Transcript Integrales definidas

Integrales definidas. Teoremas
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los
materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Esquema
Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX
en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
Sumas de Riemann
Como la función es contínua en cada
intervalo existen un mínimo y un máximo
(Tª de Weiersstra)
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Las sumas superiores (suma de los rectángulos
superiores) se expresan así
S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso
calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y
las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante
aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) =
f(a) + f(b) .
=
(b – a)

Área (Trapecio curvilíneo) 
f(a) + f(b) .

(b – a)

Error que se comete al
tomar una por otra
Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva)
en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la
partición Pn.
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
s(f; Pn) = m1 .  x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn
Si la función f es continua al considerar las particiones con mayor número de
intervalos de manera que la longitud de estos tienda a decrecer, las sumas de
Riemann se acercan a un número que se llama integral definida de la función f en
b
[a, b] y se escribe  f(x) dx .
a
Integral definida y área bajo una curva I
f(x)  0 x[a, b]
f(x)
f(x)
R
A(R) =
b


a
f(x)  0 x[a, b]
A(R) =
–
=
f(x) dx
b


a
b


a
|
b


a
– f(x) dx =
f(x) dx =
f(x) dx
|
Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores
positivos y negativos
en el intervalo [a, b],
se calculan cada una
por separado y se
suman los resultados
teniendo en cuenta
los signos.
A(R) =
c


a
f(x) dx
–
d


c
f(x) dx +
e


d
f(x) dx –
b


e
f(x) dx
Propiedades de la integral definida
a
b
b
a
1.  f ( x)dx   f ( x)dx.
a
2.

f ( x)dx  0.
a
b
3.  kdx  k (b  a) siendo k un número real.
a
b
b
b
a
a
a
4.   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx.
b
b
a
a
5.  kf ( x)dx  k  f ( x)dx siendo k un número real.
Propiedades de la integral definida
b
c
b
a
a
c
6.  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx para cualquier c [a, b].
b
7. Si f ( x)  0 para todo x [a, b],
 f ( x)dx  0.
a
8. Si f ( x)  g ( x) para todo x [a, b],
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx.
9. Si n  f ( x)  m para todo x [a, b],
b
n(b  a)   f ( x)dx  m(b  a).
a
10.  f ( x)dx   f ( x)dx .
b
b
a
a
Función área o función integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral
F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
x

a
f (t ) dt  F ( x )
Teorema del valor medio: interpretación geométrica
b
Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que
 f (x)dx  (b  a )·f (c)
a
Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y
abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área
del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
Teorema del valor medio para integrales
Enunciado:

Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c  [a, b] en el que b f(x) dx = (b – a) f(c).
a
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
M
m (b – a) 
b


a
f(x) dx  M (b – a)
1 b
m  b – a a f(x) dx  M
1 b
f(x) dx
b – a a
Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los
valores entre m y M. Por tanto existe un c  [a, b]
tal que:
1 b

b – a a f(x) dx = f(c)
m
a
c b
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función
integral
¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los
que la función alcanza el valor medio.
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite
cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
Sea x  (a, b) y h  0.
F ( x  h)  F ( x)
Y
f ( x  h)
área pequeña < A.curva < área grande
f ( x)
h f ( x)  F ( x  h)  F ( x)  h f ( x  h)
F ( x  h)  F ( x )
f ( x) 
 f ( x  h)
h
x
x+h
X
Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el
intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la
primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
Dem.:
xh
xh
x
a
a f (t )dt  a f (t )dt
a f (t )dt  x f (t )dt
F( x  h )  F( x )
F' ( x )  lim
 lim
 lim

h 0
h 0
h 0
h
h
h
xh
lim
h 0
 f ( t )dt
x
 y por el teorema del valor medio  lim
h 0
h
f (c) h
 lim
 lim
f ( c)  f ( x )
h 0
h 0
h
a
c
b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
f (c)·(x  h  x )

h
Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
b
en [a, b], entonces  f(x) dx = G(b) – G(a).
a
Demostración:
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x)
se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0  C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
Por tanto F(b) = 
b
a
f ( x) dx
= G(b) - G(a)
b


f
(
x
)
dx
=
G(b)
–
G(a)
=
Que también se puede poner así: a
F(x)
a
b
El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Sea g una función derivable en el intervalo [a, b] y f una función continua en el
recorrido de g. Se tiene entonces:
b f(g(x))g'(x) dx = g(b) f(u) du
a
g(a)
Esto significa que si F es una primitiva de f.
b f(g(x))g'(x) dx = F(g(b)) – F(g(a))
a
8
x dx 1  du dx
=  2 =

Ejemplo:
22
2 30 u
–5 (5 + x)
69
Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69
–1 69
 
2u 30
–1 1 13
=
+ =
138 60 1380
Área del recinto limitada por una función
R
Y
f(x)
+
+
c
a
Área (R) =
c


a
–
f(x) dx -
d


c
f(x) dx +
b
e
d
–
e


d
f(x) dx -
b


e
f(x) dx
X
Área del recinto limitado por dos funciones
Área (R) =
c


a
[g(x) – f(x)] dx +
b


c
[f(x) – g(x)] dx
Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x.
y = x3 – 6x2 + 9x
2
y=x
Área (R) =  x3  6 x2  9 x  x dx
0
4
  x  x3 +6x2-9x dx
R
2
2
4
 x4

x
3
2 
   2 x  4 x    2 x 3  4 x 2 
4
0  4
2
 4  4  8u 2
0
2
4
4