Transcript Problemas resueltos

Problemas resueltos del
Teorema Fundamental del
Cálculo
Propiedades básicas de las Integrales
A lo largo de todo este tema suponemos que todas las funciones son
continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. Debajo, r es un número real y
tanto f como g son funciones.
Propiedades Básicas de las Integrales
c
1
 f  x  dx  0
3
a
b
c
b
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
a
5
a
 f  x  dx    f  x  dx
2
c
b
b
a
4
c
b
b
b
a
a
a
b
b
a
a
 r f  x  dx  r  f  x  dx
  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
Estas propiedades surgen de la definición de integral como límite de una
suma de Riemann.
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Tabla de Integrales Indefinidas
1
3
4
x r 1
 x dx  r  1  C,
r  1
r
 k dx  kx  C, k 
 sen  x  dx   cos  x   C
2
5
7
6
e
8
dx
 1  x 2  arctg  x   C 10
10
x
dx  e x  C
9
ln  x   C1
x 0
dx


 x ln   x   C2 x  0

dx
De forma
 x  ln x  C
abreviada:
 cos  x  dx  sen  x   C
ax
 a dx  ln  a   C,a  0,a  1
dx
 1  x 2  arcsen  x   C
dx
 cos2 x  tgx  C
x
  a f  x   b g  x   dx  a  f  x  dx  b  g  x  dx, a, b  R
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema
Si f una función continua entonces la función
x
F  x    f t  dt
a
es una primitiva de la función f, es decir, F’(x) = f(x).
Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f
entonces
b
 f  x  dx  F  b  F  a .
a
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Problemas
1
Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica
de la función y = x3 y eje X para 0  x  2.
2
k2
Calcular el límite lim  3 , interpretándolo como el área
n 
k 1 n
n
de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área
de dicha figura.

3
Hallar las sumas de Riemann para la integral
2
 s e n  x  dx
0
con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el
extremo izquierdo, el punto medio y el extremo
derecho respectivamente..
n
4
Expresar el limite lim 
n 
k 1
n2  k 2
como una integral.
n2
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Problemas
1
5
Demostrar que 1 

1  x 2 dx  2.
0
x2
6
Sea F  x  = 
s e n t 
t
x
7
dt. Hallar F  x  .
Encontrar el error en el siguiente cálculo de
1
1
1 x 2 dx 
1
1
1
Sea f una función continua tal que
Determinar f(1).
x
9
Calcular
dx
1 x 2
x 2 1 
1
1  1 
2
x
dx





 
 2.


1

2  1  1
x  1
1  1 
x2
8
1
 s e n t  dt
lim 0
x 0

f  t  dt  e x .
2
0
2
x
3
.
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Problemas
1
Hallar, utilizando la
definición, el área
encerrada por la gráfica de
la función y = x3 y eje X
para 0  x  2.
Solución
Aproximación del área por exceso:
Evaluamos x3 en el extremo derecho del
subintervalo k .
3
3
 2k  2

 n  n.

k 1 
n
Longitud de los
subintervalos.
 2k  2 16 n 3 16  n4 n3 n2 
Suma superior =  


 n  n4  k  4 

n

k 1 
k 1
n  4
2
4
8 4
 4.
 4   2 
n
Respuesta El área es 4.
n n
n
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Problemas
k2
Calcular el límite lim  3 , interpretándolo como el área
n 
k 1 n
n
2
de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área
de dicha figura.
Solución
Debemos relacionar la suma dada con una suma
aproximada del área encerrada por la gráfica de una
función.
2
n
k2
k  1
Se observa que:  3     .
k 1 n
k 1  n  n
De esta manera resulta obvio que la suma
aproxima el área encerrada por la gráfica de
x2 para 0  x  1.
n
Dicha área ya la hemos calculado y da como
n
resultado 1/3.
k2 1
Respuesta
lim  3  .
n 
3
k 1 n
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Sumas de Riemann
3
Hallar las sumas de Riemann para la integral

2
 s e n  x  dx
0
con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el extremo
izquierdo, el punto medio y el extremo derecho respectivamente..
Solución
Los puntos de división son: {0,/10,(2)/10,(3)/10,(4)/10, /2}.

   
 2  
 3  
 4  
Izq 5  s e n 0 
 s en

s
e
n

s
e
n

s
e
n

 10  10
 10  10
 10  10
10
 10  10






 0.8347
   
 2  
 3  
 4  
  
Der 5  s e n 

s
e
n

s
e
n

s
e
n

s
e
n

 10  10
 10  10
 10  10
 2  10
 10  10






 
 1.1488
   
 3  
 5  
 7  
 9  
M ed 5  s e n 

s
e
n

s
e
n

s
e
n

s
e
n

 20  10
 20  10
 20  10
 20  10
 20  10








 1.0041
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Sumas de Riemann

Aproximar la integral
3
2
 s e n  x  dx.
0
Comentarios sobre la solución
Izq(5)0.8347
Med(5)1.0041
Der(5)1.1488
La función sen(x) es creciente en el intervalo de integración. Por lo tanto la suma
que obtiene tomando el extremo inferior de cada subintervalo, aproxima la
integral por defecto y la suma que se obtiene tomando el extremo superior ,
aproxima la integral por exceso. La suma obtenida tomando el punto central
devuelve la mejor aproximación, ya que el valor exacto de la integral es 1, que
es fácil de calcular gracias al Teorema Fundamental del Cálculo.
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Sumas de Riemann
n2  k 2
como una integral.
2
n
n
4
Expresar el limite lim 
n 
k 1
Solución
La suma en cuestión a simple vista no parece una suma de Riemann, ya que
los sumandos no son de la forma
(valor de la función)×(longitud del subintervalo). Hace falta modificarla.
n

k 1
n2  k 2
n2
Ahora tenemos la
longitud del
subintervalo.

