Transcript Gráficas de Funciones 3

Tema:
14
Funciones elementales
1
Euler - Matemáticas I
Funciones lineales
Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales.
Y
Y
Dominio: R
X
Recorrido: R
Recorrido: R
• (0, b): ordenada
en el origen
• (0, b): ordenada
en el origen
Dominio: R
lim (a x + b ) = 
f(x) = ax + b, a > 0
x 
lim (ax + b ) = – 
x – 
X
lim (a x + b ) = – 
f(x) = ax + b, a < 0
x 
lim (ax + b ) = 
x – 
Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes
de dos valores distintos de la variable independiente
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Funciones elementales
2
Euler - Matemáticas I
Funciones cuadráticas
Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a  0, b, c  R
Funciones y = ax2 para diferentes valores de a
• Son parábolas
• Dominio: R
• Si a > 0: Recorrido = [0, )
• Si a < 0: Recorrido = (–, 0]
a =2
a =1
a = 0,5
a=–2
a=–1
a = – 0,5
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Funciones elementales
3
Euler - Matemáticas I
Representación gráfica de funciones cuadráticas
f(x) = ax2 + bx + c, a0 es una parábola




2
2


b
c 
b  2
b
c
b  2 
b 


 = a x +
x + x +  = a  x +
–
+ c –
2 +
a
a
2 a 
4a
a
2 a 
4 a 



2

C o m o f(x) =


 S i a > 0 a b ierta h a cia a rrib a
b
b 

E l vértice está en V = –
, c –
 . A d em ás

2a
4a
 S i a < 0 a b ierta h a cia a b a jo
2




Y
V
lim (a x + b x + c) = – 
2
•
a>0
x 
lim (ax + b x+ c) = – 
lim (ax + b x + c) = 
2
x 
2
x – 
X
a<0
•
V
lim (ax + b x+ c) = 
2
x – 
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Funciones elementales
4
Euler - Matemáticas I
Funciones polinómicas
Se llama función polinómica a las funciones f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao
donde an, an-1, ..., ao son números reales, n es un número natural, y an  0. En este caso
se dice que tenemos una función polinómica de grado n
Las funciones f(x) = xn para n = 1, 2, 3, .....
Dominio
Recorrido
Recorrido
Dominio
f(x) = x4
f(x) = x2
f(x) = x3
f(x) = x5
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Funciones elementales
5
Euler - Matemáticas I
Representación gráfica de algunas funciones polinómicas
Grado 3
Grado 4
Grado 5
Grado 6
lim
n p ar
f(x) =  si a n > 0
lim
n im p ar
f(x) =   si a n > 0
lim
f(x) = –  si a n < 0
lim
f(x) = +  si a n < 0
x  
x  
x  
x  
–
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Funciones elementales
6
Euler - Matemáticas I
Funciones racionales
Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir,
f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios
• Dominio: conjunto de todos los
números reales excepto los que
anulan al denominador. Por tanto
para hallar el dominio hay que
resolver la ecuación Q(x) = 0
• Continuidad: son funciones
continuas en su dominio
• Asíntotas: pueden tener asíntotas
verticales, horizontales u
oblicuas
x+1 –
+
+
x+1 –
–
+
f(x)
–
+
+
–1
1
Y
X
Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x2 - 1)
y los cambios de signo en su dominio
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Funciones elementales
7
Euler - Matemáticas I
Funciones con radicales (I)
L as funcio nes f(x) =
f(x) =
x
n
m
x , m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....
3
f(x) =
f(x) =
f(x) =
x
4
f(x) =
x 
x
m
= 
x
Si m es impar y n es impar
D om (f) = {x  R : x  0}
n
5
x
x
Si m es impar y n es par
lim
3
D om (f) = R
lim
x 
n
x
m
=  ; lim
x –
n
x = – 
m
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Funciones elementales
8
Euler - Matemáticas I
Funciones con radicales (II)
L as funcio nes f(x) =
n
m
x , m = 1, 2, 3, 4, ...., n = 2, 3, 4, ....
3
f(x) =
4
f(x) =
x
2
Si m es par y n es par
Si m es impar y n es impar
D om (f) = R
lim
x 
n
x
m
=  ; lim
x –
n
D om (f) = R
x = – 
m
x
lim
x 
n
x
m
=  ; lim
x –
n
x = 
m
2
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Funciones elementales
9
Euler - Matemáticas I
Funciones potenciales
Una función potencial es una función de la forma f(x) = xa, siendo x la variable y a un
número real
• Dominio: en general definidas sólo en [0, ). En algunos casos también está
definidas para los reales negativos
• Continuidad: son funciones continuas en su dominio
lim + x = 
a
x 0
lim
x 
lim
x 
a<0
a
x =

lim
x 
a
x =
a
x = 0
0<a<1
a>1

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10
Euler - Matemáticas I
Funciones exponenciales
Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, siendo x la variable y a
un número real
• Dominio: R. Recorrido: (0, )
• Continuidad: son funciones continuas en su dominio
• Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1)
f(x) = e– x = (1/e)x
f(x) = 2x
f(x) = 2– x
= (1/2)x
f(x) = ex
0<a<1
a>1
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Funciones elementales
11
Euler - Matemáticas I
Funciones exponenciales: algunas propiedades
lim
x –
x
a = 

lim
x 
lim
x 
x

a = 0
• Asíntota horizontal por la derecha
• Decreciente
f(x) = ax para 0 < a < 1
lim
x –
x

