dt Bu resim t=0 da bir snapshota benzer. Düşey eksen boyunca bu fazörlerin izdüşümü verilen zamanda voltajların gerçek değeridir. L Im wC em Im Im R LRC devreleri LRC seri devresi Problem: Verilen Vdrive = εm sin(ωt), bulunacak VR, VL, VC, IR, IL, IC Strateji : 1. t=0 da Vdrive fazörünü çizin 2. iR fazörünü tahmin edin iR im sin(wt ) im sin( ) at t 0 3. VR = iR R için , ayrıca bu VR fazörü için yöndür. (L yada C değil → f = 0) R C e ~ -φ (ωt = φ iken O, doğuya ulaşacaktır. O, hafifçe doğudan saat yönüne sapar.) 4. Kirchhoff akım kuralından, iL = iC = iR olur. (i.e., her biri boyunca aynı akım akar). L LRC devresi LRC seri devresi 5. İndüktör akımı IL daima VL nin gerisindedir Saat yönünün tersi yönde 90˚ ilerleyerek VL çizilir. 6. Kondansatör voltajı VC daima IC nin gerisindedir Saat yönünde 90˚ ilerleyerek VC çizilir. VL= I XL VC = I XC -φ VR = I R Fazör uzunlukları R, L, C, ve ω ya bağlıdır. VR, VL, ve VC fazörlerinin rölatif oryantasyonu daima bizim onu çizdiğimiz yoldur. VR + VL + VC = ε ye ile karar verilir* (Kirchhoff voltaj kuralı) Bunlar vektörler gibi toplanır. LRC devresi LRC devresi için fazör diyagramı : Örnek y Vout ε ~ x y IR ε VC x IR 2 ( IX C )2 e 2 I 2 ( R 2 X C2 ) e 2 I e R 2 X C2 Akım genliği LRC devreleri Filtreler : Örnek Vout Vout IR e ~ Vout e R2 X C R R 2 Ex.: C = 1 μf, R = 1Ω 1 wC 2 2 1 1 w0 2 w 1 w0 RC High-pass filter 1 "transmission" R 0.8 0.6 Yüksek geçirgen filtre 0.4 0.2 0 0.E+00 1.E+06 2.E+06 3.E+06 4.E+06 (Angular) frequency, om ega 5.E+06 6.E+06 Not: bu ω dır, f w 2 LRC devreleri Filtreler Vout ~ ~ ω=0 Akım yok Vout ≈ 0 ω=∞ Kondansatör ~ tel Vout ≈ ε Vout Vout ω = ∞ Akım yok Vout ≈ 0 e w0 ~ ω = ∞ İndüktörden dolayı akım yok (Sadece kavramsal çizim) w Vout e Düşük geçirgen filtre ω = 0 İndüktör ~ tel Vout ≈ ε ω = 0 Kondansatör dolayı akım yok Yüksek geçirgen filtre w0 Vout e w0 Bant geçirgen filtre w LRC devreleri LRC devreleri için fazör diyagramı : Örnek 2 Im XL em Im XC em X L XC tan R Im R İndüktör için relüktans X L wL e I R X L X C Kondansatör için relüktans 2 m 1 XC wC Genlik Empedans Z Z R X L X C 2 Im R Im (X L -X C) 2 Im 2 m 2 2 em R 2 2 X L XC em Z LRC devresi LRC devreleri için fazör diyagramı : Uçlar •Bu fazor diyagramı y -ekseni boyunca izdüşüm olarak verilen voltajlarla t=0 zamanlı bir snapshot olarak çizildi. y f • Bazen, çalışılan problemlerde, akımın xekseni boyunca olduğu ( I=0 iken) bir aralıkta diyagram çizimi daha kolaydır. f I ImXL em f ImR ImXC “Tüm fazör diyagramı” I X m L e m f X m C x I R m Ayrıca bu diyagramdan, empedans Z yi hesaplamamıza izin veren bir üçgen meydana getirebiliriz. ImZ | f | Im X L X C ImR “Empedans üçgeni” Alternatif akım devrelerinde rezonans Rezonans Belirli R, C, L için, akım Im , Z empedansını sadece direnç yapan w0 rezonans frekansında bir maksimumu olacaktır. i.e.: em em Im 2 Z R2 X L X C R C İken bir maksimuma ulaşır: C Aşağıdaki ifade sağlandığında bu şart elde edilir : e ~ X L= X wo L • 1 wo w oC L Rezonans frekansı 1 1 ; f0 LC 2 LC Bu rezonans frekansı kendisi ile LC devresinin doğal frekansı