Alternatif akım Fazörler ve Alternatif akım Alternatif akım (AC akımı) • Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak (AC) alternatif.
Download
Report
Transcript Alternatif akım Fazörler ve Alternatif akım Alternatif akım (AC akımı) • Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak (AC) alternatif.
Alternatif akım
Fazörler ve Alternatif akım
Alternatif akım (AC akımı)
• Zamanla sinüzoidal olarak değişen akım (DC) doğru akımın tersi olarak
(AC) alternatif akım olarak isimlendirilir. AC akım kaynağına bir örnek bir
manyetik alanda sabit açısal hızla dönen bir tel sarım(bobin) dır.
sembolü AC kaynağını belirtmek için kullanılır. Genellikle bir kaynak
~
Ya alternatif akım kaynağı yada voltaj anlamına gelir.
• ABD ve Kanada da, ticari elektrik-güç dağıtım sistemi w = 377 rad/s karşılık
olan f = 60 Hz lik bir frekans kullanır. Dünyanın geri kalanını çoğu f = 50 Hz
kullanır. Bununla birlikte Japonya da , ülke f = 50 Hz ve 60 Hz ile iki bölgeye
ayrılır
Fazörler ve Alternatif akımlar
Fazör
Fazör
• Zamanla değişen sinüzoidal bir niceliği ifade
etmek için uygun bir yol şekilde gösterildiği
gibi fazör diyagramında bir fazördür.
I
wt
Doğrultucu ve Doğrultulmuş akım
O
+
+
-
w
i=I cos wt
Fazörler ve alternatif akımlar
Doğrultucu ve Doğrultulmuş akım
Fazörler ve Alternatif akımlar
Etkin değer (rms) akımı ve voltajı
• Bir sinüzoidal akımın etkin değeri(rms)
Ortalama zaman
1
I2
2
i I coswt i I cos wt I (1 cos 2wt ) i
2
2
2
I rms
2
2
2
I
2
• Bir sinüzoidal voltajın etkin değeri (rms)
Vrms
V
2
For 120-volt AC, Vrms=170 V.
Relüktans
Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans
• AC devresinde direnç
Verilen : e e m sin wt
VR RI R e m sin wt
x
IR
em
R
s i n wt
R
R üzerindeki voltaj R den geçen akım
r1
r1
x 0 , .. r1
0 , .. r1 fazındadır.
n
enm
em 1
R
VR
0
e
~
1
IR
I
VR
0
f( x ) 0
f( x ) 0
em 1
00
2
t
x
4
6
IR
em
1
0
R 0
uR
2
t
x
4
6
wt
i
t zamanında
Relüktans
Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans
• Bir AC devresinde indüktör
Verilen: e e m sin wt
VL L
d IL
e m s i n wt
dt
0,
r1
.. r1
IL d IL
d IL
em
L
I
s i n wt d t
r1
L üzerindeki voltaj, L den geçen
, bir çeyrek dönüş (90°) önde gider
x 0akımdan
, .. r1
n
em 1
wL
n
e m1
I
IL
VL
0
VL
em
1
wL 00
uL
f( x ) 0
0
f( x ) 0
em
1
00
e
~
e
m sin wt / 2
wL
em
co s w t
wL
L
L
2
tx
4
6
2
tx
4
6
wt
i
t zamanında
0,
Relüktans
Direnç , indüktans, kapasitans ve reaktans
• AC devresinde kondansatör
Verilen: e e m sin wt
VC
r1
Q
e m sin wt
C
C
Q Ce m sin wt
IC
e
~
dQ
IC
w Ce m co s w t
dt
C üzerindeki voltaj, C den geçenr1akımdan, bir çeyrek dönüş (90°) geri kalır.
x
.. r1
0,
.. r1
n
n
wCe m1
e m1
I
IC
VC
0
f( x ) 0
0
f( x ) 0
em
uC wt
i
1
00
2
4
x
6
t
wCe m1
VC
0
0
2
t
x
4
6
t zamanında
Relüktans
LRC seri devresi ve relüktans
LRC devre özeti
Verilen: e e m sin wt
Akım için çözümler tasarlanır:
I (t ) I m sin(wt )
VR RIm sin(wt )
1
VC
I m cos(wt )
wC
VL wLI m cos(wt )
genlik
VR I m R
1
VC I m
wC
VL I mw L
XL
XC
reaktans
Relüktans
LRC seri devresi ve relüktans
Reaktans nedir?
fw/2
Frekansa bağlı direnç olarak düşünebilirsiniz.
