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Unidad 1: Funciones, Límite y Continuidad
Definición de límite
1
¡Razonemos juntos!
El gerente de una Compañía determina que cuando se está utilizando
x
porcentaje de la capacidad de la planta el costo total es
C
(
x
) cientos miles de dólares.
La compañía tiene una política de rotar el mantenimiento de tal forma que nunca se utilice más del 80% de su capacidad.
¿Qué costo esperaría el gerente cuando la planta esta operando a toda la capacidad permitida?
2
¿Es razonable que el gerente espere un costo de $700 000 cuando se utiliza el 80% de la capacidad de la planta?
x
f
(
x
)
x
tiende a 80 por la izquierda →
79,9
6,99891
79.99
6,99989
79.999
6,99999
80
← x
tiende a 80 por la derecha
80.0001
7,000001
80.001
7,00001
80.04
7,00043 Este comportamiento se describe diciendo “
C
(
x
) tiene valor límite 7 cuando
x
tiende a 80” 3
Ejemplo 1 Sea la función: ¿qué ocurre con el valor de
f
(
x
) cuando
x
se aproxima a 3?
4 3
4
Cuando derecha
x
se aproxima a 3 por medio de mayores que el 3, se dice que
x
valores se aproxima a 3 por la Vemos que
f
(
x
) tiende a 4.
4
Esto se simboliza por:
x
lim 3
f
(
x
) 4
3
x
5
Cuando
x
se aproxima a 3 por medio de menores que el 3, se dice que
x
valores se aproxima a 3 por la izquierda Vemos que
f
(
x
) tiende a 4.
4
Esto se simboliza por:
x
lim 3
f
(
x
) 4
x
3
6
Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos:
4
x
3
x
Vemos que
f
(
x
) tiende a 4.
Esto se simboliza por:
x
lim 3
f
(
x
) 4 7
Ejemplo 2 Sea la función:
¿qué ocurre con el valor de
f
(
x
) cuando
x
3 ?
4 5
x
3
x
8
Conclusión:
En el Ejemplo 1 , se aprecia que cuando
x
la izquierda o por la derecha,
f
(
x
) 4 3 ya sea por En el Ejemplo 2 se aprecia que cuando
x
3 por la izquierda,
f
(
x
) 4 y cuando
x
3 por la derecha,
f
(
x
) 5
¿En cuál de los ejemplos
(1 o 2)
de f
(
x
)
cuando x tiende a 3?
existe el límite
9
¡Observación !
Note que para que el límite exista, cuando la variable tiende a un número “
a
” (en nuestro ejemplo
a
= 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “
L
” (en nuestro ejemplo
L
= 4) Para que el límite de una función en un valor de “
x
” exista,
no es necesario
ese valor de “
x
” que la función esté definida en 10
Definición
Si
f
(
x
) se acerca más y más al número
L
cuando
x
se aproxima cada vez más a
a
, por ambos lados, entonces
L
es el límite
f
(
x
) cuando
x
tiende a
a
. Este comportamiento se expresa: Este límite existe si 11
y f
(
x
) ↓
L ↑ f
(
x
)
x→ a ←x x
Geométricamente, el enunciado de límite
L x
a f x
Significa que la altura de la gráfica
y
=
f
(
x
) tiende a
L
cuando
x
tiende a
a
, tal como se muestra en la figura.
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Analicemos ¿A qué valor tienden los valores de
f
(
x
),
g
(
x
) y
h
(
x
) cuando
x
tiende a 1?
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Ejemplos:
a)
x
lim
4
x
4
En los ejercicios del a) al d), en caso existan, calcular los siguientes límites
d)
x
lim
3
x x
3
2
9 b) c)
x
lim
1
x
x
lim
1
1
x x
1
2
1
2
2 e)
x
lim ln
e
f )
x
lim
0
e
x
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Ejemplo.
De la gráfica de la función
f
, determine, en caso exista, el límite de
f
(
x
) cuando
x
tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 3 2 1 5
y
4 1 2 3
f
4 5
x
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Ejemplo: Trace la gráfica de una función
f
que cumpla con las siguientes condiciones: a) dom(
f
) =
R –
b)
x lím
2
f
(
x
) c)
f
(
x
)
x lím
0 {-2} 1 y 1 ,
f
(0) = 3 d)
x lím
3
f
(
x
) 2
x lím
2
f
(
x
) 1
x lím
3
f
(
x
) 1
f
(3) = 1 Resuelva ejercicios del texto recomendados en la guía del alumno.
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