Transcript Riemann Sums

Sumas de Riemann e
Integrales Definidas
Partición de un intervalo.
Sumas de Riemann.
Integrales Definidas
Integración Numérica.
Partición de un intervalo
Definición
Sea D=(x0,x1,…,xn) una conjunto de puntos de un intervalo cerrado
I = [a,b] con a = x0 < x1 < …< xn-1 < xn = b. Entonces D es una
partición del intervalo [a,b] en subintervalos Ik=[xk-1,xk].
Dada una partición D=(x0,x1,…,xn), sea
|D| = max{|xk-xk-1|,k=1,…,n}.
|D| es la longitud del mayor subintervalo Ik de la partición D.
|D|
a = x0
x1
x2
xn-1 xn =b
Integración/Nociones básicas/Sumas de Riemann e integrales definidas
Sumas de Riemann
Definición
Sea f un función definida en el intervalo a, b  , y D   x0 , ,xn  una
partición del intervalo a, b  en subintervalos Ik   xk 1, xk  .
Sea  k  Ik k  1, , n y xk  xk  xk -1.La suma
n
SD   f  k  xk
k 1
es una Suma de Riemann asociada a la descomposición D.
Observación
La Suma de Riemann SD evidentemente depende
de los puntos  k  Ik elegidos.
Integración/Nociones básicas/Sumas de Riemann e integrales definidas
Funciones Integrables
Definición
Una función f, definida en a, b  , es integrable si el límite
n
lim SD  lim  f  k  xk
D 0
D 0
k 1
existe, es decir, no depende de la elección de los puntos
 k  Ik . El valor de dicho límite es la integral de f en el
intervalo
Notación
Teorema
a, b.
n
b
k 1
a
lim SD  lim  f  k  xk   f  x  dx
D 0
D 0
Toda función contínua en un intervalo cerrado [a,b] es
integrable.
Integración/Nociones básicas/Sumas de Riemann e integrales definidas
Integración Numérica
La defunción de la integral como un límite de sumas de Riemann
nos permite aproximar numéricamente integrales definidas de
funciones integrables f . Podemos elegir como queramos los puntos
ζk donde la función f ha de ser evaluada. Dependiendo de nuestra
selección obtendremos distintas aproximaciones.
Definición
Tenemos las siguientes aproximaciones para la integral.
n
1. Aproximación por la derecha:
 f  x  x .
k 1
n
2. Aproximación por la izquierda:
k
k
 f  x  x .
k 1
k 1
k
3. Aproximación por el punto medio:
 xk 1  xk 
f
xk .



2

k 1 
n
Integración/Nociones básicas/Sumas de Riemann e integrales definidas
Integración Numérica
1. Aproximación por la derecha:
n
 f  x  x .
k 1
k
k
n
2. Aproximación por la izquierda:
3. Aproximación por el punto medio:
 xk 1  xk 
f
xk .



2

k 1 
n
Integración/Nociones básicas/Sumas de Riemann e integrales definidas
 f  x  x .
k 1
k 1
k
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa