Tema 2. Límites 1. Índice 2. ¿Qué es el Cálculo? 3. El problema del área 4. Introducción a los límites 5. Límites que no existen 6. Definición formal de límite 7. Cálculo analítico de.
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Slide 1
Tema 2. Límites
1.
Índice
2.
¿Qué es el Cálculo?
3.
El problema del área
4.
Introducción a los límites
5.
Límites que no existen
6.
Definición formal de límite
7.
Cálculo analítico de límites
8.
Continuidad en un punto
9.
Definición de continuidad
10. Discontinuidades
11. Límites laterales
12. Continuidad en un intervalo
13. Propiedades de la continuidad
14. Teorema del valor intermedio
15. Límites infinitos
16. Asíntotas verticales
17. Propiedades de los límites infinitos
18. Concepto de límite infinito
19. Definición de límites en el infinito
20. Propiedades de los límites en el infinito
21. Formas indeterminadas 0/0 , /
22. Formas indeterminadas 0. , -
23. Formas indeterminadas 1
, 0 , 00
24. Asíntotas horizontales
25. Asíntotas oblicuas
26. Ejemplo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema
Tema2.2.Límites
Límites
1
Slide 2
¿Qué es el Cálculo?
El Cálculo es la matemática de los cambios,
velocidades y aceleraciones.
Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,...
y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real.
Matemáticas previas al Cálculo
Estáticas
tasa de variación media
t=a
t=b
Describe un objeto que se mueve
con velocidad constante
Dx
Dy
Describe la pendiente de una recta
Describe el área de un réctángulo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Cálculo
Dinámico
tasa de variación instantánea en
t=c
Describe la velocidad de un objeto
que se mueve aceleradamente
dx
dy
Describe la pendiente de una curva
Describe el área bajo una curva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 2
Slide 3
El problema del área
Consideremos la región limitada por la gráfica
de la función y=f(x) , el eje x y las rectas
verticales x=a y x=b
Y=f(x)
Y=f(x)
x=a
x=b
Se puede estimar su área
usando varios rectángulos
Y=f(x)
Al hacer crecer el nºde
rectángulos la aproximación va
mejorando cada vez más
El objetivo es determinar el límite de la suma
de las áreas de los rectángulos cuando su
número crece sin tope
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 3
Slide 4
Introducción a los límites
Supongamos que necesitamos
dibujar la gráfica de la función
x3 1
f ( x)
, x 1
x 1
f (x)
3
-
2
-
(1,3)
-1
-
-
-2
-
-
Con los procedimientos usuales
para x 1 obtenemos
1
¿Qué sucede en las proximidades de x=1?
x tiende a 1 por la izquierda
x tiende a 1 por la derecha
x
0,75
09
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
1,25
f(x)
2,313
2,710
2,970
2,997
?
3,003
3,030
3,310
3,813
f(x) tiende a 3
f(x) tiende3
A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1,
y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3.
lim f ( x) 3
x 1
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Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 4
Slide 5
Límites que no existen
Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite
x
lim
x0 x
lim
x 0
1
x2
f(x)=1
f(x)=-1
1
1
f ( x) 2 100
10
x
1
1
0 x
f ( x) 2 1.000.000
1.000
x
0 x
-
-
f(x) crece o decrece sin cota
cuando x tiende a c.
x
1, x 0
x
x
1, x 0
x
-
f(x) tiende a números
diferentes según x tienda a c
por la derecha o por la
izquierda
f(x) oscila entre dos valores
fijos cuando x tiende a c.
1
lim sen
x0
x
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
2
x
sen
1
x
1
2
3
-1
2
5
1
2
7
-1
2
9
1
2
11
-1
x 0
El límite
no existe
Tema 2.
