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LA INTEGRAL DEFINIDA
VBV
1
 Derivada  Recta tangente
 Integral  Área
 Entendemos:
 Área de una función f : región comprendida entre
la función y el eje X, entre dos líneas verticales.
2
Pensemos en como obtener el
área bajo la función f
f(x)
Sabemos calcular el área de
polígonos…
3
Podríamos …
f(x)
x0
x1
x2
x3
x4
x
Nosotros construiremos
rectangulos!!!
4
En realidad…
 Este es un problema muy
antiguo (Arquimedes se
plantea esto, pero son
Newton y Leibniz los que
lo resuelven).
 Idea: Construir
rectangulos “bajo” la
curva f(x), encontrar el
área de todos estos
rectangulos.
5
Sea [a,b] un intervalo
cerrado.
 Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos
no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos
entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma
que:
x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn
 Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de
[a,b]
6
Denotemos por Δxi la longitud de
cada sub-intervalo tal que:
Δx1 = x1 – x0
Δx2 = x2 – x1
…
Δxi = xi – xi-1
…
Δxn-1 = xn-1 – xn-2
Δxn = xn – xn-1
Notar que Δxi corresponderá a la
base de cada rectangulo.
7
 A la longitud del sub-intervalo (o sub-
intervalos) más largo de la partición P se
llama norma de la partición y se le
denota ||P||.
 Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}
8
Ejemplo:
 Considerar el intervalo [1,3] y construir una
partición donde n=4.
9
Pensar en una partición para
[a,b]




Geométrica:
a, ar, ar2,… arm, donde r0
Aritmética:
a, a+d, a+2d, … a+md
10
PARTICIÓN GEOMÉTRICA
 Se define r como la raíz n-ésima del
cuociente: b/a
 Se tiene: xi= x0*rn
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi NO es constante .
11
PARTICIÓN ARITMÉTICA
 Se define d=(b-a)/n
 Se tiene: xi= x0+id
 Notar que en esta partición la amplitud de
cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.
 Por esto, denotamos Δx=d.
12
Pensemos en la altura de
cada rectángulo…
 Sea f : [a,b] 




una función acotada
P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b]
Para i = 1, . . . ,n denotamos:
mi = inf { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
Mi = sup { f (x) : x  [xi-1 , xi ] }
 Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el
conjunto { f (x) : x  [xi-1 , xi ] } es no vacío y
acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.
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DEF:
SUMA INFERIOR de f asociada a P
f
n
s ( f , P)   m i Δx i
i 1
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
14
DEF:
SUMA SUPERIOR de f asociada a P
f
n
S ( f , P)   M i Δx i
i 1
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
15
Ejemplo:
 Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3],
para la función f(x)=x2+2
 Usando una partición con n=4.
16
Proposición:
 Para cada partición, se verifica:
s(f,P) ≤ S(f,P)
 Dem:
mi ≤ Mi  mi Δxi ≤ Mi Δxi
  mi Δxi ≤  Mi Δxi
 s(f,P) ≤ S(f,P)
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Proposición:
 P1 P2  s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)
 Dem:
Pensar en agregar puntos (de a uno a la
partición P1).
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Corolario:
 Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de
[a,b]. Entonces:
 m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)
 Además, si P= P1  P2 , entonces:
 s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)
19
DEF:
INTEGRAL INFERIOR de f en
[a,b]
b
 f ( x)dx  sup{s(f , P) : P particiones de [a, b]}
a
20
DEF:
INTEGRAL SUPERIOR de f en
[a,b]
b
 f ( x)dx  inf{S(f , P) : P particiones [a, b]}
a
21
OBS:
b

a
b
f ( x)dx   f ( x)dx
b
f ( x ) dx
a
a
22
DEF:
 f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:
b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
 Se escribe:
b
 f ( x)dx
a
23
Pensar en…
 Alguna función que NO sea Riemann
integrable.
24
Ejemplo:
 Calcular la integral de Riemann para f(x)=x en
[a,b].
 Considerando las particiones aritméticas:
 Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n}
 Se tiene que:
b 2  a 2 (b  a ) 2
s ( f , Pn ) 

2
2n
b a
(b  a )
S ( f , Pn ) 

