Transcript Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se denota por f ’(a) Derivada de una función.

Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se
denota por f ’(a)
Derivada de una función en un punto.
 Dada una función f definida en [a,b], se llama derivada de f en el punto a, a:
f   a   lim
b a
f b  f  a 
f a  h  f a
 lim
h 0
ba
h
Cuando existe, decimos que la función f es derivable en x = a.
 Ejemplo.- Un automóvil se mueve según la
función e(t) = 2.t 2; t es el tiempo en segundos
y e(t) el espacio en metros. Calcular la
velocidad instantánea (t’(a)) en el segundo 5
e  5  h   e  5
2   5  h   2  52
lim
 lim

h 0
h

0
h
h
 lim  20  2h)   20 m
s
h 0
2
 Hay que observar que f’(a) (si existe) es la
pendiente de la recta tangente a f(x) en el el
punto (a,f(a))
Derivadas laterales
 Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a a los
límites:
f  a  h  f  a
f   a   lim
h 0
h

f a  h  f a
f   a   lim
h 0
h

La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):
Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función
x
f  x   2
x
x 1
x 1
si
si
Teniendo en cuenta que
f  1


f 1 
1  h 1

 lim
1
h  0
h
1 h

 lim
h  0
2
h
 12
2
Se deduce que f no es derivable en x = 1
Derivabilidad y continuidad
 Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.
Hay que observar que:
Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.
Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a
Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor
absoluto.
 x si
f  x  x  
 x si
x0
x0
f es continua ya que
lim  h   f (0)  lim h  0
h 0
h 0
Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que
f   0   lim
h 0
h
h
 1  1  lim  f  0  
h 0 h
h
Funciones derivables
 Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.
Hay que observar que:
Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,
o también las funciones exponenciales.
Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades
de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable
La recta tangente y normal
 Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la RECTA
TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
rtg : y  f  a   f   a    x  a 
 Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto
(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
 1 
rnor : y  f  a   
   x  a 
 f a 
La recta tangente y normal
 Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1
r : y  f 1  f  1   x  1  y  1  2   x  1 
 2 x  y 1

1 
 1
s : y  f 1   

x

1

y

1




     x  1 

 2
 f 1 
 x  2 y  3
Función derivada
 Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se obtiene
mediante el límite
f  x  h  f  x
f   x   lim
h 0
h
 Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se
obtiene mediante el límite
f   x  h  f   x
f   x   lim
h 0
h
 La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y
así sucesivamente
Función derivada
 Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1
metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea
e t  h   e t 
v  t   e '  t   lim

h 0
h
2  t  h   5  t  h   1  2  t 2  5  t 1
 lim
 4t  5
h 0
h
4  t  h  5  4  t  5
a  t   e ''  t   lim
4
h 0
h
2
Cálculo de derivadas
 Derivada de la función constante f(x) = k
f   x   lim
h 0
f  x  h  f  x
k k
0
 lim
 lim  0
h 0
h 0 h
h
h
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0
 Derivada de la función identidad f(x) = x
f  x  h  f  x
xhx
h
f   x   lim
 lim
 lim  1
h 0
h 0
h 0 h
h
h
Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1
Cálculo de derivadas
 Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural
f  x  h  f  x
x  h   xn

f   x   lim
 lim

h 0
h

0
h
h
 n  n 1
 n  n2 2
 n n
  x h    x h    h
1
2
n



 lim
 n  x n1
h 0
h
n
En general, también se cumple para n un número racional
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4
Cálculo de derivadas
 Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x
f   x   lim
h 0

 lim
h 0
 lim
h 0
f  x  h  f  x
 lim
h 0
h

xh  x

h
xh  x 
xh  x


h
xh  x
1
1

x  h  x 2 x
  lim
h 0
h

h
xh  x


Cálculo de derivadas
 Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x
1
1

f  x  h  f  x
f   x   lim
 lim x  h x 
h 0
h 0
h
h
x   x  h
x  h  x

h
1
1
 lim
 lim 
 lim 
 2
h 0
h 0
h
h   x  h   x h 0  x  h   x
x
Reglas de derivación
 Si y = k.f(x)
y  x  h — y  x
k  f ( x  h) — k  f ( x )
y  lim
 lim

h 0
h 0
h
h
f ( x  h) — f ( x )
 k  lim
 k  f  x
h 0
h
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x
Reglas de derivación
 Si y = f(x)  g(x)
f ( x  h)  g ( x  h)  —  f ( x )  g ( x ) 
y  x  h — y  x

 lim

h 0
h

0
h
h
f ( x  h) — f ( x )
g ( x  h) — g ( x )
 lim
 lim
 f  x  g x
h 0
h

0
h
h
y  lim
Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1
Reglas de derivación
 Si y = f(x) . g(x)
y  lim
h 0
 lim
f ( x  h)  g ( x  h)  —  f ( x )  g ( x ) 
y  x  h — y  x

 lim

h 0
h
h
 f ( x  h)  g ( x  h)  —  f ( x )  g ( x  h)    f ( x )  g ( x  h)    f ( x )  g ( x ) 
h 0
h
g ( x  h)  g ( x ) 
 f ( x  h)  f ( x )


 lim 
 g ( x  h)   lim  f ( x) 


h 0
h

0
h
h




 f ( x  h)  f ( x ) 
 g ( x  h)  g ( x ) 
 lim 

g
(
x
)

f
(
x
)

lim




h 0
h

0
h
h




 f   x   g ( x)  f ( x)  g   x 
Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será
y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)

Reglas de derivación
 Si y = f(x) / g(x)
f  x
y
 f  x   y  x   g  x   f   x   y  x   g ( x)  y ( x)  g   x 
g  x
 f  x 
f  x  
  g x
g  x 
f   x   y ( x)  g   x 

 y  x  


g ( x)
g ( x)

f   x   g ( x)  f ( x)  g   x 
 g ( x) 
2
Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será
y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3
La regla de la cadena
 Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:
y  f   g  x   g  x 
Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:
y  f   g  x    g   x  
1
2  x 1
2
 2x 
x
x2  1
Derivación implícita
 Si en vez de venir una curva mediante su función o expresión explícita, viene
expresada mediante su ecuación implícita (ecuación algebraica de variables x
e y, con y = y(x)). Entonces, se deriva dicha expresión, teniendo en cuenta las
reglas de aplicación a las derivadas, y despejando y ‘
Ejemplo.- Calcular la recta tangente a la circunferencia de centro el origen de
coordenadas y radio la unidad, que pasa por el punto (2/2, 2/2).
Derivando la ecuación implícita de la circunferencia
x2 + y2 = 1
Obtenemos
2.x + 2.y.y ‘ = 0. Es decir
y ’ = - x/y
Que en el punto (2/2, 2/2), y ‘ = -1, luego la ecuación de la recta será
y – 2/2 = -1. (x-2/2)
es decir
x + y = 2.
Derivadas de las funciones logarítmicas
 Si y = ln x
y  x  h — y  x
ln  x  h  — ln x
 lim

h 0
h0
h
h
 xh




ln 



1
1
1 x
1
x 
 lim 
 lim  ln 1    lim   ln 1   
h 0
h 0 h
x  h 0 x h
x
h




h
h


y  lim
x
h



1
1
1
1
 lim  ln 1    lim  ln  e  
h 0 x
h 0 x
x
x


h

Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será
y 
5
5x  9
Derivadas de las funciones logarítmicas
 Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de
derivación será
y 
1
1 1
  ln x  

ln a
ln a x
Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será
y 
1  5 


ln 3  5 x  9 
Derivadas de las funciones exponenciales
 Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será
y
ln y  ln e  x   1  y  y  e x
y
x
 Si y = ax , como y = ex.ln a será
ln y  ln a x  x  ln a 
y
 ln a  y  y  ln a  a x  ln a
y
Derivadas de las funciones exponenciales
 Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será
ln y  ln f  x 
g  x
 ln e
f  x  ln g  x 
 f  x  ln g  x 
f  x
y

  f  x   ln g  x  
 g  x
y
g  x
 f   x   ln g  x   g  x   f   x   g   x  
 y  y  

g  x


 y  f  x 
g  x
 f   x   ln g  x   g  x   f   x   g   x  
 

g  x


Ejemplo.- Si y = 72x. Será
y  72 x  2  ln 7
Derivadas de las funciones trigonométricas
 Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será
y  x  h  y  x
sen  x  h   sen x
y  lim
 lim

h 0
h 0
h
h
sen x  cos  h   sen  h   cos x  sen x
 lim

h 0
h
cos  h   1
sen  h 
 lim sen x 
 lim cos x 

h 0
h 0
h
h
 sen x  0  cos x 1  cos x
 Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será
sen 2 x  cos 2 x 1  2  sen x  cos x  2  y  y  0
2  sen x  cos x
sen x  cos x
 y  

  sen x
2 y
cos x
Derivadas de las funciones trigonométricas
 Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será
sen  x  cos x  sen x  cos x sen 2 x  cos 2 x
y 


2
2
cos x
cos x
 1
2

sec
x
2

 cos x

2
2
 sen x  cos x  tg 2 x  1

 cos 2 x cos 2 x
Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será
sen  ln x 
1
y   sen  ln x    
x
x
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
 Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son
periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el
cual dicha función sea biyectiva
 Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será
cos y  y  1  y 
1
1
1


cos y
1  sen 2 y
1  x2
 Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será
y  
1
1  x2
 Si y = Arc tg x, será
1
y 
1  x2
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será
1
y 
1—
 x
2

1
1

2  x 2  x — x2
Derivada como razón de cambio
 Dada una función f(x), si para cada x denominamos:
df(x) = f ‘ (x) . dx (ó df = f ‘ (x) . dx)
será: f ‘ (x) = df / dx
Ejemplo.- Se está hinchando un globo esférico. Si su radio crece a razón de 1
centímetro por segundo, ¿Con que rapidez estará creciendo el volumen cuando
el radio sea de 5 centímetros? Como el volumen viene dado por
4
V    r3
3
Tanto r como V son cantidades que varian con el tiempo, es decir, funciones
de t, luego la variación del volumen, será dV  4    3  r t 2  dr

dt 3
dt
Que para r = 5 cm y dr/dt = 1 cm/s., será
dV 4
    3  52  100    314,16 cm3 / s
dt 3
Lo que indica que cuando el radio alcanza la longitud de 5 cm. El volumen
aumenta a razón de 314 cm cúbicos por segundo, aproximadamente
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Matemática de GAUSS del Ministerio
de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
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lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
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Mas ayuda del tema de la página
Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msad
aall/geogebra/)
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