n

k 1
n

k 1
n2  k 2  1 



n
n
2
k  1
1   
 n n
n

k 1
n2  k 2  1 
n
n2
 
1
2


1

x
dx
n

0
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Sumas de Riemann
n
Expresar el limite lim 
4
n 
Solución
n
lim 
n 
k 1
k 1
n2  k 2
como una integral.
2
n
La conclusión anterior fue que
n2  k 2

2
n
1

1  x 2 dx.
0
Hallar el valor de esta integral utilizando el
Teorema Fundamental del Cálculo es bastante
complicado.
Una manera mas facil de hallar dicho valor es observar que la grafica
de la funcion 1  x 2 es la mitad superior de una circunferencia de radio 1.
Por lo tanto el valor de la integral es el
área pintada en azul.
n
lim 
n 
k 1
n2  k 2

n2
1

1  x 2 dx 
0
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos

4
Estimación de integrales
1
5
Demostrar que 1 

1  x 2 dx  2.
0
Solución
La integral en cuestión encierra el
área de la región situada entre la
curva roja y el eje X.
Observar que para 0  x  1,1  1  x2  2.
Por lo tanto el área encerrada por debajo de la
recta azul y=1 es un valor inferior al propio valor
de la integral.
1
Es decir 1 

0
1  x 2 dx.
La desigualdad
1

1  x 2 dx  2 se deduce del hecho de que la
0
región bajo la curva roja (gráfica de la función) esta contenida
en el rectangulo situado por debajo de la recta verde y  2.
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Uso del Teorema Fundamental del
Cálculo
s e n t 
x2
Sea F  x  = 
6
t
x
dt. Hallar F  x  .
La función F está definida mediante una integral cuyos límites
de integración dependen de x. Esto significa que debemos
modificarla para poder aplicar el Teorema Fundamental del
Cálculo.
x2
2
s e n t 
x
x
s e n t 
s e n t 
La funcion G  x   
dt es
F x  
dt  
dt
t
0
t
t
0
0
una funcion compuesta U  V  x   donde
Regla
Mediante
v
s e n t 
de la
U v   
dt y V  x   x 2.
TFC
cadena
t
0
Solución
F  x   U  V  x   V  x  
s enx
x

  2x   s e n  x   2 s e n  x   s e n  x  .
x
x
x
s e n x2
2
2
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Uso del Teorema Fundamental del
Cálculo
dx
7
Encontrar el error en el siguiente cálculo de
1
1
1 x 2 dx 
1
1

1
1
x2
1
x 2 1 
1
1  1 
2
x
dx





 
 2.


1

2  1  1
x  1
1  1 
Solución
Este resultado no puede ser correcto ya que la función
a integrar es positiva y en consecuencia el valor de la
integral debería ser también positivo.
Respuesta
La gráfica de la función f(x)= 1/x2 puede verse en la figura de
arriba. Podemos observar que f(x) no es continua en x=0, por
lo que no la podremos hallar la integral empleando el TFC.
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Uso del Teorema Fundamental del
Cálculo
8
Sea f una función continua tal que
Determinar f(1).
Solución
x2

f  t  dt  e x .
2
0
Hay que derivar la ecuación dada para obtener la
expresión de la función f.
Sea G  x  
x2
 f t  dt. La función
G  x  es una función compuesta
0
v
U  V  x   con U v    f t  dt y V  x   x 2.
Por tanto:
 
G  x   U  V  x   V  x   f x 2 2 x
Por otro lado:
Conclusión
0
Usando TFC y
la Regla de la
Cadena.
G  x   e x . Por lo tanto G  x   2 x e  x .
2
 
2
2
 
2x f x 2  2x e x  f x 2   e x
2
y f 1   e1 .
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Uso del Teorema Fundamental del
Cálculo
 s e n t  dt
x
9
lim 0
Calcular
Solución
2
.
x3
x 0
Utilizando la regla de L’Hopital:
x
 
x
 


D   s e n  t  dt   s e n  x  .
 s e n t 
lim 0
x 0
Por el TFC:
x

2
D
s
e
n
t
dt
dt


.
 lim  0
x 0
D x3
2
3
x
2
0
Conclusión
x
 s e n t  dt
lim 0
x 0

2
x
3
2
 lim
x 0
Utilizamos el
hecho de que
s e n
lim
 1.
 0

   1 lim s e n  x   1 .
s e n x2
3x 2
2
3 x 0
x2
3
Integración/Nociones básicas/Teorema fundamental del cálculo/Problemas resueltos
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa