Transcript Soluciones - IES Leopoldo Queipo

Pendientes MACS I
Examen 1º: 23 Enero 2012
Temas 1,3,4,5,6,7 del Libro de la editorial Anaya
Examen 2º: 16 Abril 2012
Temas 8,9,10,11 del Libro de la editorial Anaya
Examen Final: 7 Mayo 2012
Las soluciones de los ejercicios están en la
página web del Instituto.
Examen 1.Pendientes MACS I
 2x - 3

1º Estudiar la gráfica de la función: f(x)   x  1
x 2  2 x  3

si x  0
si x  0
2º Un almacenista de frutasha estimadoque el beneficioque le producecada kilogramode fresas
depende del preciode venta, según la función:
B (x) = -x2  4 x  3 , con 0  t  25
siendo B(x)t elbeneficiopor kg y x el preciode cada kg, ambos en euros.
a) ¿Entrequé preciosse producen beneficiospara el almacenista?
b)¿Qué preciomaximizalos beneficios?
c)Si tieneen el almacen10000kgde fresas.¿cuál será el beneficio totalmáximoque puede obteber?
3º Calcular las asíntotasy las dos primerasderivadasde la función: f x  
4º Calcular :
x3  4
x2
1
1
75  3 
243
5
2
5º Calcular una cotadel errorabsoluto y del errorrelativoque se comete, al aproximar
el número 3 por su valorpor defectocon dos cifrasdecimales: 1.73.
6º Un tallerde carpintería ha vendido15 muebles, entresillas, sillones y
butacas, por un totalde 1600euros.Se sabe que cobra 50 euros por cada silla,150euros
por cada sillón y 200euros por cada butaca, y que el númerode butacas es la cuarta
partedel númeroque suman los demás muebles.
Plantee,sin resolver,el sistemade ecuacionesadecuado que permitecalcular cuántos
muebles de cada clase ha vendidoese taller.
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  log10 x
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
2x2 - 8x  6
f(x)   2
- 2x  8x - 6
si x  1
si x  1
2º El beneficioesperadode una empresa,en millonesde euros, en los próximos
ochoaños vienedado por la función B definida por
 t 2  7t si 0  t  5

B(t )  
 10
si 5  t  8

donde t indica el tiempotranscurrido en años.
a) Representegráficamente la función B y explique cómoes la evolucióndel beneficio
esperadoduranteesos 8 años.
b) Calcule cuándo el beneficioesperadoes de 11.25millonesde euros.
3º Calcular las asíntotas de la función : f x  
x 1
2x  1
4º Calcular: log2 14  log2 42  log2 2  log2 9
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
3 x  y  2z  6

6º Resolver: 2 x  y  3z  8
x  y  z  4

7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  2x
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
 x

f(x)   x  1
x 2  x

si x  0
si x  0
2º El costede producciónde x unidades diarias de un determinado productoes :
1
C(x)  x 2  35x  25 €
2
y el preciode ventade una de ellas es de
x
p(x)  50  €
4
Hallar el númerode unidades que deben venderse diariamente para que el beneficiosea máximo.
3º Calcular las asíntotasoblícuas de la función: f x  
x 2  2x  1
x 3
4º Resolver: 3 x  2  x  4
2
5º Aproximarel númeroracional por truncamientoy por redondeo y
3
calcular , en cada caso , el errorabsoluto y el errorrelativoque se comete.
6º Un un examende Matemáticas que constabade tresproblemas,un alumnoobtuvouna
calificación totalde 7.2.
La puntuacióndel primerproblemafue un 40 % más que la del segundo, y la del tercero
fue el doble de la suma de las puntuaciones del primeroy el segundo.
¿Cuál fue la puntuaciónde cada problema?
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  ln(x  3)
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
1  x 2 si x  1

f ( x)   2
si  1  x  3
 x  5 si x  3

2º El valor, en millonesde euros , de una empresa, en funcióndel tiempot,vienedado por :
f(t) 9 - (t - 2)2
con 0  t  4.5
Deducir los valoresde t en el que la empresaalcanzósu máximoy su mínimovalor.
3º Calcular las asíntotas y las tendencia s de la función y 
x
x 1
2
4º Resolver: 2ln(x 1)  ln(2 x)  ln 2
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
 x  2y  z  3