1
XC
wC
XL wL
( " XR " R )
Yüksek ω için , χC~0
- Kondansatör bir tel olarak bakılır (“kısa”)
Düşük ω için , χC∞
- Kondansatör bir kırılma noktası olarak
bakılır.
Düşük ω için, χL~0
- İndüktöre bir tel olarak bakılır (“kısa”)
Yüksek ω için, χL∞
- İndüktöre bir kırılma noktası olarak
bakılır.
(indüktörler akım değişimine direnç gösterir.)
LRC devresi
LRC seri devresi
R
• Verilen :e e m sin wt
I
• Tasarlanan:
Q m cos(wt )
w
I I m sin( wt )
dI
I mw cos(wt )
dt
Genlik
C
VR RI RI m sin( wt )
VC Q 1 I m cos(wt )
C
wC
dI
VL L
wLI m cos(wt )
e
~
w
Imw L
dt
Bu resim t=0 da bir snapshota benzer.
Düşey eksen boyunca bu fazörlerin izdüşümü
verilen zamanda voltajların gerçek değeridir.
L
Im
wC
em
Im
Im R
LRC devreleri
LRC seri devresi
Problem: Verilen Vdrive = εm sin(ωt),
bulunacak VR, VL, VC, IR, IL,
IC
Strateji
:
1. t=0 da Vdrive fazörünü çizin
2. iR fazörünü tahmin edin
iR im sin(wt )
im sin( ) at t 0
3. VR = iR R için , ayrıca bu VR
fazörü için yöndür.
(L yada C değil → f = 0)
R
C
e
~
-φ
(ωt = φ iken O, doğuya ulaşacaktır.
O, hafifçe doğudan saat yönüne
sapar.)
4. Kirchhoff akım kuralından, iL = iC = iR olur. (i.e., her biri boyunca aynı
akım akar).
L
LRC devresi
LRC seri devresi
5. İndüktör akımı IL daima VL nin gerisindedir Saat yönünün tersi
yönde 90˚ ilerleyerek VL çizilir.
6. Kondansatör voltajı VC daima IC nin gerisindedir Saat yönünde 90˚
ilerleyerek VC çizilir.
VL= I XL
VC =
I XC
-φ
VR = I R
Fazör uzunlukları R, L, C, ve ω ya bağlıdır. VR, VL, ve VC fazörlerinin rölatif
oryantasyonu daima bizim onu çizdiğimiz yoldur.
VR + VL + VC = ε ye ile karar verilir* (Kirchhoff voltaj kuralı)
Bunlar vektörler gibi toplanır.