Tema 1. Preliminares
deLímites
Cálculo 5
Slide 6
Definición formal de límite
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x
tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el
límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos
lim f (x) L
x c
Sean f una función definida en un intervalo abierto
que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un
número real. La afirmación
lim f (x) L
x c
significa que para todo e 0 existe un d 0 tal que si
0 x-c d ,
entonces f ( x) L e
Si el límite de una función existe, entonces es único
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 6
Slide 7
Cálculo analítico de límites
1. Límites básicos
2. Propiedades de los límites
3. Límites de funciones polinómicas y racionales
4. Límite de una función radical
5. Límite de una función compuesta
6. Límites de funciones trigonométricas
7. Técnicas de cancelación y racionalización
8. Regla del Sandwich
9. Límites trigonométricos especiales
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 7
Slide 8
Continuidad en un punto
Una función es continua en x=c si
no hay interrupción de la gráfica
de f en c
No hay “saltos”, “agujeros” ni
“aberturas”
Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c
a
c
b
f (c) no está definida
en x=c
a
c
b
No existe límite de f (x)
en x=c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
a
c
b
El límite de f (x) en x=c existe,
pero no es igual a f (c)
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 8
Slide 9
Definición de Continuidad
Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen
las tres condiciones siguientes
f (c) está definida.
lim f(x) existe
x c
lim f(x) f(c)
x c
Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto
(a,b) si es continua en cada punto del intervalo.
Una función que es continua en toda la recta real (se llama continua en todas partes
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
,
)
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 9
Slide 10
Discontinuidades
Sea I un intervalo abierto que continene un número real c.
Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no
es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c
-
2
1
-
discontinuidades f se puede hacer continua
definiendo (o redefiniendo)
evitables
apropiadamente f (c)
x2 1
f ( x)
x 1
1
Discontinuidad evitable en x=1
discontinuidades
inevitables
f no se puede redefinir
para evitar la
discontinuidad
1
f ( x)
x
-3
-2
2
-1
1
1
-1
2
3
-2
Discontinuidad inevitable en x=1
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 10
Tema 1. Preliminares
Slide 11
Límites laterales
lim f(x) L
x tiende a c para valores
superiores a c
x c
x
Límite por la izquierda
x tiende a c para valores
inferiores a c
x
lim f(x) L
c
x c
Límite por la derecha
f ( x) x
lim x 1
2
Función parte entera
-3
-2
-1
x 0
lim x 0
1
1
-1
2
3
x 0
-2
Existencia de límite
Sean f una función y sean L y c números reales.
El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si
lim f(x) lim f(x) L
x c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
x c
Temade
2.Cálculo
Límites 11
Tema 1. Preliminares
Slide 12
Continuidad en un intervalo
Decimos que una función f es continua en un intervalo
cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y
lim f(x) f (a) y lim f(x) f (b)
x a
x b
La función es continua por la
derecha en a y continua por
la izquierda en b
[
a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
]
b
Temade
2.Cálculo
Límites 12
Tema 1. Preliminares
Slide 13
Propiedades de la continuidad
Si b es un número real y f , g son
continuas en x=c, entonces las
siguientes funciones también son
continuas
Múltiplo escalar: bf
Producto: fg
Suma y diferencia: f g
f
Cociente:
, si g(c) 0
g
Las funciones de los tipos siguientes son
continuas en sus dominios
Funciones polinómicas:
f ( x) an x n an1 x n 1 ai x i a1 x a0
p ( x)
, q ( x) 0
Funciones racionales: f ( x)
q( x)
Funciones radicales: f ( x) n x
Funciones trigonométricas:
senx, cos x, tgx, ctgx, sec x, cos ecx
Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios
Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función
compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 13
Tema 1. Preliminares
Slide 14
Teorema del valor intermedio
f(a) -
k
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y
k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe
al menos un número c en tal que f(c)=k
-
f(b) -
[
a c1 c2
c3
]
b
Útil para localizar ceros de una
función continua en un intervalo
cerrado
Si f es continua en [a,b] y f(a)
y f(b) difieren de signo, entonces
existe al menos un cero de f en
[a,b] (Teorema de Bolzano)
f ( x) x 3 2 x 1
Tiene un cero en el invervalo [0,1]
f es continua
en [0,1]
f ( 0) 0
existe c : f (c) 0
f (1) 1
(1,2)
0
(0,-1)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
(c,0)
1
Temade
2.Cálculo
Límites 14
Tema 1. Preliminares
Slide 15
Límites infinitos
3
f ( x)
x2
f decrece sin cota cuando x
tiende a 2 por la izquierda
f crece sin cota cuando x
tiende a 2 por la derecha
y
d
c
x 2
3
x2
2
lim
x 2
3
-
x2
Sea f una función definida en todo número
real de un intervalo abierto que contiene a c,
salvo, posiblemente, en el propio c.