2
2n
2
2
2
25
Pensar…
 ¿qué debe suceder para que …
b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
??????
26
Teorema
 Si la norma de la partición Pn se aproxime a
cero, la suma inferior y superior coinciden.
 Esto es
lim s ( f , Pn )  lim S ( f , Pn )
|| Pn ||0
|| Pn ||0
 Notar que es equivalente a decir:
lim s ( f , Pn )  lim S ( f , Pn )
|n  
|n  
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OBS:
 Si hacemos que la norma de la partición Pn se
aproxime a cero.
 Entonces, la suma de Riemann se aproximará a
un valor A que corresponde a la suma algebraica
de las áreas comprendidas entre la gráfica de la
función y=f(x) y el eje x desde a hasta b.
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Veamos esto geometricamente…
n = 3 rectángulos
n = 6 rectángulos
n = 12 rectángulos
n = 24 rectángulos
n = 48 rectángulos
n = 99 rectángulos
Interpretación …
La integral definida plantea el límite de una
suma de áreas.
b
Área   f ( x ) dx
a
Teorema
 Considere una sucesión de particiones Pn de
un intervalo [a,b] tales que:
lim || Pn || 0
n 
 y,
lim{S ( f , Pn)  s ( f , Pn)}  0
n 
 Entonces, f es Riemann integrable,
b
lim S ( f , Pn)  lim s ( f , Pn)   f ( x)dx
n 
n 
a
36
Ejercicios:
1. Construir 10 sub-intervalos para [0,1]
usando la partición:
2. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del
intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo
largo. Encontrar las sumas de riemann.
37
Definición:
 Sea f : [a,b]  una función acotada
 P una partición de [a,b]
 Una SUMA DE RIEMANN para la función f
respecto a la partición P es una suma finita de
la forma:
n
S ( f , P,  i )   f ( i )Δx i ; i  [ xi 1 , xi ]
i 1
38
En la grafica hemos considerado el
punto medio de cada sub-intervalo.
f
a=x0
x1
x2
…
xn-1
b=xn
39
Otra grafica…
y
•
•
•
•
•
w2
w1
x0=a• x1 • x2
Δ1x
y = f(x)
Δ2x
•0
…
wi
•x• x
i-1
i
Δix …
•
• •
•
•
•
•
•
wn-1 wn
• x • x =b
n
n-1
Δn-1x Δnx
x
Ejemplo:
 Calcular la suma de riemann en el intervalo
[1,3], para la función f(x)=x2+2
 Usando una partición con n=4.
41
OBS:
 Cuando la función considerada es continua la
suma superior e inferior corresponde a la
suma de Riemann.
 Escribimos:
lim S ( f , P,  i )  L
n 
 Para denotar que:
  0,   0, t.q. || P ||  | S ( f , P,  i )  L | 
42
Propiedades:
 Sean f,g : [a,b] 
 Se cumple:
acotadas e integrables.
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx  f ( x)dx   g ( x)dx
b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx
43
b
b
a
a
 f ( x)dx   f ( x)dx,   R
b
f ( x)  0   f ( x)dx  0
a
b
b
a
a
f ( x)  g ( x), x  [a, b]   f ( x)dx   g ( x)dx
 Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.
b

a
b
f ( x)dx   | f ( x) | dx
a
44
Proposición(Aditividad):
 Si f : [a,b] 
es acotada e integrable, y para
todo c  [a , b] .
 Se cumple:
 f es integrable en los intervalos [a , c ] y [c , b].
 Además se verifica el reciproco.
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx
45
Ejercicio
Sea f una función continua en 1, 5, si:

3
1
f ( x) dx  4

y
5
1
f ( x) dx  7
Determine el valor de:

5
3
f ( x) dx
Definición:
 Sea f : [a,b] 
 Definimos:
acotada e integrable.
a
 f ( x)dx 0
a
b

a
a
f ( x)dx    f ( x)dx
b
47
Teorema:
 S f : [a,b] 
es monótona entonces f es
integrable.
48
Observación
 Muchas de las funciones con las cuales se
trabaja en cálculo son monótonas por
intervalos.
 Por la propiedad de aditividad y este teorema
podemos argumentar la integrabilidad de
prácticamente todas las funciones
 elementales como por ejemplo ex ,
lnx,arctanx,etc.
49
Teorema:
 S f : [a,b] 
es continua entonces f es
integrable.
50
Teorema:
 Si f : [a,b] 
es continua en [a , b] excepto
en x0 , x1 , x2 , …, xn
 Entonces, f es integrable en [a,b].
 Además, se verifica:
b
xo
x1
b
a
a
xo
xn
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  ...   f ( x)dx
51
Definición:
 Sea f : [a,b]  integrable .
 se define el VALOR PROMEDIO de f en [a,b]
por:
b
1
AV ( f ) 
f ( x)dx

ba a
52
Teorema:
 Sea f : [a,b] 
continua.
 Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) = AV(f).
53
Ejercicios
4
(

2
)
dx

[ x]
 Calcular:
0
b
e
dx

e

e

 Dem.
x
b
a
a
 ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de
b
 (x  x
2
) dx
a
54

Justificando su respuesta, responda lo siguiente:
¿Será correcto afirmar que:
1
a)
1
1
1
1
2
1 ( x  1) 2 dx  20 ( x  1) 2 dx   ( x  1)
0
b)
3
40
(
1

x

4
)
dx

?
2
3
2
Determine el valor de “

k
1
”k tal que:
(3x  2 x) dx  2
2

Se muestra al grafica de f . Usando
fórmulas geométricas.
f

Evaluar y calcular el área representada por la

integral.



9
3
9
3
f ( x) dx
f ( x) dx
 Sea:
-1  x  1
1 x  2
x - 2 ;
f ( x)  
1  2 x;
 Calcular
2

1
f x dx