a = 
x
a = 0

•Asíntota horizontal por la izquierda
• Creciente
f(x) = ax para a > 1
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Funciones elementales
Euler - Matemáticas I
12
Comparación entre funciones exponenciales y potenciales
x
X
2
x
4
4
x /2
X
5
32
10
1024
20
40
60
80
6
12
18
24
1 ,0 4 9 .1 0 1 ,0 9 9 .1 0
1 ,1 5 2 .1 0
1 ,2 0 9 0 .1 0
625
10000
1 ,6 .1 0
1 9 ,5 3 6
9 ,7 6 6
0 ,1 5 3
5
2 ,5 6 .1 0
6
1 ,2 9 6 .1 0
-6
1 1 2 4 .1 0
2 ,3 2 8 .1 0
x
7
-11
4 ,0 9 6 .1 0
3 ,3 8 8 .1 0
7
-17
100
30
1 ,2 6 8 .1 0
10
8
7 ,8 8 9 .1 0
S i a > 1 la func ió n exp o ne ncial a crece m á s ráp id o q ue cualq uier funció n
n
x
p o linó m ica cua nd o x tie nd e a infinito : lim
x = 0 p ara to d o n = 1 , 2 , 3, ....
x  a
-23
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13
Euler - Matemáticas I
Funciones logarítmicas
Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = loga x, siendo x la variable
y a un número real mayor que 0 y distinto de 1
•
•
•
•
Dominio: (0, ). Recorrido: R
Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, )
Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0)
Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x
f(x) = ax
f(x) = ax
f(x) = loga x
f(x) = loga x
0<a<1
a>1
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Euler - Matemáticas I
Funciones logarítmicas: algunas propiedades
Y
lim
x 0
Y
log a x = + 
+
lim
x  
log a x = 
X
lim
x  
log a x = – 
X
lim
x 0
+
log a x = – 
f(x) = loga x para 0 < a < 1
f(x) = loga x para a > 1
• Decreciente en su dominio
• loga x < 0 si x > 1
• loga x > 0 si 0 < x < 1
• Creciente en su dominio
• loga x > 0 si x > 1
• loga x < 0 si 0 < x < 1
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Funciones elementales
Euler - Matemáticas I
15
Comparación entre funciones logarítmicas y potenciales
x
lo g 2 x
x
2
lo g 2 x/x
2
1
0 ,0 0 0 0
10
3 ,3 2 1 9
1
10
0
3 ,3 2 1 9 .1 0
100
6 ,6 4 3 9
2
10
-2
1000
9 ,9 6 5 9
4
6 ,6 4 3 9 .1 0
10
-4
10000
1 3 ,2 8 7 7
6
9 ,9 6 5 9 .1 0
10
-6
8
1 3 ,2 8 7 7 .1 0
-8
Y
X
x
S i a > 1 la func ió n p o linó m ica a crece m ás ráp id o q ue la fu nció n lo garítm ica
lo g a x
lo g a x cua nd o x tie nd e a in finito : lim
= 0 p ara to d o n = 1 , 2, 3 , ....
n
x 
x
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16
Euler - Matemáticas I
Función periódica
km
período = T
período = T
3
2
1
0
10,15
10,30
10,45
11
x
11,15
10,35
11,45
x+T
Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado
período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio
t
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Euler - Matemáticas I
Función seno
Y
-3p-5p/2-2p-3p/2-p-p/20p/2p3p/22p5p/23p
X
y=1
y = -1
Propiedades de la función seno
• En continua en su dominio que es R.
• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].
• Es periódica de período 2p.
• No existe el límite de sen x cuando x tiende a ± .
• Es una función impar: sen (– x ) = sen x
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Funciones elementales
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Euler - Matemáticas I
Función coseno
-3p-5p/2-2p-3p/2-p-p/20p/2p3p/22p5p/23p
y=1
y = -1
y = sen x
y = cos x
Propiedades de la función coseno
• En continua en su dominio que es R.
• Su recorrido es el intervalo [-1, 1].
• Es periódica de período 2p.
• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .
• Es una función par: cos (– x ) = cos x
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Euler - Matemáticas I
Función tangente
Y
X
-2p-3p/2-p-p/20p/2p3p/22p
Propiedades de la función tangente
• En continua en su dominio que es R - {p/2+kp:k Z}
• Su recorrido es toda la recta real.
• Es periódica de período p.
• Las recta x = p/2+kp,k Z son asíntotas verticales
• No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± .
• Es una función impar: tan (– x ) = – tan x
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20
Euler - Matemáticas I
Función arco seno
La función sen x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) =
arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
p/2
y = arcsen x
1
-p/2
y = sen x
-1
0
1
p/2
–1
y=x
- p/2
Propiedades de la función arco seno
• En continua en su dominio: [-1, 1].
• Su recorrido es el intervalo [-p/2, p/2].
• Es creciente.
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Funciones elementales
21
Euler - Matemáticas I
Función arco coseno
La función cos x es inyectiva en [0, p]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos
x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
y = arccos x
y=x
p/2
p/2
1
-1
y = cos x
0
1
p/2
p
Propiedades de la función arco coseno
• En continua en su dominio: [-1, 1].
• Su recorrido es el intervalo [0, p].
• Es decreciente.
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Funciones elementales
22
Euler - Matemáticas I
Función arco tangente
La función tan x es inyectiva en [-p/2, p/2]. En ese intervalo tendrá inversa: f(x) =
arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x
Y
y = tan x
p/2
0
-p/2
y = arctan x
p/2
X
-p/2
y=x
Propiedades de la función arco tangente
• En continua en su dominio: R.
• Su recorrido es el intervalo [-p/2, p/2].
• Es creciente.
• Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en p/2 y hacia la izquierda en -p/2
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23
Euler - Matemáticas I
Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y
dilataciones
Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x + p/2)