La expresión lim f(x)
M
d
lim
x c
x
Análogamente la expresión
significa que para todo M 0 existe un d0
tal que f(x) M siempre que 0 l x-c l d.
lim f(x)
x c
significa que para todo N 0
existe un d0 tal que f(x) N siempre que 0 l x-c l d.
Para definir el límite infinito por la
izquierda, basta sustituir
0 l x-c l d por c-d x c.
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Para definir el límite infinito por la
derecha, basta sustituir
0 l x-c l d por c x c +d.
Temade
2.Cálculo
Límites 15
Tema 1. Preliminares
Slide 16
Asíntotas verticales
Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito)
cuando x tiende a c por la derecha o por la
izquierda, se dice que la recta x =c es
una asíntota vertical de la gráfica de f
Si una función f posee una
asíntota vertical en x =c ,
entonces f no es contínua en c
x2 1
f ( x) 2
x 1
1
f ( x)
2( x 1)
-1
Asíntota en x=-1
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
-1
1
Asíntotas en x=-1 , x=1
Temade
2.Cálculo
Límites 16
Tema 1. Preliminares
Slide 17
Propiedades de los límites infinitos
Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que
lim f(x) y lim g(x) L
x c
Suma o diferencia
Producto
x c
lim f(x) g(x)
x c
lim f(x)g(x) , L 0
x c
lim f(x)g(x) , L 0
x c
Cociente
g(x)
lim
0
x c f(x)
Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para
funciones cuyo límite cuando x tiende a c es -
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 17
Tema 1. Preliminares
Slide 18
Concepto de límite en el infinito
Supongamos que necesitamos
dibujar la gráfica de la función
3x 2
f ( x) 2
x 1
-
-1
-
-
f(x)
2
-
-2
x decrece sin tope
-
3
-
Gráficamente los valores de f(x)
parecen aproximarse a 3 cuando
x crece sin tope
x
3
f (x)
1
x crece sin tope
-100
-10
-1
0
1
10
100
2,999
2,97
1,5
0
1,5
2,97
2,999
f(x) se acerca a 3
lim f ( x) 3
x
Límite en -
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
3
f(x) se acerca 3
lim f ( x) 3
x
Límite en +
Temade
2.Cálculo
Límites 18
Tema 1. Preliminares
Slide 19
Definición de Límites en el infinito
Sea L un número real.