LRC devresi
LRC devresi için fazör diyagramı : Örnek
y
Vout
ε
~
x
y
IR
ε
VC
x
IR
2
( IX C )2 e 2
I 2 ( R 2 X C2 ) e 2
I
e
R 2 X C2
Akım genliği
LRC devreleri
Filtreler : Örnek
Vout
Vout IR e
~
Vout
e
R2 X C
R
R
2
Ex.: C = 1 μf, R = 1Ω
1
wC
2
2
1
1
w0 2
w
1
w0
RC
High-pass filter
1
"transmission"
R
0.8
0.6
Yüksek
geçirgen filtre
0.4
0.2
0
0.E+00
1.E+06
2.E+06
3.E+06
4.E+06
(Angular) frequency, om ega
5.E+06
6.E+06
Not: bu ω dır,
f
w
2
LRC devreleri
Filtreler
Vout
~
~
ω=0
Akım yok
Vout ≈ 0
ω=∞
Kondansatör ~ tel
Vout ≈ ε
Vout
Vout
ω = ∞ Akım yok
Vout ≈ 0
e
w0
~
ω = ∞ İndüktörden dolayı akım yok
(Sadece kavramsal çizim)
w
Vout
e
Düşük
geçirgen
filtre
ω = 0 İndüktör ~ tel
Vout ≈ ε
ω = 0 Kondansatör dolayı akım yok
Yüksek
geçirgen
filtre
w0
Vout
e
w0
Bant geçirgen
filtre
w
LRC devreleri
LRC devreleri için fazör diyagramı : Örnek 2
Im XL
em
Im XC
em
X L XC
tan
R
Im R
İndüktör için relüktans
X L wL
e I R X L X C
Kondansatör için relüktans
2
m
1
XC
wC
Genlik
Empedans Z
Z R X L X C
2
Im R
Im (X L -X C)
2
Im
2
m
2
2
em
R
2
2
X L XC
em
Z
LRC devresi
LRC devreleri için fazör diyagramı : Uçlar
•Bu fazor diyagramı y -ekseni boyunca
izdüşüm olarak verilen voltajlarla t=0
zamanlı bir snapshot olarak çizildi.
y
f
• Bazen, çalışılan problemlerde, akımın xekseni boyunca olduğu ( I=0 iken) bir
aralıkta diyagram çizimi daha kolaydır.
f
I
ImXL
em
f
ImR
ImXC
“Tüm fazör diyagramı”
I X
m L
e
m
f
X
m C
x
I R
m
Ayrıca bu diyagramdan, empedans Z yi
hesaplamamıza izin veren bir üçgen
meydana getirebiliriz.
ImZ
| f |
Im X L X C
ImR
“Empedans üçgeni”
Alternatif akım devrelerinde rezonans
Rezonans
Belirli R, C, L için, akım Im , Z empedansını sadece direnç yapan w0
rezonans frekansında bir maksimumu olacaktır.
i.e.:
em
em
Im
2
Z
R2 X L X C
R
C
İken bir maksimuma ulaşır:
C
Aşağıdaki ifade sağlandığında bu şart elde edilir :
e
~
X L= X
wo L
•
1
wo
w oC
L
Rezonans frekansı
1
1
; f0
LC
2 LC
Bu rezonans frekansı kendisi ile LC devresinin doğal frekansı eşit
olduğuna dikkat edilir. Bu frekansta , akım ve harekete geçiren voltaj
fazdadır!
tan
X L XC
0
R
Alternatif akım devrelerinde rezonans
Rezonans
XL
Im
em
Z
Im
Z
R
Z
cos
em
cos
R
X L XC
tan
R
XL - XC
R
x
0.0 ,
em
1
R0
r1
n
.. r1
XC
R=Ro
f( x )
Voltaj kaynağının frekansı , w karşı akım
grafiği çizilir : →
Im0.5
g( x )
R=2Ro
00
00
1
wx
2w2o
Alternatif akım devrelerinin rezonansı
Rezonans
Rezonansta:
R
0 ve Z=R
VR IR e
VL IX L
e XL
R
eQ
I
C
e
e
~
R
VC IX C
e XC
R
Rezonansta , tepki unsurları üzerindeki voltaj Q ile
arttırılır !
Radyo sinyallerini algılamak, telefonla konuşmak ,
iletişim, vb için gereklidir.
L
eQ
Alternatif akım devrelerinde güç
Güç
• t zamanında iletilen(dağıtılan) ani güç (bir w frekansı için) aşağıdaki gibi
verilir:
P(t ) e (t ) I (t ) e m sin wt I m sin( wt )
• Burada düşünülen en yararlı nicelik ani güç değildir bununla birlikte
tercihen ortalama güç bir devirde verilendir.
