Valor promedio de una función Trabajo Otras aplicaciones de la integral definida Valor promedio de una función A menudo nos encontramos con el problema de.
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
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Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
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i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
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Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
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( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 6
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 7
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 11
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 12
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 2
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 3
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 4
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 5
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 8
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 9
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
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Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf
Slide 12
Valor promedio de una función
Trabajo
Otras aplicaciones de la integral
definida
Valor promedio de una función
A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor
promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número
finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad
de ellos y listo.
Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función
continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no
tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta
nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de
amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún
punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos
por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el
promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.
n
f prom
*
f ( xi )
i 1
n
Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y
lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente.
n
f prom
n
*
i
f (x )
i 1
n
n
*
i
f (x )
i 1
ba
f ( xi ) x
*
i 1
ba
x
Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando
n tiende a infinito:
n
f prom lím
n
definición
de integral
f ( x )x
*
i
i 1
ba
1
ba
n
lím
n
i 1
f ( x )x
*
i
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Definición
Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo
[a;b] a la integral:
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
Ejemplo 1
Determinar el valor promedio de la
función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].
f prom
1
ba
b
a
f ( x ) dx
1
1 0
1
1
0
x 1
2
dx tan
1
1
x
0
4
Teorema (del valor medio
para integrales)
Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un
punto c en [a;b] para el cual se verifica:
f ( c ) f prom
1
ba
b
f ( x ) dx
a
O, lo que es lo mismo:
b
a
f ( x ) dx f ( c )( b a )
Ejemplo 2
Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro
primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un
punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor
promedio. En efecto:
f prom
f ( x)
1
ba
4
b
f ( x ) dx
a
1
x 1
2
1
1 0
1
4
Luego
c
4
1 0 , 523 [ 0 ;1]
1
1
0
4
x 1
2
dx tan
( x 1) x
2
1
1
x
0
4
4
1
Trabajo de una fuerza variable
En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante
de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d
(pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define:
W = Fxd = Fx (xf - x0)
Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de
movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal
caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para
hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n
subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor
del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo
multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los
valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el
trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.
n
W
F
i 1
( xi ) x
*
x
El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de
subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se
tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese
subintervalo. Tendremos así:
definición
de integral
n
W lím
n
i 1
Fx ( x ) x
*
i
xf
x0
F x ( x ) dx
Ejemplo
La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión
ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una
temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica.
Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un
cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe
efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta
una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un
fluido sobre un área A es PA.
x0
xf
Solución
Si x es la distancia medida desde el fondo del
cilindro en un momento dado, podemos obtener
el volumen en ese instante, y aplicando la ley de
los gases ideales despejar la presión:
nRT
4
P
D 2
nRT
PV nRT P
x
V
4
V xA x
D
2
La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el
pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:
D 2
F F g PA
D 2 4
x
4
nRT
nRT
x
x
Solución (cont.)
Ya tenemos la fuerza en función de la posición.
Para hallar el trabajo tendremos que integrar,
entonces, entre la posición inicial y la final:
W
xf
x0
F ( x ) dx
xf
x0
nRT
x
dx nRT ln x
xf
x0
nRT (ln x f ln x 0 )
x0
xf