y
La expresión
x
e
e
L
M
lim f(x) L
x
significa que para todo e 0 existe un
M 0 tal que l f(x) L l e siempre
que x M
La expresión
lim f(x) L
x
significa que para todo e 0 existe un N 0
tal que l f(x) L l e siempre que x N
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 19
Tema 1. Preliminares
Slide 20
Propiedades de los límites en el infinito
Si
lim f(x) y lim g(x) existen ambos
x
x
Suma
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x
x
x
lim f(x)g(x) lim f(x)lim g(x)
Producto
x
x
x
Propiedades análogas son válidas para límites en -
Cociente
Si r es un número racional positivo y c es cualquier
c
número real, entonces
lim
x
Además, si
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
xr
r
0
x
está definida para x 0 , entonces
c
lim r 0
x x
Temade
2.Cálculo
Límites 20
Tema 1. Preliminares
Slide 21
Formas indeterminadas 00 ,
Sea p un número real, + o -
0
0
f(x) es del tipo 0
lim f(x) lim g(x) 0 lim
x p
x p
x p g(x)
0
0
no es el resultado de ningún límite
0
Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos
Es un tipo de indeterminación
Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar
puede ayudar a resolver la indeterminación
Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir
todos los términos por x elevado a la potencia más alta
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 21
Tema 1. Preliminares
Slide 22
Formas indeterminadas
0
Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo
ya que
cuando
,
0
g( x )
f g ( x ) 1
f ( x)
f 0 , g
x p
x p
Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada
a b a b a 2 b 2
ab
a b
a b
También se puede transformar en
0
1 1
a b a b
b a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 22
Tema 1. Preliminares
Slide 23
Formas indeterminadas
1
0
00
1
0 00
Para resolver la indeterminación se hace uso del número e
1
lim 1 e
x
x
Para resolver la indeterminación usualmente el límite se
transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo 0 ,
y éste, a su vez, en otro del tipo
También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 23
Tema 1. Preliminares
Slide 24
Asíntotas horizontales
La gráfica de f(x) tiende hacia la
recta y=L cuando x crece sin cota
y
La recta y = L es asíntota
horizontal de la gráfica de f si
L
y f (x)
yL
lim f(x) L o bien lim f(x) L
x
x
2x 1
f ( x)
x 1
2
Asíntota vertical
en x=-1
x
f ( x)
3x 2
2x 1
2
y
3
2
asíntota horizontal
por la derecha
-1
y=2 asíntota horizontal
y
3
2
asíntota horizontal
por la izquierda
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 24
Tema 1. Preliminares
Slide 25
Asíntotas oblícuas
y mx n
La función f(x) se va aproximando a la
asíntota oblícua cuando x tiende a
- o a +
m lim
x
x2 2x 4
f ( x)
x2
f(x)
x
n lim f ( x ) mx
x
Asíntota oblícua
y=x
2
2
Asíntota vertical
en x=2
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 25
Tema 1. Preliminares
Slide 26
Ejemplo
de aplicación de los límites
Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al
nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas.
Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese
material, el nivel de oxígeno pasa a ser
t 2 t 1
f (t )
t 2 1
¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después?
¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo?
1
0,75
0,5
0,25
l l l l
2 4 6 8
El nivel de oxígeno en el estanque
tiende al nivel normal 1 cuando t
tiende a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
12 1 1 1
f (1) 2
50% 1 semana
1 1
2
22 2 1 3
f ( 2)
60% 2 semanas
2
2 1
5
10 2 10 1 91
f (10)
90,1% 10 semanas
10 2 1
101
t2 t 1
lim f ( t ) 2
1 100%
t
t 1
Temade
2.Cálculo
Límites 26
Tema 1. Preliminares
Slide 27
Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica
Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),
Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas
para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000
Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 27
Tema 1. Preliminares
Tema 2. Límites
1.
Índice
2.
¿Qué es el Cálculo?
3.
El problema del área
4.
Introducción a los límites
5.
Límites que no existen
6.
Definición formal de límite
7.
Cálculo analítico de límites
8.
Continuidad en un punto
9.
Definición de continuidad
10. Discontinuidades
11. Límites laterales
12. Continuidad en un intervalo
13. Propiedades de la continuidad
14. Teorema del valor intermedio
15. Límites infinitos
16. Asíntotas verticales
17. Propiedades de los límites infinitos
18. Concepto de límite infinito
19. Definición de límites en el infinito
20. Propiedades de los límites en el infinito
21. Formas indeterminadas 0/0 , /
22. Formas indeterminadas 0. , -
23. Formas indeterminadas 1
, 0 , 00
24. Asíntotas horizontales
25. Asíntotas oblicuas
26. Ejemplo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema
Tema2.2.Límites
Límites
1
Slide 2
¿Qué es el Cálculo?