eşit olduğuna dikkat edilir. Bu frekansta , akım ve harekete geçiren voltaj fazdadır! tan X L XC 0 R Alternatif akım devrelerinde rezonans Rezonans XL Im em Z Im Z R Z cos em cos R X L XC tan R XL - XC R x 0.0 , em 1 R0 r1 n .. r1 XC R=Ro f( x ) Voltaj kaynağının frekansı , w karşı akım grafiği çizilir : → Im0.5 g( x ) R=2Ro 00 00 1 wx 2w2o Alternatif akım devrelerinin rezonansı Rezonans Rezonansta: R 0 ve Z=R VR IR e VL IX L e XL R eQ I C e e ~ R VC IX C e XC R Rezonansta , tepki unsurları üzerindeki voltaj Q ile arttırılır ! Radyo sinyallerini algılamak, telefonla konuşmak , iletişim, vb için gereklidir. L eQ Alternatif akım devrelerinde güç Güç • t zamanında iletilen(dağıtılan) ani güç (bir w frekansı için) aşağıdaki gibi verilir: P(t ) e (t ) I (t ) e m sin wt I m sin( wt ) • Burada düşünülen en yararlı nicelik ani güç değildir bununla birlikte tercihen ortalama güç bir devirde verilendir. P(t ) e m I m sin wt sin( wt ) • Doğru bir şekilde ortalamayı hesaplamak için, ilk olarak sin(wt-) terimini açarız . Alternatif akım devrelerinde güç Güç • Açılımdan, sin wt sin( wt ) sin wt (sin wt cos cos wt sin ) • Ortalamalar alınır, sin wt cos wt 0 1 1.01+1 sinwtcoswt (Product of even and odd function = 0) h( x ) 0 0 • Genellikle : 2 1 1 2 sin 2 x sin xdx 2 0 2 • Burada önceki ifadeleri hep birlikte tekrar yazdığımızda, 1/2 1.01 -11 00 2 0 x 0.0 , r1 wx t 4 2 6 6.28 .. r1 n 0 P(t ) e m I m cos sin 2 wt sin sin wt cos wt 1 +1 sin2wt h( x ) 0 0 P(t ) 1 e m I m cos 2 -11 00 2 wx t 4 2 6 Alternatif akım devrelerinde güç Güç Bu sonuç çoğu kez rms değerlerinin terimlerinde yeni baştan yazılır: 1 1 I rms Im P(t ) e rms I rms cos e rms em 2 2 Güç ifadesi faza, f’e , “güç faktörüne” bağlıdır. Faz of L, C, R, ve w değerlerine bağlıdır Bu yüzden ... P(t ) e rms I rms cos Alternatif akım devrelerinde güç Güç Gücün yanı sıra akım, w = w0 a ulaşır. Rezonans şiddeti Bileşenlerin değerlerine bağlıdır. Hatırlayalım : Im em R cos e 2 rms 2 2 P(t ) cos I rms R R Sonraki adımda bunu yazabiliriz (ki bunu kanıtlamayı denemeyeceğiz): e 2 rms x2 P(t ) R x 2 Q 2 ( x 2 1) 2 …tanımlanan ilginç faktörler Q ve x... Alternatif akım devrelerinde rezonans Güç ve rezonans Bir “Q” parametresi genellikle hem mekaniksel hem de elektriksel salınım sistemlerinde maksimuma ulaşan rezonans şiddetini tanımlayan ifadelerdir. “Q” aşağıdaki gibi ifade edilir: U Q 2 max DU Burada Umax sistemde depolanan maksimum enerji ve DU bir devirde yayılan enerjidir. 1 2 LI max 2 RLC devresi için, Umax U max Sadece R den dolayı kayıplar meydana gelir: 1 2 1 2 2 DU I max RT I max R 2 2 w res Bu Q w res L R ve tamamı için, yi verir x w w res periyot yazılır Alternatif akım devrelerinde rezonans Güç ve Rezonans Q > az miktar için, wres Q FWHM e 2 rms Q=3 R0 FWHM Tam genişliğin yarı maksimumu Q FWHM R=Ro <P> 0 R=2Ro 0 Pik kalitesi Daha yüksek Q = Daha keskin pik = Daha iyi kalite w 2wo Transformatörler Transformatörler • Transformatörler kullanılarak AC voltajı yükseltilebilir veya alçaltılabilir. Primer devredeki AC akımı Demirde zamanla