P(t ) e m I m sin wt sin( wt )
• Doğru bir şekilde ortalamayı hesaplamak için, ilk olarak sin(wt-)
terimini açarız .
Alternatif akım devrelerinde güç
Güç
• Açılımdan,
sin wt sin( wt ) sin wt (sin wt cos cos wt sin )
• Ortalamalar alınır,
sin wt cos wt 0
1
1.01+1
sinwtcoswt
(Product of even and odd function = 0)
h( x ) 0
0
• Genellikle :
2
1
1
2
sin 2 x
sin
xdx
2 0
2
• Burada önceki ifadeleri hep birlikte
tekrar yazdığımızda, 1/2
1.01
-11
00
2
0
x
0.0 ,
r1
wx t
4
2
6
6.28
.. r1
n
0
P(t ) e m I m cos sin 2 wt sin sin wt cos wt
1
+1
sin2wt
h( x ) 0
0
P(t )
1
e m I m cos
2
-11
00
2
wx t
4
2
6
Alternatif akım devrelerinde güç
Güç
Bu sonuç çoğu kez rms değerlerinin terimlerinde yeni
baştan yazılır:
1
1
I rms
Im
P(t ) e rms I rms cos
e rms
em
2
2
Güç ifadesi faza, f’e , “güç faktörüne” bağlıdır.
Faz of L, C, R, ve w değerlerine bağlıdır
Bu yüzden ...
P(t ) e rms I rms cos
Alternatif akım devrelerinde güç
Güç
Gücün yanı sıra akım, w = w0 a ulaşır. Rezonans şiddeti
Bileşenlerin değerlerine bağlıdır.
Hatırlayalım :
Im
em
R
cos
e 2 rms 2
2
P(t )
cos I rms
R
R
Sonraki adımda bunu yazabiliriz (ki bunu kanıtlamayı denemeyeceğiz):
e 2 rms
x2
P(t )
R x 2 Q 2 ( x 2 1) 2
…tanımlanan ilginç faktörler Q ve x...
Alternatif akım devrelerinde rezonans
Güç ve rezonans
Bir “Q” parametresi genellikle hem mekaniksel hem de elektriksel
salınım sistemlerinde maksimuma ulaşan rezonans şiddetini
tanımlayan ifadelerdir. “Q” aşağıdaki gibi ifade edilir:
U
Q 2 max
DU
Burada Umax sistemde depolanan maksimum enerji ve DU bir devirde
yayılan enerjidir.
1 2
LI max
2
RLC devresi için, Umax
U max
Sadece R den dolayı kayıplar
meydana gelir:
1 2
1 2 2
DU I max
RT I max
R
2
2
w res
Bu
Q
w res L
R
ve tamamı için,
yi verir
x
w
w res
periyot
yazılır
Alternatif akım devrelerinde rezonans
Güç ve Rezonans
Q > az miktar için,
wres
Q
FWHM
e 2 rms
Q=3
R0
FWHM
Tam genişliğin yarı maksimumu
Q
FWHM
R=Ro
<P>
0
R=2Ro
0
Pik kalitesi
Daha yüksek Q = Daha keskin pik = Daha iyi kalite
w
2wo
Transformatörler
Transformatörler
• Transformatörler kullanılarak AC voltajı
yükseltilebilir veya alçaltılabilir.
Primer devredeki AC akımı
Demirde zamanla değişen manyetik
alan üretir.
e
Bu, iki sarım grubunun karşılıklı
indüktansından dolayı sekonder bobin
üzerine emk indükler
demir
~
V1
V2
N
1
(primer)
N
2
(sekonder)
• Demir karşılıklı indüktansı maksimum yapmak için kullanılır. t her
primer dönüşü tarafından üretilen akının tamamının demirde
tuzaklandığını farz ederiz. (Manyetizma laboratuarlarından
ferromagnetin nasıl B alanında özümsendiğini hatırlayalım.)
