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Historia de las
Matemáticas
Georg Cantor Georg Riemann
Bibliografía
Georg Cantor
Biografía
Aportes
Test
Imágenes
Biografía
Nació en San Petersburgo el 3 de marzo de 1845 en el seno de una
familia judía. Su padre fue el comerciante Georg Waldemar Cantor y su
madre María Bohm. Su padre había nacido en Copenhague, Dinamarca, pero
emigró siendo joven al lugar donde nacería su hijo en 1845. Una enfermedad
pulmonar provocó que el padre se trasladara en 1856 a Fráncfort, Alemania.
Todos estos eventos provocaron que distintas patrias reclamaran como hijo a
Georg Cantor.
La educación primaria de Georg Cantor fue confiada a un profesor
particular y después siguió un curso en la escuela elemental de San
Petersburgo. Cuando la familia se mudó a Alemania, Cantor asistió a
escuelas privadas de Fráncfort y Damnstandt primero, pero luego ingresó al
Instituto de Wiesbaden, a sus 15 años.
Los estudios universitarios de Georg Cantor iniciaron en Zúrich, en 1862.
Pero pasó a la Universidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte
de su padre. En Berlín se especializó en matemáticas, filosofía y física.
El interés de joven recayó en las dos primeras. Tuvo como profesores
en el campo de matemáticas a Ernst Kummer, Karl Weierstrass y
Leopold Kronecker.
A los 27 años dio clase en la Universidad de Halle. A partir de 1872
fue catedrático.
Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su
trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante en el
raciocinio lógico.
Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, en Halle, Alemania el 6
de enero de 1918, a los 73 años de edad, aquejado de una enfermedad
maníaco-depresiva (Trastorno Bipolar) provocada por sus intentos de
comprobar matemáticamente la Hipótesis del continuo.
Aportes
* Inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es
la base de las matemáticas modernas, apareció en 1874.
* Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos
infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo
la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales), fue
considerado por su maestro Kronecker como locura matemática.
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el
mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de
los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el
conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es:
existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los
otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen
correspondencia en el mundo real, asimilado al espacio vectorial R³.
* Trató durante muchos años de probar la hipótesis
que se sabe hoy que es imposible, y que tiene que
rehusada) como axioma adicional de la teoría. El
negará este axioma, entre otras cosas, desarrollando
matemática alternativa a la matemática moderna.
del continuo, lo
ser aceptada (o
constructivismo
toda una teoría
* Empezó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por
la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el
tema.
* El conjunto de Cantor aparece en 1883, es un destacado subconjunto
fractal del intervalo real [0, 1], que admite dos definiciones
equivalentes:
-La definición numérica: es el conjunto de todos los puntos del
intervalo real [0,1] que admiten una expresión en base 3 que no utilice
el dígito 1.
-La definición geométrica, de carácter recursivo, que elimina en cada
paso el segmento abierto correspondiente al tercio central de cada
intervalo.
Además de una curiosidad matemática, contradice una intuición
relativa al tamaño de objetos geométricos: es un conjunto de medida
nula, pero no es vacío ni numerable. Lo que Cantor no sabía era que
este conjunto ya había sido descubierto en 1875 por Henry John
Stephen Smith (1826-1883). Pero como Smith falleció y su
descubrimiento era prácticamente desconocido, fue Cantor el que
quedo asociado a este conjunto.
* Sus primeros trabajos con las series de Joseph Fourier lo llevaron al
desarrollo de una teoría de números irracionales.
Teoría de Conjuntos
Es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El
primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático
alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard
Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una
"agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así,
se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o
del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una
mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado
elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos
azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede
saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien
definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si
es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona
es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un
conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad.
Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema
ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó
Cantor.
“Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos
bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento”.
Georg Cantor.
Test
1) Cantor murió de:
a. Tuberculosis
b. Enfermedad maníaco-depresiva
c. Epilepsia
2) La base de las Matemáticas Modernas es la teoría de:
a. Los números
racionales
b. Los números
irracionales
c. Conjuntos
3) Cantor escribió temas religiosos cuando empezó a interpretar:
a. El infinito absoluto
b. La teoría de
conjuntos
c. El
constructivismo
4) Cantor es nativo de:
a. Francia
b. España
c. Alemania
¡Correcto!
Imágenes
A sus 25 años.