değişen manyetik alan üretir. e Bu, iki sarım grubunun karşılıklı indüktansından dolayı sekonder bobin üzerine emk indükler demir ~ V1 V2 N 1 (primer) N 2 (sekonder) • Demir karşılıklı indüktansı maksimum yapmak için kullanılır. t her primer dönüşü tarafından üretilen akının tamamının demirde tuzaklandığını farz ederiz. (Manyetizma laboratuarlarından ferromagnetin nasıl B alanında özümsendiğini hatırlayalım.) Transformatörler Yük dirençsiz ideal transformatör Dirençten kayıp yok Akının tamamı demirde mevcuttur Sekonder üzerinde bağlantı yoktur iron Primer devre sadece bir indüktöre seri AC voltaj kaynağıdır. Her bir dönüşte üretilen akıdaki e ~ değişim aşağıdaki gibidir: dturn V1 dt N1 V1 V2 N1 N2 (primary) (secondary) • Sekonder bobinde dönüş başına akıdaki değişim primer bobinde dönüş başına akıdaki değişimle benzerdir (ideal durum). sekonder bobin üzerinde görülen İndüklenen voltaj aşağıdaki gibi verilir: dturn N 2 V2 N 2 V1 dt N1 • Bu yüzden , • N2 > N1 -> sekonder V2 primer V1 den daha büyüktür. (yükselme ) • N1 > N2 -> sekonder V2 primer V1 den küçüktür (alçalma) • Not: “yük olmaması” sekonderde akım olmadığı anlamına gelir. Manyetizasyon akımı olarak ifade edilen ,primer akımı küçüktür! Transformatörler Yük dirençli ideal transformatör Sekonder bobine bir yük direnci bağladığımızda ne olur? Primer bobin tarafından üretilen değişken akı sekondere emk indükler ki bu I2 akımını üretir. I2 iron e ~ V2 R V1 V2 N1 (primary) R N2 (secondary) Bu akım sekonder bobinde bir µ N2I2 akısı üretir ,ve bu orijinal akıdaki değişime zıttır -- Lenz kanunu Bu indüklenen değişken akı primer devrede de görülür; bunun anlamı primerdeki emk nın azalması, voltaj kaynağına ters düşmesidir. Bununla birlikte, V1 voltaj kaynağı olarak düşünülür. Bu yüzden , I2 tarafından üretilen akıyı tamamen engelleyen , primerde, artan bir I1 (voltaj kaynağı tarafından sağlanan)akımı olmalıdır ki bu bir µ N1I1 akısı üretir. I1 N2 I2 N1 Transformatörler Yük dirençli ideal transformatör Güç sadece yük direnci R de harcanır. V22 2 Pdissipated I 2 R V2 I 2 R Güç nereden gelmektedir. O sadece primerdeki voltaj kaynağından gelebilir: Pgenerated V1 I1 I1 V2 I 2 V1 I1 I 2 = N2 N1 N2 N1 V1 V1 = iron e ~ V1 V2 N1 (primary) N2 (secondary) V1I1 V2 I 2 N2 N1 V2 N 2 V1 N 2 R N1 R N1 2 Primer devre Sekonderin R direncini harekete geçirmek zorundadır. R Alıştırmalar Alıştırma 1 em = 100 volt, f=1000 Hz, R=10 Ohm, L=4.22 mH olarak alalım, XL, Z, I, VR, ve Vl bulalım . X L wL 6.28 1000 0.00422 H 26.5 Z R 2 (wL) 2 Z 102 (26.5)2 28.3 em 100 I 3.53 A. Z 28.3 VR RI 10 3.53 35.3 V. VL X L I 26.5 3.53 93.5 V. Alıştırmalar Alıştırma 2: Alıştırma 1 deki R de kaybedilen gücü hesaplayalım. 2 Pavg Irms R I 3.53A Irms 2.50 A 2 1.414 Pavg (2.50A)210 62.5Watts Jenaratör tarafından üretilen gücü hesaplamak için voltaj ve akım arasındaki faz farkının hesabını yapmamız gerekmektedir.Genellikle şunu yazabiliriz: Pavg erms Irms cos Bir indüktör için P = 0 dır çünkü indüktörden geçen akım ve indüktör üzerindeki voltaj arasındaki faz farkı 90 derecedir.