6º Resolver 2 x  2 y  3z  1
3 x  2 y  2z  2

7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  x 3
Examen 2.Pendientes MACS I
1º El 53% de los t rabajadores de una det erminada empresason mujeres.
Si elegimos8 personasde esa empresaal azar,
a)Calcular la probabilidad de que haya:
- Alguna mujer.
- Cuat ro mujeres.
- Más de 6 mujeres.
b)Hallar la media y la desviación t ípica.
2º La duración,en horas,de un determinado tipode bombillassigue una distribución
N(1250,115).Calcula la probabilidad de que una bombilla de ese tipodure :
a)Másde 1500horas.
b)Entre1300 y 1400horas.
3º En un grupo de 70 alumnos, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(80,95) (80,).
4ºUna empresa dispone de los datos de la tabla:
Núm. de vendedores (x)
3
4
5
8
10
Núm. de pedidos (y)
90
110
140
190
235
Sabiendo que:
x6
y  1 53
 x  2,607
 y  53,065
a)Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores.
b)Indica la fiabilidad de la estimación anterior.
 xy  138
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºLa probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4.
Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:
a) Alguna vez.
b) Menor de dos veces.
Halla la media y la desviación típica.
2ºLa medida de la presión ocular en personas sanas sigue una distribución N(20, 1).
Si elegimos una persona sana al azar, calcula la probabilidad de que su presión ocular:
a) Sea mayor que 23.
b) Esté entre 19 y 22.
3ºSe han lanzado 5 monedas 1000 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
4ºMidiendo la potencia (en CV) y el consumo (en l/100 km) en seis modelos
diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºLa probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03.
Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya:
a) Alguno defectuoso.
b) Menos de dos defectuosos.
Halla la media y la desviación típica
2ºLa tensión de una determinada línea eléctrica sigue una distribución N(100, 20).
Calcula la probabilidad de que el valor de la tensión en esa línea:
a) Sea mayor que 150.
b) Esté entre 130 y 140
3º En un grupo de 100 niñosde 4 años, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(98,102).
4ºLas notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por
un grupo de seis alumnos de 1º de Bachillerato han sido las siguientes:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b)Calcula yˆ (6). ¿Es fiableesta estimación? Sabemosque r  0,98).
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºUna urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares.
Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento,
calcula la probabilidad de obtener número impar:
a) Alguna vez.
b) Más de 8 veces.
Halla la media y la desviación típica.
2ºLa temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad
sigue una distribución
N(68, 4).
Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad:
a) Supere los 75° F.
b) Esté entre 65° F y 70° F.
3ºLanzamos 5 chinchetas y observamos el número de ellas que caen con la punta hacia arriba.
Repetimos el experimento 350 veces y obtenemos los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
4ºEn seis modelos de automóviles "todo terreno" se han medido la potencia (en CV) y
el tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100 km/h. Los resultados se recogen en la tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
1  x 2 si x  1

f ( x)   2
si  1  x  3
 x  5 si x  3

2º El valor, en millonesde euros , de una empresa, en funcióndel tiempot,vienedado por :
f(t) 9 - (t - 2)2
con 0  t  4.5
Deducir los valoresde t en el que la empresaalcanzósu máximoy su mínimovalor.
3º Calcular las asíntotasy las dos primerasderivadasde la función: f x  
4º Calcular :
x3  4
x2
1
1
75  3 
243
5
2
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
 x  2y  z  3

6º Resolver 2 x  2 y  3z  1
3 x  2 y  2z  2

7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  x 3
8º Calcular :


D cos2 (x 4 - 2)
Soluciones
1º Estudiar la gráfica de la función:
y  1 x2
x
y
1 0
2 3
1  x 2 si x  1

f ( x )   2
si  1  x  3
 x  5 si x  3

b
 0,
2a
pero no se representaporque está fuera
de su dominiode definición.
la abcisa del vérticees x 
y  2
x y
y  x5
0 2
1 2
3 2
5 0
x
y
Dom f  R   1   ,   1
Asíntotasf : No tiene
T endenciasf : lim f ( x)  - ; lim f ( x)  
x - 
x  
Continuidad f  Dom f  R   1
Monotoníaf  Crecienteen- ,-1  3,
Constanteen - 1,3
Imagenf   ,
2º El valor, en millonesde euros , de una empresa, en funcióndel tiempot,vienedado por :
f(t) 9 - (t - 2)2
con 0  t  4.5
Deducir los valoresde t en el que la empresaalcanzósu máximoy su mínimovalor.
f(t)  9 - t - 2   t 2  4t  5 y la abcisa del vérticees x 
2
4
2
2
el mínimoestaráen f(0) ó en f(4.5)
f(0)  5 y f(4.5) 2.75por lo que el mínimose alcanzaen t  4.5
Soluciones
3º Calcular las asíntotasy las dos primerasderivadasde la función: f x  
x3  4
x2
1º Asínt ot asy t endencias :
 f ()  
x3  4
x3
T endenciasAh : No t iene
b  lim

lim

lim
x




x  
x   x 2
x  
f
(

)


x2

x3  4
   a / a 2  0  a  0Av : x  0 
x a
x2
( x 3  4) / x 2
x3  4
m  lim
 lim
1
x  
x  
x
x3
 x3  4