El Cálculo es la matemática de los cambios,
velocidades y aceleraciones.
Se estudian las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco,...
y una gran variedad de conceptos para crear modelos para las situaciones de la vida real.
Matemáticas previas al Cálculo
Estáticas
tasa de variación media
t=a
t=b
Describe un objeto que se mueve
con velocidad constante
Dx
Dy
Describe la pendiente de una recta
Describe el área de un réctángulo
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Cálculo
Dinámico
tasa de variación instantánea en
t=c
Describe la velocidad de un objeto
que se mueve aceleradamente
dx
dy
Describe la pendiente de una curva
Describe el área bajo una curva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 2
Slide 3
El problema del área
Consideremos la región limitada por la gráfica
de la función y=f(x) , el eje x y las rectas
verticales x=a y x=b
Y=f(x)
Y=f(x)
x=a
x=b
Se puede estimar su área
usando varios rectángulos
Y=f(x)
Al hacer crecer el nºde
rectángulos la aproximación va
mejorando cada vez más
El objetivo es determinar el límite de la suma
de las áreas de los rectángulos cuando su
número crece sin tope
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 3
Slide 4
Introducción a los límites
Supongamos que necesitamos
dibujar la gráfica de la función
x3 1
f ( x)
, x 1
x 1
f (x)
3
-
2
-
(1,3)
-1
-
-
-2
-
-
Con los procedimientos usuales
para x 1 obtenemos
1
¿Qué sucede en las proximidades de x=1?
x tiende a 1 por la izquierda
x tiende a 1 por la derecha
x
0,75
09
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
1,25
f(x)
2,313
2,710
2,970
2,997
?
3,003
3,030
3,310
3,813
f(x) tiende a 3
f(x) tiende3
A pesar de que x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1,
y como resultado, f(x) se acerca arbitrariamente a 3.
lim f ( x) 3
x 1
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 4
Slide 5
Límites que no existen
Comportamientos típicos asociados a la no existencia de un límite
x
lim
x0 x
lim
x 0
1
x2
f(x)=1
f(x)=-1
1
1
f ( x) 2 100
10
x
1
1
0 x
f ( x) 2 1.000.000
1.000
x
0 x
-
-
f(x) crece o decrece sin cota
cuando x tiende a c.
x
1, x 0
x
x
1, x 0
x
-
f(x) tiende a números
diferentes según x tienda a c
por la derecha o por la
izquierda
f(x) oscila entre dos valores
fijos cuando x tiende a c.
1
lim sen
x0
x
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
2
x
sen
1
x
1
2
3
-1
2
5
1
2
7
-1
2
9
1
2
11
-1
x 0
El límite
no existe
Tema 2.
Tema 1. Preliminares
deLímites
Cálculo 5
Slide 6
Definición formal de límite
Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x
tiende a c por cualquiera de sus dos lados, decimos que el
límite de f(x) cuando x tiende a c es L, y escribimos
lim f (x) L
x c
Sean f una función definida en un intervalo abierto
que contiene a c (salvo, posiblemente, en c) y L un
número real. La afirmación
lim f (x) L
x c
significa que para todo e 0 existe un d 0 tal que si
0 x-c d ,
entonces f ( x) L e
Si el límite de una función existe, entonces es único
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 6
Slide 7
Cálculo analítico de límites
1. Límites básicos
2. Propiedades de los límites
3. Límites de funciones polinómicas y racionales
4. Límite de una función radical
5. Límite de una función compuesta
6. Límites de funciones trigonométricas
7. Técnicas de cancelación y racionalización
8. Regla del Sandwich
9. Límites trigonométricos especiales
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 7
Slide 8
Continuidad en un punto
Una función es continua en x=c si
no hay interrupción de la gráfica
de f en c
No hay “saltos”, “agujeros” ni
“aberturas”
Condiciones para que el gráfico de f no sea continuo en x=c
a
c
b
f (c) no está definida
en x=c
a
c
b
No existe límite de f (x)
en x=c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
a
c
b
El límite de f (x) en x=c existe,
pero no es igual a f (c)
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 8
Slide 9
Definición de Continuidad
Decimos que una función f es continua en x=c si se satisfacen
las tres condiciones siguientes
f (c) está definida.
