PROFESOR: Ing. WILLIAM ACOSTA ACOSTA [email protected] Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q)Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;3 ;2;....} Números.
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Transcript PROFESOR: Ing. WILLIAM ACOSTA ACOSTA [email protected] Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q)Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;3 ;2;....} Números.
PROFESOR:
Ing. WILLIAM ACOSTA ACOSTA
[email protected]
Números Naturales ( N )
N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z )
Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
1
Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;
2
5
2
4
3
;2;....}
Números Irracionales ( I )
I={...; 2; 3; ;....}
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....}
Números Complejos ( C )
1
C={...;-2; 2;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....}
C
R
Z
N
Q
I
P={3}
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3}
conjuntos:
A ) P x N/ x2 9 0
F={}
B ) Q x Z / x 9 0
C ) F x R / x2 9 0
2
E ) B x I /(3x 4)(x
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
2) 0
4
T
3
B
2
Sistemas de los números Reales
1) Asociatividad: para todo a, b y c en R
a+(b+c)=(a+b)+c y a (bc) = (ab) c
2) Conmutatividad: para todo a y b en R
a+b=b+a y ab = ba
3) Elementos neutros: a distinto de 0 y 1 tales que, a en R
a+0=a y a*1=a
4) Distributividad: para todo a, b y c en R
a (b+c) = ab + ac
Algunas consecuencias
1) Para todo a, b y c en R
a+b=a+c entonces b=c
2) Para todo a, b y c en R
ab=ac y a≠0 entonces b=c
3) Sustracción: Si a y b son números reales
a-b=a+(-b)
4) División: Si a y b son números reales y si b≠0
a
a b 1
b
Orden en R
Los números reales pueden ser positivo, negativo o igual a cero.
Además está ordenado a través de ser “menor que” denotada por < ;
y definida a continuación:
a<b sí y sólo sí b-a>0
Para dos números reales a y b,
Propiedades asociadas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Tricotomía : a<b ó a=b ó a>b
Transitividad : Si a<b y b<c entonces a<c
Si a<0 y b<0 entonces a+b<0
Si a<b sí y sólo sí a+c<b+c
Si a<b y c<d entonces a+c<b+d
Si a>0 y b>0 entonces a+b>0
Si c>0, a<b sí y sólo sí ac< bc
c<0, a<b si y solo si ac>bc
La recta Real
La recta real es la representación geométrica del conjunto R
Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:
a) Intervalo finito o acotado:
a , b x / a x b
a
b
a , b x / a x b
a
b
a , b x / a x b
a
b
a , b
a
b
x / a x b
b) Intervalo infinito o no acotado:
a , x / x a
a
a ,
x / x a
a
, a x / x a
a
, a x / x a
a
, x / x
UNION
A B x / x A x B
U
B
A
A B x / x A x B
INTERSECCION
U
B
A
DIFERENCIA:
A B x / x A x B
U
B
A
DIFERENCIA :
SIMETRICA
A
AB x / x (A B) x (B A)
AB (A B) (A B)
B
Simbólicamente:
A ' x / x U x A
A’ = U - A
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
U
y
A
2
6
1
3
5
A ={1;3; 5; 7; 9}
8
7
A’={2;4;6,8}
9
4
1.
Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ;
C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado
de las siguientes operaciones:
a) A U D
b)
AC
d) A B C
c) B – C
SOL
a)
AUD =D
-4
b) A C 1,3
-3
-3
5
3
-1
3
4
c) B – C 3, 1
-3
d)
A B C
-1
3
3,3
-3
-1
3
4
4
2.
A 1,4 ; B 3,7 ; C 2,6
Sean los intervalos
determinar si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones
a)
b)
c)
d)
e)
2 AC
A B C 1,3
B C A
A B C B ' 2,3
A C ' A B 1, 4
3. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3); E =[-1;4);
F=(-4;3), determine:
a) F E
b)
c)
4. Sean:
F EE F
C F D
A x / 2 x 1 5,9
B x / x 0
C x/ 2 x 6
Calcular:
A B C
5. Sean los intervalos:
A , 4 3
B 5, 0
C 6,10
Calcular :
A B C
6. Sean los siguientes intervalos:
Si
A m, n
;
B 0,8
A B '
, 1 8,
;
m , n , y son de signos diferentes (m n) , calcular:
a) El intervalo correcto de A
b)
A B 0,5
AC B '