4
n  lim  2  x   lim 3  0Aobl: y  x 
x  
 x
 x  x
a / lim
2º Cálculo de f  y f  :

 x 3  4  3x 2  x 2  x 3  4  2 x 3x 4  2 x 4  8 x x 4  8 x x x 3  8 x 3  8
y   2  




x4
x4
x4
x4
x3
 x 
x3  8
3x 2  x 3  x 3  8  3x 2  24
y  ( 3 )  
 4
x
x6
x



4º Calcular :
1
1
75  3 
243
5
2



Soluciones
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
x25
x-2 5  
 x  2  5
si x - 2  0
x  7

si x - 2  0
 3  x
si x  2
 3  x  7
si x  2
Este intervalo está formado por los números cuya distancia a 2 es menor que 5:
 x  2y  z  3

6º Resolver 2 x  2 y  3z  1
3 x  2 y  2z  2

x  2 y  z  3



2 x  2 y  3z  1


3x  2 y  2 z  2 

1ª
2 ª  1ª
3ª  1ª

x  2 y  z  3



3x  4z  2


4 x  3z  5

1ª
2ª
4  2 ª 3  3ª


z  1
x  2 y  z  3





2  4z


3x  4z  2  x 
 2
3




7 z  7 


3 x z
y
 1

2

x2
y 1
z  1
Soluciones
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  x 3
La tabla de valoreses análogaa la función y  x , perocon el centrode referenciaen el punto 3,0.
Los nuevosvaloresde x se obtienenasí :
x3 0
x  3
y0
x  3 1
y
x  2
y 1
y  x 3
y  x 3
x
y
-3
-2
y  x 3
0
1
Dom f  - 3,
Monotoníaf  Crecienteen - 3,
Curvaturade f  Cóncavaen - 3,
Imagenf  0,
Asíntotasf : No tiene
T endenciasf : lim f ( x)  0 ; lim f ( x)  
x -3
Continuidad f  - 3,
x  


D cos2 (x 4 - 2)
8º Calcular :
y ' = 2cos (x4 - 2) · (-sen (x4 - 2)) · 4x3 = -8x3 cos (x4 - 2) · sen (x4 - 2)
f ' x  
1  4x 2 


3  3 x  2 
2
3
·
8 x 3 x  2  4 x 2 · 3 1

3
(3 x  2)2
2
2
3
1
24x 2  16x  12x 2
 3x  2 


 ·
2
3
(3 x  2)2
 4x 
3
 3x  2  12x 2  16x

 ·
2
(3x  2)2
 4x 
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
 x

f(x)   x  1
x 2  x

si x  0
si x  0
2º El costede producciónde x unidades diarias de un determinado productoes :
1
C(x)  x 2  35x  25 €
2
y el preciode ventade una de ellas es de
x
p(x)  50  €
4
Hallar el númerode unidades que deben venderse diariamente para que el beneficiosea máximo.
3º Calcular las asíntotas horizontal es y vertical es de la función : f x  
x 1
2x  1
4º Resolver: 3 x  2  x  4
2
5º Aproximarel númeroracional por truncamientoy por redondeo y
3
calcular , en cada caso , el errorabsoluto y el errorrelativoque se comete.
6º Un un examende Matemáticas que constabade tresproblemas,un alumnoobtuvouna
calificación totalde 7.2.
La puntuacióndel primerproblemafue un 40 % más que la del segundo, y la del tercero
fue el doble de la suma de las puntuaciones del primeroy el segundo.
¿Cuál fue la puntuaciónde cada problema?
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  log10 x
8º Calcular :
Soluciones
 x

1º Estudiar la gráfica de la función: f(x)   x  1
x 2  x

si x  0
si x  0
x
x 1
x y
y
1
1
0 0
2 2
y  x2  x
x
y
-1 -1
V
2 4
0
0
1 2
Dom f  R   1   ,   1
Monotoníaf  Crecienteen R   1   ,   1
Asíntotasf : x  -1, y  1
Imagenf   ,
T endenciasf : lim f ( x)  1; lim f ( x)  
x - 
x  
Continuidad f  Dom f  R   1
2º El costede producciónde x unidades diarias de un determinado productoes :
1
C(x)  x 2  35x  25 €
2
y el preciode ventade una de ellas es de
x
p(x)  50  €
4
Hallar el númerode unidades que deben venderse diariamente para que el beneficiosea máximo.
x 1
x2


B( x)  x 50     x 2  35x  25    15x  25
4 4
2


Comose tratade una parábola, el beneficiomáximose obtieneen el vértice:
B(x 
-b
152
)  B(15)  
 1515  25  87.5 €
2a
2
Soluciones
3º Calcular las asíntotas horizontal es y vertical es de la función : f x  
x 1
2x  1
x 1
x
1
1
 lim
  Ah : y  
x