lim f(x) existe
x c
lim f(x) f(c)
x c
Decimos que una función f es continua en un intervalo abierto
(a,b) si es continua en cada punto del intervalo.
Una función que es continua en toda la recta real (se llama continua en todas partes
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
,
)
Tema de
2. Límites
Tema 1. Preliminares
Cálculo 9
Slide 10
Discontinuidades
Sea I un intervalo abierto que continene un número real c.
Si una función f está definida en I (salvo, posiblemente, en c) y no
es continua en c se dice que f tiene una discontinuidad en c
-
2
1
-
discontinuidades f se puede hacer continua
definiendo (o redefiniendo)
evitables
apropiadamente f (c)
x2 1
f ( x)
x 1
1
Discontinuidad evitable en x=1
discontinuidades
inevitables
f no se puede redefinir
para evitar la
discontinuidad
1
f ( x)
x
-3
-2
2
-1
1
1
-1
2
3
-2
Discontinuidad inevitable en x=1
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 10
Tema 1. Preliminares
Slide 11
Límites laterales
lim f(x) L
x tiende a c para valores
superiores a c
x c
x
Límite por la izquierda
x tiende a c para valores
inferiores a c
x
lim f(x) L
c
x c
Límite por la derecha
f ( x) x
lim x 1
2
Función parte entera
-3
-2
-1
x 0
lim x 0
1
1
-1
2
3
x 0
-2
Existencia de límite
Sean f una función y sean L y c números reales.
El límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y solo si
lim f(x) lim f(x) L
x c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
x c
Temade
2.Cálculo
Límites 11
Tema 1. Preliminares
Slide 12
Continuidad en un intervalo
Decimos que una función f es continua en un intervalo
cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b) y
lim f(x) f (a) y lim f(x) f (b)
x a
x b
La función es continua por la
derecha en a y continua por
la izquierda en b
[
a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
]
b
Temade
2.Cálculo
Límites 12
Tema 1. Preliminares
Slide 13
Propiedades de la continuidad
Si b es un número real y f , g son
continuas en x=c, entonces las
siguientes funciones también son
continuas
Múltiplo escalar: bf
Producto: fg
Suma y diferencia: f g
f
Cociente:
, si g(c) 0
g
Las funciones de los tipos siguientes son
continuas en sus dominios
Funciones polinómicas:
f ( x) an x n an1 x n 1 ai x i a1 x a0
p ( x)
, q ( x) 0
Funciones racionales: f ( x)
q( x)
Funciones radicales: f ( x) n x
Funciones trigonométricas:
senx, cos x, tgx, ctgx, sec x, cos ecx
Muchas funciones elementales son continuas en sus dominios
Si g es continua en x=c y f es continua en g(c), la función
compuesta (f o g)(x)=f(g(x)) es continua en c
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 13
Tema 1. Preliminares
Slide 14
Teorema del valor intermedio
f(a) -
k
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y
k es cualquier número entre f(a) y f(b), existe
al menos un número c en tal que f(c)=k
-
f(b) -
[
a c1 c2
c3
]
b
Útil para localizar ceros de una
función continua en un intervalo
cerrado
Si f es continua en [a,b] y f(a)
y f(b) difieren de signo, entonces
existe al menos un cero de f en
[a,b] (Teorema de Bolzano)
f ( x) x 3 2 x 1
Tiene un cero en el invervalo [0,1]
f es continua
en [0,1]
f ( 0) 0
existe c : f (c) 0
f (1) 1
(1,2)
0
(0,-1)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
(c,0)
1
Temade
2.Cálculo
Límites 14
Tema 1. Preliminares
Slide 15
Límites infinitos
3
f ( x)
x2
f decrece sin cota cuando x
tiende a 2 por la izquierda
f crece sin cota cuando x
tiende a 2 por la derecha
y
d
c
x 2
3
x2
2
lim
x 2
3
-
x2
Sea f una función definida en todo número
real de un intervalo abierto que contiene a c,
salvo, posiblemente, en el propio c.