Transformatörler
Yük dirençsiz ideal transformatör
Dirençten kayıp yok
Akının tamamı demirde
mevcuttur
Sekonder üzerinde bağlantı
yoktur
iron
Primer devre sadece bir indüktöre seri AC voltaj
kaynağıdır. Her bir dönüşte üretilen akıdaki
e ~
değişim aşağıdaki gibidir:
dturn V1
dt
N1
V1
V2
N1
N2
(primary) (secondary)
• Sekonder bobinde dönüş başına akıdaki değişim
primer bobinde dönüş başına akıdaki değişimle benzerdir (ideal durum).
sekonder bobin üzerinde görülen İndüklenen voltaj aşağıdaki gibi verilir:
dturn N 2
V2 N 2
V1
dt
N1
• Bu yüzden ,
• N2 > N1 -> sekonder V2 primer V1 den daha büyüktür. (yükselme )
• N1 > N2 -> sekonder V2 primer V1 den küçüktür (alçalma)
• Not: “yük olmaması” sekonderde akım olmadığı anlamına gelir.
Manyetizasyon akımı olarak ifade edilen ,primer akımı küçüktür!
Transformatörler
Yük dirençli ideal transformatör
Sekonder bobine bir yük direnci bağladığımızda
ne olur?
Primer bobin tarafından üretilen değişken akı
sekondere emk indükler ki bu I2 akımını üretir.
I2
iron
e ~
V2
R
V1
V2
N1
(primary)
R
N2
(secondary)
Bu akım sekonder bobinde bir µ N2I2 akısı üretir
,ve bu orijinal akıdaki değişime zıttır -- Lenz kanunu
Bu indüklenen değişken akı primer devrede de görülür;
bunun anlamı primerdeki emk nın azalması, voltaj
kaynağına ters düşmesidir. Bununla birlikte,
V1 voltaj kaynağı olarak düşünülür. Bu yüzden , I2
tarafından üretilen akıyı tamamen engelleyen ,
primerde, artan bir I1 (voltaj kaynağı tarafından
sağlanan)akımı olmalıdır ki bu bir µ N1I1 akısı üretir.
I1
N2
I2
N1
Transformatörler
Yük dirençli ideal transformatör
Güç sadece yük direnci R de harcanır.
V22
2
Pdissipated I 2 R
V2 I 2
R
Güç nereden gelmektedir.
O sadece primerdeki voltaj kaynağından gelebilir:
Pgenerated V1 I1
I1 V2
I 2 V1
I1 I 2
=
N2
N1
N2
N1
V1
V1
=
iron
e ~
V1
V2
N1
(primary)
N2
(secondary)
V1I1 V2 I 2
N2
N1
V2 N 2 V1 N 2
R N1 R N1
2
Primer devre
Sekonderin R direncini
harekete geçirmek
zorundadır.
R
Alıştırmalar
Alıştırma 1
em = 100 volt, f=1000 Hz, R=10 Ohm, L=4.22 mH olarak
alalım, XL, Z, I, VR, ve Vl bulalım .
X L wL 6.28 1000 0.00422 H 26.5
Z R 2 (wL) 2
Z 102 (26.5)2 28.3
em
100
I
3.53 A.
Z 28.3
VR RI 10 3.53 35.3 V.
VL X L I 26.5 3.53 93.5 V.
Alıştırmalar
Alıştırma 2: Alıştırma 1 deki R de kaybedilen gücü
hesaplayalım.
2
Pavg Irms
R
I
3.53A
Irms
2.50 A
2 1.414
Pavg (2.50A)210 62.5Watts
Jenaratör tarafından üretilen gücü hesaplamak için voltaj ve
akım arasındaki faz farkının hesabını yapmamız
gerekmektedir.Genellikle şunu yazabiliriz:
Pavg erms Irms cos
Bir indüktör için P = 0 dır çünkü indüktörden geçen akım ve indüktör
üzerindeki voltaj arasındaki faz farkı 90 derecedir.