2x 1
2x 2 
2
x 1
1
1
a / lim
   a / 2a  1  0  a   Av : x  
x a 2 x  1
2
2
( x  1) / 2 x  1
x 1
x
1
1
m  lim
 lim
 lim
 lim
  0Aobl : No t iene
2
2
x  
x   2 x  x
x   2 x
x   2 x
x

b  lim
x  
4º Calcular: log2 14  log2 42  log2 2  log2 9
log 2 14  log 2 42  log 2 2  log 2 9  log 2
14  2  9
14  2  9
7  2  2 33
 log 2
 log 2
 log 2 6
42
76
76
Soluciones
2
5º Aproximarel númeroracional con 2 cifrasdecimales,por truncamientoy por
3
redondeo y calcular , en cada caso , el errorabsoluto y el errorrelativoque se comete.
Aproximación por t runcamiento: 0.66
2
 0.66  0.006666...  0.006
3
6
1
errorabsoluto 0.006 900 150
3
1
error relativo





 1%
6
2
valor real
0. 6
300 100
9
3
Aproximación por redondeo : 0.67
errorabsoluto 
2
2 67
1
 0.67  

3
3 100 300
1
errorabsoluto 300 - 3
1
error relativo



 0.5%
2
valor real
600 200
3
errorabsoluto 
6º Un un examende Matemáticas que constabade tresproblemas,un alumnoobtuvouna
calificación totalde 7.2.
La puntuacióndel primerproblemafue un 40 % más que la del segundo, y la del tercero
fue el doble de la suma de las puntuaciones del primeroy el segundo.
¿Cuál fue la puntuaciónde cada problema?
x=puntuación obtenida en el problema 1
y=puntuación obtenida en el problema 2
z=puntuación obtenida en el problema 3
x  y  z  7 .2 

x  1 .4 y 
z  2( x  y ) 
Soluciones
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  log10 x
y  log x
x
1
10
Av x  0
y
0
1
-
Dom f  (0,)
Asínt otasf : x  0
T endenciasf : lim f ( x)   ; lim f ( x)  
x 0
x  
Cont inuidad f  Dom f
8º Calcular :
f ' x  
1
1
x  2  x 1
3



x  1 x  2 ( x  1) ( x  2) x 2  x  2
Monotoníaf  Crecienteen (-,)
Curvaturade f  Cóncavaen (0,)
Imagenf  (,)
Examen 1.Pendientes MACS I
1º Estudiar la gráfica de la función:
2x2 - 8x  6
f(x)   2
- 2x  8x - 6
si x  1
si x  1
2º El beneficioesperadode una empresa,en millonesde euros, en los próximos
ochoaños vienedado por la función B definida por
 t 2  7t si 0  t  5

B(t )  
 10
si 5  t  8

donde t indica el tiempotranscurrido en años.
a) Representegráficamente la función B y explique cómoes la evolucióndel beneficio
esperadoduranteesos 8 años.
b) Calcule cuándo el beneficioesperadoes de 11.25millonesde euros.
3º Calcular las asíntotasoblícuas de la función: f x  
x 2  2x  1
x 3
4º Calcular: log2 14  log2 42  log2 2  log2 9
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
3 x  y  2z  6

6º Resolver: 2 x  y  3z  8
x  y  z  4

7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  2x
Soluciones
2x2 - 8x  6
1º Estudiar la gráfica de la función: f(x)   2
- 2x  8x - 6
y  x2  x
x
y
8
V   2 -2
4
1
0
0
6
y  x2  x
x
-8
V 2
-4
1
3
si x  1
y
2
0
0
Dom f  R   ,
Asíntot asf : No tiene
T endenciasf : lim f ( x)   ; lim f ( x)  
x - 
si x  1
x  
Cont inuidad f  Dom f  R
Monotoníaf  Crecienteen 1,
Imagenf   ,
2º El beneficioesperadode una empresa,en millonesde euros, en los próximos
ochoaños vienedado por la función B definida por
 t 2  7t si 0  t  5

B(t )  
 10
si 5  t  8

donde t indica el tiempotranscurrido en años.
a) Representegráficamente la función B y explique cómoes la evolucióndel beneficio
esperadoduranteesos 8 años.
b) Calcule cuándo el beneficioesperadoes de 11.25millonesde euros.
a) Para representar la gráfica de la funciónf necesitamos obtener una
tabla de valores con los extremosde definicióndel primer trozo de la función:
y  B(t)  t 2  7t
t
Vert  3.5
y
12.25
0
0
5
10
b) B(t)  11.25 t 2  7t  11.25  t 2  7t  11.25  0  t 
 7  49  45  7  2 2.5


2
2
4.5
Soluciones
3º Calcular las asíntotasoblícuas de la función: f x  
x 2  2x  1
x 3
( x 2  2 x  1) / x  3
x2  2x 1
 lim
1
x  
x  
x
x 2  3x
 x2  2x 1 
x 1
n  lim 
 x   lim
 1Aobl: y  x  1
x  
 x 3
 x  x  3
m  lim
4º Resolver: 3 x  2  x  4
Soluciones
5º Representar gráficamente el conjuntode las solucionesde la ecuación x - 2  5
x2 5
x-2 5  
 x  2  5
si x - 2  0
x  7

si x - 2  0
 3  x
si x  2
 x   ,3  7,
si x  2
Este intervalo está formado por los números cuya distancia a 2 es mayor que 5:
3 x  y  2z  6

6º Resolver: 2 x  y  3z  8
x  y  z  4

3x  y  2z  6



2 x  y  3z  8



x  y  z  4
1ª
2 ª  1ª
3ª 1ª

3x  y  2z  6



5x  z  2



 2 x  z  2
1ª
2ª
3ª  2 ª

3x  y  2z  6



5x  z  2 



 7 x  0
x  0



z  2  5x  2



y  6  3x  2z  2
x0
y2
z  2
Soluciones
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  2x
y  2x
x
0
1
-
y
1
2
0  y Ah
Dom f  (,)
Asínt otasf : y  0
T endenciasf : lim f ( x)  0 ; lim f ( x)  
x - 
Continuidad f  Dom f
x  
Monotoníaf  Crecienteen (-,)
Curvaturade f  Convexaen (-,)
Imagenf  (0,)
Examen 1.Pendientes MACS I
 2x - 3

1º Estudiar la gráfica de la función: f(x)   x  1
x 2  2 x  3

si x  0
si x  0
2º Un almacenista de frutasha estimadoque el beneficioque le producecada kilogramode fresas
depende del preciode venta, según la función:
B (x) = -x2  4 x  3 , con 0  t  25
siendo B(x)t elbeneficiopor kg y x el preciode cada kg, ambos en euros.
a) ¿Entrequé preciosse producen beneficiospara el almacenista?
b)¿Qué preciomaximizalos beneficios?
c)Si tieneen el almacen10000kgde fresas.¿cuál será el beneficio totalmáximoque puede obteber?
3º Calcular las asíntotas y las tendencia s de la función y 
4º Calcular :
x
x 1
2
1
1
75  3 
243
5
2
5º Calcular una cotadel errorabsoluto y del errorrelativoque se comete, al aproximar
el número 3 por su valorpor defectocon dos cifrasdecimales: 1.73.
6º Un tallerde carpintería ha vendido15 muebles, entresillas, sillones y
butacas, por un totalde 1600euros.Se sabe que cobra 50 euros por cada silla,150euros
por cada sillón y 200euros por cada butaca, y que el númerode butacas es la cuarta
partedel númeroque suman los demás muebles.
Plantee,sin resolver,el sistemade ecuacionesadecuado que permitecalcular cuántos
muebles de cada clase ha vendidoese taller.
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  ln(x  3)
Soluciones
 2x - 3

1º Estudiar la gráfica de la función: f(x)   x  1
x 2  2 x  3

2x  3
x 1
x
y
y  x2  x
x
-2
V  1
2
0
1
y
C 1
2
0
3
2
7
si x  0
si x  0
y
-1
4
-3
0
Dom f  R   1   ,   1
Asíntotasf : x  -1, y  2
T endenciasf : lim f ( x)  2 ; lim f ( x)  
x - 
x 
Continuidad f  Dom f  R   1
Monotoníaf  Crecienteen  ,   1
Imagenf   ,
2º Un almacenista de frutasha estimadoque el beneficioque le producecada kilogramode fresas
depende del preciode venta, según la función:
B (x) = -x2  4 x  3 , con 0  t  25
siendo B(x)t elbeneficiopor kg y x el preciode cada kg, ambos en euros.
a) ¿Entrequé preciosse producen beneficiospara el almacenista?
b)¿Qué preciomaximizalos beneficios?
c)Si tieneen el almacen10000kgde fresas.¿cuál será el beneficio totalmáximoque puede obteber?
a) B (x) = 0  -x2  4 x  3  0  x 
b) Bmax (x)  B(vértice) B(2)  1
c) B  100001  10000€
 4  16  12  4  2 1


2
2
3
Soluciones
3º Calcular las asíntotas y las tendencia s de la función y 
x
x 1
2
 f ()  0
x
x
1
1
T endenciasasíntotashorizont ales : y  0
 lim 2  lim 

x   x  1
x   x
x   x
   f ()  0
1
x
a / lim 2
   a / a 2  1  0  a   asíntotasvert icales x  1 , x  -1
x a x  1
 1
x /( x 2  1)
x
x
1
1
m  lim
 lim 3
 lim 3  lim 2 
 0no t ieneasínt ot asoblícuas
x  
x   x  x
x   x
x   x
x

b  lim
2
4º Resolver: 2ln(x 1)  ln(2 x)  ln 2
Soluciones
5º Calcular una cotadel errorabsoluto y del errorrelativoque se comete, al aproximar
el número 3 por su valorpor defectocon dos cifrasdecimales: 1.73.
errorabsoluto  3  1.73  0.01 
1
errorabsoluto
3  1.73 0.01 0.01 100
1
errorrelativo





 0.0057...  6%
valorreal
3
3 1.73 173 173
100
6º Un tallerde carpintería ha vendido15 muebles, entresillas, sillones y
butacas, por un totalde 1600euros.Se sabe que cobra 50 euros por cada silla,150euros
por cada sillón y 200euros por cada butaca, y que el númerode butacas es la cuarta
partedel númeroque suman los demás muebles.
Plantee,sin resolver,el sistemade ecuacionesadecuado que permitecalcular cuántos
muebles de cada clase ha vendidoese taller.
x=nº de sillas vendidas
y=nº de sillones vendidos
z=nº de butacas vendidas
50x  150y  200z  1600

z  2 x  y 


x  y  z  15

Soluciones
7º Representar y determinar las características básicas:
Dominio , Asíntotas y Tendencias , Continuidad , Monotonía , Curvatura e Imagen
de la función:
y  ln(x  3)
La gráfica es análogaa y  log x, perocon el centrode referenciaen el punto3,0.
Los nuevosvaloresde x se obtienenasí :
x4
x  3 e
y
x -3  e 
y0
y 1
y se calcula la nueva asíntotavertical:
lim ln( x  3)    x  3  0  x  3
x -3 1
xa
y  ln(x  3)
x
4
e3
AV x  3
y
1
2
-
Examen 2.Pendientes MACS I
1º El 53% de los t rabajadores de una det erminada empresason mujeres.
Si elegimos8 personasde esa empresaal azar,
a)Calcular la probabilidad de que haya:
- Alguna mujer.
- Cuat ro mujeres.
- Más de 6 mujeres.
b)Hallar la media y la desviación t ípica.
2º La duración,en horas,de un determinado tipode bombillassigue una distribución
N(1250,115).Calcula la probabilidad de que una bombilla de ese tipodure :
a)Másde 1500horas.
b)Entre1300 y 1400horas.
3º En un grupo de 70 alumnos, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(80,95) (80,).
4ºUna empresa dispone de los datos de la tabla:
Núm. de vendedores (x)
3
4
5
8
10
Núm. de pedidos (y)
90
110
140
190
235
Sabiendo que:
x6
y  1 53
 x  2,607
 y  53,065
a)Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores.
b)Indica la fiabilidad de la estimación anterior.
 xy  138
Soluciones
1º El 53% de los t rabajadores de una det erminada empresason mujeres.
Si elegimos8 personasde esa empresaal azar,
a)Calcular la probabilidad de que haya:
- Alguna mujer.
- Cuat ro mujeres.
- Más de 6 mujeres.
b)Hallar la media y la desviación t ípica.
a) Si llamamos x = "nº de mujeres en un grupo de 8 personas",
se trata de una distribución binomial con n = 8; p = 0,53: B (8; 0,53)
px  0  1  px  0  1  0, 478  0, 998
 8
px  4     0, 534  0, 474
4 
 8
 8
px  6  px  7  px  8     0, 537  0, 47     0, 538  8  0, 537  0, 47  0, 538  0, 050
 7
 8
b) Hallamos la media y la desviación típica:
  np  8  0, 53  4, 24.
  npq 
1, 99  1, 41
2º La duración,en horas,de un determinado tipode bombillassigue una distribución
N(1250,115).Calcula la probabilidad de que una bombilla de ese tipodure :
a)Másde 1500horas.
b)Entre1300 y 1400horas.
 x  1250 1500  1250 

  pz  2,17  1  pz  2,17  1  0, 9850  0, 0150
115
 115

a) px  1500  p 
 1300  1250 x  1250 1400  1250 



115
115
115


b) p 1300  x  1400  p 
 p 0,43  z  1, 30  pz  1, 30  pz  0, 43  0, 9032  0, 6664  0, 2368
Soluciones
3º En un grupo de 70 alumnos, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(80,95) (80,).
La diferenciaes muy pequeña,por lo que se aceptaque el ajuste es bueno.
4ºUna empresa dispone de los datos de la tabla:
Núm. de vendedores (x)
3
4
5
8
10
Núm. de pedidos (y)
90
110
140
190
235
Sabiendo que:
x6
y  153
 x  2,607
 y  53,065
 xy  138
a)Estima el número de pedidos que obtendrían 9 vendedores.
b)Indica la fiabilidad de la estimación anterior.
RYX : y  y 
a)
 xy
 x2
 (x - x)
y  153 20,294 (x - 6)