La expresión lim f(x)
M
d
lim
x c
x
Análogamente la expresión
significa que para todo M 0 existe un d0
tal que f(x) M siempre que 0 l x-c l d.
lim f(x)
x c
significa que para todo N 0
existe un d0 tal que f(x) N siempre que 0 l x-c l d.
Para definir el límite infinito por la
izquierda, basta sustituir
0 l x-c l d por c-d x c.
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Para definir el límite infinito por la
derecha, basta sustituir
0 l x-c l d por c x c +d.
Temade
2.Cálculo
Límites 15
Tema 1. Preliminares
Slide 16
Asíntotas verticales
Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito)
cuando x tiende a c por la derecha o por la
izquierda, se dice que la recta x =c es
una asíntota vertical de la gráfica de f
Si una función f posee una
asíntota vertical en x =c ,
entonces f no es contínua en c
x2 1
f ( x) 2
x 1
1
f ( x)
2( x 1)
-1
Asíntota en x=-1
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
-1
1
Asíntotas en x=-1 , x=1
Temade
2.Cálculo
Límites 16
Tema 1. Preliminares
Slide 17
Propiedades de los límites infinitos
Sean c y L números reales, y sean f y g funciones tales que
lim f(x) y lim g(x) L
x c
Suma o diferencia
Producto
x c
lim f(x) g(x)
x c
lim f(x)g(x) , L 0
x c
lim f(x)g(x) , L 0
x c
Cociente
g(x)
lim
0
x c f(x)
Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para
funciones cuyo límite cuando x tiende a c es -
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 17
Tema 1. Preliminares
Slide 18
Concepto de límite en el infinito
Supongamos que necesitamos
dibujar la gráfica de la función
3x 2
f ( x) 2
x 1
-
-1
-
-
f(x)
2
-
-2
x decrece sin tope
-
3
-
Gráficamente los valores de f(x)
parecen aproximarse a 3 cuando
x crece sin tope
x
3
f (x)
1
x crece sin tope
-100
-10
-1
0
1
10
100
2,999
2,97
1,5
0
1,5
2,97
2,999
f(x) se acerca a 3
lim f ( x) 3
x
Límite en -
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
3
f(x) se acerca 3
lim f ( x) 3
x
Límite en +
Temade
2.Cálculo
Límites 18
Tema 1. Preliminares
Slide 19
Definición de Límites en el infinito
Sea L un número real.