Con su pareja
Georg Riemann
Biografía
Aportes
Test
Imágenes
Biografía
Georg Friedrich Bernhard Riemann el 17 de septiembre de 1826
nació en Breselenz, una aldea cercana a Dannenberg en el Reino de
Hanóver, actualmente parte de Alemania. Su padre Friedrich
Bernhard Riemann era pastor luterano en Breselenz y había luchado
en las guerras napoleónicas. Bernhard era el segundo de seis niños,
su frágil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos
fueron debidos a la subalimentación en su juventud. Su madre
también murió antes de que sus hijos crecieran.
En 1840 Bernhard fue a Hanóver a vivir con su abuela y a visitar
el Lyceum. Después de la muerte de su abuela en 1842 entró al
Johanneum Lüneburg. Desde pequeño demostró una fabulosa
capacidad para el cálculo unido a una timidez casi enfermiza.
Durante sus estudios de secundaria aprendía tan rápido que enseguida
adelantaba a todos sus profesores.
En 1846, a la edad de 19, comenzó a estudiar filología y teología
en la Universidad de Göttingen, su idea era complacer a su padre y
poder ayudar a su familia haciéndose pastor. Atendió a conferencias
de Gauss sobre el Método de mínimos cuadrados. En 1847 su padre
reunió el dinero suficiente para que comenzara a estudiar
matemáticas.
En 1847 se trasladó a Berlín, donde enseñaban Jacobi, Dirichlet y
Steiner. En 1848 estallaron manifestaciones y movimientos obreros
por toda Alemania, Riemann fue reclutado por las milicias de
estudiantes, incluso ayudó a proteger al rey en su palacio de Berlín.
Permaneció allí por dos años y volvió a Göttingen en 1849.
Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales
fundó el campo de la geometría de Riemann. Lo promovieron a
profesor extraordinario en la universidad de Göttingen en 1857 y se
hizo profesor ordinario en 1859.
En 1862 se casó con Elise Koch.
Murió de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.
Aportes
* En 1859 formuló por primera vez la hipótesis de Riemann el
cual es, por su relación con la distribución de los números primos
en el conjunto de los naturales, uno de los problemas abiertos más
importantes en la matemática contemporánea.
Se ha ofrecido un premio de un millón de dólares por el Instituto
Clay de Matemáticas para la primera persona que desarrolle una
demostración correcta de la conjetura. La mayoría de la comunidad
matemática piensa que la conjetura es cierta, aunque otros grandes
matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se mostraron
escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo
desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un
análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de
funciones (la clase de Selberg).
* Realizó contribuciones muy importantes en análisis y
geometría diferencial.
*
La integral de Riemann: es una forma simple de definir la
integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva
de la función.
Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b],
tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva).
Sea Sf={(x, y)|0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva
correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas
verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el
área del dominio S, si es que se puede medir.
* Las variedades de Riemann: es una variedad diferenciable real en
la que cada espacio tangente se equipa con un producto interior de
manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se
definan varias nociones métricas como longitud de curvas, ángulos,
áreas (o volúmenes), curvatura, gradiente de funciones y divergencia
de campos vectoriales.
* Superficie de Riemann: es una variedad compleja de dimensión
(compleja) uno. Consecuentemente, la variedad real subyacente será de
dimensión 2. Una variedad real de dimensión 2 puede convertirse en una
superficie de Riemann (frecuentemente de varios modos no equivalentes) si
y sólo sí es orientable. De este modo, la esfera y el toro admitirán
estructuras complejas, pero la banda de Möbius, la botella de Klein y el
plano proyectivo real no.
* La geometría de Riemann: es el estudio de las variedades diferenciales
con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la
variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio
tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas
locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen.
A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las
magnitudes locales.
Fue propuesta por primera vez de forma general en el siglo XIX.
* La función zeta de Riemann: es una función que tiene una importancia
significativa en la teoría de números, por su relación con la distribución
de los números primos. También tiene aplicaciones en otras áreas tales
como la física, la teoría de probabilidades y estadística aplicada.
* Disertación sobre la teoría general de funciones de variable compleja,
basada en las hoy llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann. En ella
inventó el instrumento de la superficie de Riemann.
Test
1) El padre de Georg Riemann luchó en:
a. Las guerras napoleónicas
b. La primera
guerra mundial
c. La segunda
guerra mundial
2) Uno de los más famosos e importantes problemas sin resolver de
las matemáticas es:
a. La superficie de
Riemann
b. La hipótesis de
Riemann
c. Función Zeta de
Riemann.
3) La geometría de Riemann fue propuesta por primera vez en el
siglo:
a. XX
b. XVIII
c. XIX
¡Correcto!
Imágenes
Bibliografía
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann
http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Riemann
Realizado por:
Génessis Paredes García.