y  20,294x 31,236

y(9)  20,294  9  31,236  213,882
b) r 
 xy
 x  y

1 38
 0,997
2,607  53,065
la fiabilidad es muy buena
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºLa probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4.
Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:
a) Alguna vez.
b) Menor de dos veces.
Halla la media y la desviación típica.
2ºLa medida de la presión ocular en personas sanas sigue una distribución N(20, 1).
Si elegimos una persona sana al azar, calcula la probabilidad de que su presión ocular:
a) Sea mayor que 23.
b) Esté entre 19 y 22.
3ºSe han lanzado 5 monedas 1000 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
4ºMidiendo la potencia (en CV) y el consumo (en l/100 km) en seis modelos
diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
Soluciones
1ºLa probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4.
Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:
a) Alguna vez.
b) Menor de dos veces.
Halla la media y la desviación típica.
· Si llamamos x = "no de éxitos", se trata de una distribución binomial con n = 15; p = 0,4:
B15; 0, 4
a) px  0  1  px  0  1  0, 6
15
 0, 9995
b) px  2  px  0  px  1  0, 6
15
 15  0, 4  0, 614  0, 005
· Hallamos la media y la desviación típica:
  np  15  0, 4  6
  npq 
15  0, 4  0, 6 
3, 6  1, 90
2ºLa medida de la presión ocular en personas sanas sigue una distribución N(20, 1).
Si elegimos una persona sana al azar, calcula la probabilidad de que su presión ocular:
a) Sea mayor que 23.
b) Esté entre 19 y 22.


 x  20 23  20 

 pz  3  1  pz  3  1  0, 9987  0, 0013
1 
 1
a) p x  23  p 


 19  20 x  20 22  20 


 p 1  z  2 
1
1
1 

b) p 19  x  22  p 
 pz  2  pz  1  pz  2  pz  1  pz  2   1  pz  1   0, 9772   1  0, 8413  0, 8185
3ºSe han lanzado 5 monedas 1000 veces y se han obtenido los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
Soluciones
El ajuste es bueno.
3ºMidiendo la potencia (en CV) y el consumo (en l/100 km) en seis modelos
diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calculayˆ (190). ¿Es fiableesta estimación? (Sabemosque r  0,86).
x
706
 117, 67
6
y 
 x2 
 xy 
34,9
 5, 82
6
m yx 
 xy
x
2

85818
 117, 67 2  456, 77
6
4150, 8
 117, 67  5, 82  6, 96
6
6, 96
 0, 015
456, 77
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 5,82 + 0,015 (x - 117,67) ® y = 0,015x + 4,05
b) yˆ (190)  6,9. No podemosconsideraresta estimacióncomofiable, ya que x  190está fuera del
intervalode datosque estamosconsiderando.
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºLa probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03.
Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya:
a) Alguno defectuoso.
b) Menos de dos defectuosos.
Halla la media y la desviación típica
2ºLa tensión de una determinada línea eléctrica sigue una distribución N(100, 20).
Calcula la probabilidad de que el valor de la tensión en esa línea:
a) Sea mayor que 150.
b) Esté entre 130 y 140
3º En un grupo de 100 niñosde 4 años, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(98,102).
4ºLas notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por
un grupo de seis alumnos de 1º de Bachillerato han sido las siguientes:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b)Calcula yˆ (6). ¿Es fiableesta estimación? Sabemosque r  0,98).
Soluciones
1ºLa probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03.
Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya:
a) Alguno defectuoso.
b) Menos de dos defectuosos.
Halla la media y la desviación típica
· Si llamamos x = "no de juguetes defectuosos en un lote",
se trata de una distribución binomial con n = 60; p = 0,03: B(60; 0,03)
b) px  2  px  0  px  1  0, 97
p  0,03 : B60; 0, 03
60
 60  0, 03  0, 97 59  0, 459
a) px  0  1  px  0  1  0, 97
· Hallamos la media y la desviación típica:
60
 0, 839
  np  60  0, 03  1, 8
  npq 
60  0, 03  0, 97  1, 746  1, 32
2ºLa tensión de una determinada línea eléctrica sigue una distribución N(100, 20).
Calcula la probabilidad de que el valor de la tensión en esa línea:
a) Sea mayor que 150.
b) Esté entre 130 y 140
 x  100 150  100 

  pz  2, 5  1  pz  2, 5  1  0, 9938  0, 0062
20
 20

a) px  150  p 
 130  100 x  100 140  100 


  p 1,5  z  2  pz  2  pz  1, 5 
20
20
20


b) p 130  x  140  p 
 0, 9772  0, 9332  0, 044
Soluciones
3º En un grupo de 100 niñosde 4 años, se ha calculado su peso y se han obtenidolos siguientes resultados:
¿Se ajustan estosdatosa una poblaciónde distribución normal?
Observación : Para no tenerque calcular todas las frecuencias relativasteóricas,se avisa que la
mayordiferenciacon la empíricaes la del intervalo(98,102).
La diferenciaes muy pequeña,por lo que se aceptaque el ajuste es bueno.
4ºLas notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por
un grupo de seis alumnos de 1º de Bachillerato han sido las siguientes:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b)Calcula yˆ (6). ¿Es fiableesta estimación? Sabemosque r  0,98).
40
 6, 67
6
 x2 
287, 5
 6,67 2  3, 43
6
36, 5
 6, 08
6
 xy 
263, 25
 6, 67  6, 08  3, 32
6
x
y
myx 
 xy
x
2

3, 32
 0, 97
3, 43
· Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 6,08 + 0,97 (x - 6,67) ® y = 0,97x - 0,39
b) yˆ (6)  5,43. Podemosconsiderarf iablela estimación, y aque r  0,98 y que x  6 está
dentro del intervalo de valores que estamos considerando.
Examen 2.Pendientes MACS I
1ºUna urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares.
Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento,
calcula la probabilidad de obtener número impar:
a) Alguna vez.
b) Más de 8 veces.
Halla la media y la desviación típica.
2ºLa temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad
sigue una distribución
N(68, 4).
Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad:
a) Supere los 75° F.
b) Esté entre 65° F y 70° F.
3ºLanzamos 5 chinchetas y observamos el número de ellas que caen con la punta hacia arriba.
Repetimos el experimento 350 veces y obtenemos los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
4ºEn seis modelos de automóviles "todo terreno" se han medido la potencia (en CV) y
el tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100 km/h. Los resultados se recogen en la tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
Soluciones
1ºUna urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares.
Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento,
calcula la probabilidad de obtener número impar:
a) Alguna vez.
b) Más de 8 veces.
Halla la media y la desviación típica.
· Si llamamos x = "no de impares en diez extracciones", se trata de una distribución binomial con
9 3
  0, 6: B 10; 0, 6
15 5
10
a) px  0  1  px  0  1  0, 4  0, 9999
n  10; p 
b) px  8  px  9  px  10  10  0, 6  0, 4  0, 6
9
10
 0, 046
  np  10  0, 6  6
· Hallamos la media y la desviación típica:
  npq 
10  0, 6  0, 4 
2, 4  1, 55
2ºLa temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad
sigue una distribución
N(68, 4).
Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad:
a) Supere los 75° F.
b) Esté entre 65° F y 70° F.
 x  68 75  68 

 pz  1, 75  1  pz  1, 75  1  0, 9599  0, 0401
4 
 4
a) px  75  p 
 65  68 x  68 

 p 0, 75  z  0, 5 
4
4 

b) p 65  x  70  p 
 pz  0, 5  pz  0, 75  pz  0, 5  pz  0, 75  pz  0, 5   1  pz  0, 75  
 0, 6915   1  0, 7734  0, 4649
Soluciones
3ºLanzamos 5 chinchetas y observamos el número de ellas que caen con la punta hacia arriba.
Repetimos el experimento 350 veces y obtenemos los siguientes resultados:
¿Se ajustan estos datos a una Población con distribución binomial
x
133  202  135  40  5
 1.47
350
1.47  5 p  p 
1.47
 0.29
5
 5
5!
Px  r    0.29r  0.71nr 
0.29r  0.71nr
r!5  r !
r
r  0,1,2,3,4,5
4ºEn seis modelos de automóviles "todo terreno" se han medido la potencia (en CV) y
el tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100 km/h. Los resultados se recogen en la tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula yˆ (200). ¿Es fiableesta estimación? (Sabemosque r   0,97)
x
1.007
 167, 83
6
myx 
 xy 
 xy
x

75, 8
 12, 63
6
 73, 91
 0, 058
1281, 92
12274, 7
 167, 83  12, 63  73, 91
6
x 
2
2
y 
176693
 167, 83 2  1281, 92
6
y = 12,63 - 0,058 (x - 167,83) ® y = - 0,058x + 22,36
b) yˆ (200)  10,76. Podemos considerar esta estimaciónf iable,y aque r   0,97 y que x  200 está
dentro del interv alode v aloresque estamosconsiderando.