Transcript PROFESOR: Ing. WILLIAM ACOSTA ACOSTA [email protected] Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....} Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....} Números Racionales (Q)Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;3 ;2;....} Números.

PROFESOR:
Ing. WILLIAM ACOSTA ACOSTA
[email protected]
Números Naturales ( N )
N={1;2;3;4;5;....}
Números Enteros ( Z )
Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Números Racionales (Q)
1
Q={...;-2;-1; ;0; 1 ; 1 ; 1;
2
5
2
4
3
;2;....}
Números Irracionales ( I )
I={...; 2; 3;  ;....}
Números Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; 2; 3 ;2;3;....}
Números Complejos ( C )
1

C={...;-2; 2;0;1; 2; 3 ;2+3i;3;....}
C
R
Z
N
Q
I
P={3}
EJEMPLOS:
Expresar por extensión los siguientes Q={-3;3}
conjuntos:
A ) P  x  N/ x2  9  0
F={}
B ) Q  x  Z / x  9  0
C ) F  x  R / x2  9  0
2

E ) B  x  I /(3x  4)(x 
D ) T  x  Q /(3x  4)(x  2)  0
2)  0
4
T 

3
B
2 
Sistemas de los números Reales
1) Asociatividad: para todo a, b y c en R
a+(b+c)=(a+b)+c y a (bc) = (ab) c
2) Conmutatividad: para todo a y b en R
a+b=b+a y ab = ba
3) Elementos neutros:  a distinto de 0 y 1 tales que, a en R
a+0=a y a*1=a
4) Distributividad: para todo a, b y c en R
a (b+c) = ab + ac
Algunas consecuencias
1) Para todo a, b y c en R
a+b=a+c entonces b=c
2) Para todo a, b y c en R
ab=ac y a≠0 entonces b=c
3) Sustracción: Si a y b son números reales
a-b=a+(-b)
4) División: Si a y b son números reales y si b≠0
a
 a  b 1
b
Orden en R
Los números reales pueden ser positivo, negativo o igual a cero.
Además está ordenado a través de ser “menor que” denotada por < ;
y definida a continuación:
a<b sí y sólo sí b-a>0
Para dos números reales a y b,
Propiedades asociadas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Tricotomía : a<b ó a=b ó a>b
Transitividad : Si a<b y b<c entonces a<c
Si a<0 y b<0 entonces a+b<0
Si a<b sí y sólo sí a+c<b+c
Si a<b y c<d entonces a+c<b+d
Si a>0 y b>0 entonces a+b>0
Si c>0, a<b sí y sólo sí ac< bc
c<0, a<b si y solo si ac>bc
La recta Real
La recta real es la representación geométrica del conjunto R
Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
reales dados. Para representar los intervalos se utilizan los siguientes símbolos:
a) Intervalo finito o acotado:
 a , b    x  / a  x  b 
a
b
a , b   x  / a  x  b 
a
b
a , b   x  / a  x  b 
a
b
a , b
a
b
  x  / a  x  b 
b) Intervalo infinito o no acotado:
 a ,      x  / x  a 
a
a , 
  x  / x  a 
a
  , a    x  / x  a 
a
 , a  x  / x  a
a


 ,   x  / x 
UNION
A  B  x / x  A  x  B
U
B
A
A  B  x / x  A  x  B
INTERSECCION
U
B
A
DIFERENCIA:
A  B  x / x  A  x  B
U
B
A
DIFERENCIA :
SIMETRICA
A
AB  x / x  (A  B)  x  (B  A)
AB  (A  B)  (A  B)
B
Simbólicamente:
A '  x / x  U  x  A
A’ = U - A
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
U
y
A
2
6
1
3
5
A ={1;3; 5; 7; 9}
8
7
A’={2;4;6,8}
9
4
1.
Considere los siguientes intervalos: A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ;
C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].
Dibujar sobre la recta real y escribir con notación de intervalo el resultado
de las siguientes operaciones:
a) A U D
b)
AC
d) A   B  C 
c) B – C
SOL
a)
AUD =D
-4
b) A  C   1,3
-3
-3
5
3
-1
3
4
c) B – C  3, 1
-3
d)
A B C
-1
3
 3,3
-3
-1
3
4
4
2.
 


A  1,4 ; B   3,7 ; C  2,6
Sean los intervalos
determinar si son Verdaderas o Falsas las siguientes afirmaciones
a)
b)
c)
d)
e)
2 AC
 A  B   C  1,3
B C  A  
 A  B  C   B '  2,3
 A  C  '  A  B   1, 4
3. Si A = [-3;3] ;B =(-3;3) ; C =(-1;4] ;D =(-4;-3); E =[-1;4);
F=(-4;3), determine:
a) F  E
b)
c)
4. Sean:
F  EE  F 
C     F  D 
A   x  / 2 x  1  5,9 
B   x  / x  0 
C  x/ 2  x  6 
Calcular:
 A  B  C
5. Sean los intervalos:
A   , 4  3
B   5, 0
C   6,10
Calcular :
 A  B  C
6. Sean los siguientes intervalos:
Si
A  m, n
;
B  0,8
 A  B ' 
, 1  8, 
;
m , n   , y son de signos diferentes (m  n) , calcular:
a) El intervalo correcto de A
b)
A  B  0,5
 AC  B '