y
La expresión
x
e
e
L
M
lim f(x) L
x
significa que para todo e 0 existe un
M 0 tal que l f(x) L l e siempre
que x M
La expresión
lim f(x) L
x
significa que para todo e 0 existe un N 0
tal que l f(x) L l e siempre que x N
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 19
Tema 1. Preliminares
Slide 20
Propiedades de los límites en el infinito
Si
lim f(x) y lim g(x) existen ambos
x
x
Suma
lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
x
x
x
lim f(x)g(x) lim f(x)lim g(x)
Producto
x
x
x
Propiedades análogas son válidas para límites en -
Cociente
Si r es un número racional positivo y c es cualquier
c
número real, entonces
lim
x
Además, si
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
xr
r
0
x
está definida para x 0 , entonces
c
lim r 0
x x
Temade
2.Cálculo
Límites 20
Tema 1. Preliminares
Slide 21
Formas indeterminadas 00 ,
Sea p un número real, + o -
0
0
f(x) es del tipo 0
lim f(x) lim g(x) 0 lim
x p
x p
x p g(x)
0
0
no es el resultado de ningún límite
0
Los límites de este tipo pueden tener resultados diversos
Es un tipo de indeterminación
Si f y g son polinomios, descomponer en factores y simplicar
puede ayudar a resolver la indeterminación
Para resolver la indeterminación se puede intentar dividir
todos los términos por x elevado a la potencia más alta
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 21
Tema 1. Preliminares
Slide 22
Formas indeterminadas
0
Es fácil transformar esta indeterminación en otra del tipo
ya que
cuando
,
0
g( x )
f g ( x ) 1
f ( x)
f 0 , g
x p
x p
Se puede resolver multiplicando y dividiendo por la conjugada
a b a b a 2 b 2
ab
a b
a b
También se puede transformar en
0
1 1
a b a b
b a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 22
Tema 1. Preliminares
Slide 23
Formas indeterminadas
1
0
00
1
0 00
Para resolver la indeterminación se hace uso del número e
1
lim 1 e
x
x
Para resolver la indeterminación usualmente el límite se
transforma (tomando logaritmos) en otro del tipo 0 ,
y éste, a su vez, en otro del tipo
También es habitual el uso de la Regla de L´Hôpital (Tema 3)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 23
Tema 1. Preliminares
Slide 24
Asíntotas horizontales
La gráfica de f(x) tiende hacia la
recta y=L cuando x crece sin cota
y
La recta y = L es asíntota
horizontal de la gráfica de f si
L
y f (x)
yL
lim f(x) L o bien lim f(x) L
x
x
2x 1
f ( x)
x 1
2
Asíntota vertical
en x=-1
x
f ( x)
3x 2
2x 1
2
y
3
2
asíntota horizontal
por la derecha
-1
y=2 asíntota horizontal
y
3
2
asíntota horizontal
por la izquierda
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 24
Tema 1. Preliminares
Slide 25
Asíntotas oblícuas
y mx n
La función f(x) se va aproximando a la
asíntota oblícua cuando x tiende a
- o a +
m lim
x
x2 2x 4
f ( x)
x2
f(x)
x
n lim f ( x ) mx
x
Asíntota oblícua
y=x
2
2
Asíntota vertical
en x=2
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 25
Tema 1. Preliminares
Slide 26
Ejemplo
de aplicación de los límites
Supongamos que f(t) mide el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)=1 corresponde al
nivel normal (sin polución) y el tiempo t se mide en semanas.
Cuando t =0, se vierten resíduos orgánicos en el estanque y, con la oxidación de ese
material, el nivel de oxígeno pasa a ser
t 2 t 1
f (t )
t 2 1
¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno hay en el estanque 1 semana después?
¿Y 2 semanas? ¿Y 10 semanas? ¿Y una vez transcurrido “suficiente” tiempo?
1
0,75
0,5
0,25
l l l l
2 4 6 8
El nivel de oxígeno en el estanque
tiende al nivel normal 1 cuando t
tiende a
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
12 1 1 1
f (1) 2
50% 1 semana
1 1
2
22 2 1 3
f ( 2)
60% 2 semanas
2
2 1
5
10 2 10 1 91
f (10)
90,1% 10 semanas
10 2 1
101
t2 t 1
lim f ( t ) 2
1 100%
t
t 1
Temade
2.Cálculo
Límites 26
Tema 1. Preliminares
Slide 27
Bibliografía
Cálculo y Geometría Analítica
Larson, Hostetler, Eduards. Volumen 1, 1999 (6ª edición),
Ed. McGraw-Hill
Ejercicios y problemas
Problemas de Matemáticas
para ingeniería técnica agrícola y veterinaria
Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000
Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2)
Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva
Temade
2.Cálculo
Límites 27
Tema 1. Preliminares