Transcript Luis Figueroa S.   IGUALDAD: Relación que existe entre cantidades que tienen el mismo valor. ECUACION: Igualdad relativa que se verifica solo para determinado(s) valores)

Luis Figueroa S.


IGUALDAD: Relación que existe entre
cantidades que tienen el mismo valor.
ECUACION: Igualdad relativa que se verifica
solo para determinado(s) valores) de su
incógnita.
A(x;y;z…) = B(x;y;z…)
Comprobación :
A(x;y;z…) - B(x;y;z…) = 0
SOLUCION DE UNA ECUACION
Valor que toma la incógnita de una ecuación
que verifica la igualdad.
Conjunto Solución (C.S.)
Reunión de todas las soluciones q presenta la
ecuación
X2 = 16
Resolviendo tenemos: X = 4 ; X = -4
C.S. = { -4 ; 4 }
* COMPATIBLES: al menos un elemento en su C.S.
- Determinadas: Numero limitados de soluciones
(x-3)(x+5)(x-7) = 0
C.S. = {-5; 3; 7}
- Indeterminadas: numero ilimitado de soluciones
(x-3)= -3 + x
C.S. = infinito
* INCOMPATIBLES
No tienen elementos en su conjunto solución.
X -4 = X +7
4 = 7
(ABSURDO)
No existe valor de “X” que verifique igualdad.

La ecuación lineal con una incógnita es de la forma :
ax + b = 0
;
a
0
Tiene solución única:
x = -b/a
Discusión de la raíz:
1.- Si a = 0 y b = 0
indeterminada.
entonces la ecuación es
2.- Si a = 0 y b
incompatible.
0
entonces la ecuación es
3.- Si a
0 y b
determinada.
0
entonces la ecuación es
-Una ecuación lineal de dos incógnitas es de la
forma:
ax +by = c
- De donde a, b y c son constantes y a, b
distintos de cero.
- Dos ecuaciones de este tipo, conforman un
sistema de ecuaciones lineales.
X+Y=7
X–Y=3
-
Por consiguiente la
solución del sistema
será:
x=5
y=2
A.- METODO DE REDUCCION
(1)…… 2x – y = 4
(2)…… x + 2y = -3
-
Eliminamos una variable (multiplicando a
conveniencia cualquiera de las ecuaciones) .
2 x (1)…..
4x - 2y = 8
(2) ……. x + 2y = -3
5x
=5;
o sea x = 1
- Sustituyendo en (1) obtenemos
y = -2
B.- METODO DE SUSTITUCION
-
Se despejar una variable en cualquiera de las
ecuaciones y se sustituye en la otra ecuación.
(1)……2x-y
=4
(2)……x+2y=-3
De (1) se obtiene que y = 2x -4
Sustituyendo en (2) tenemos:
X + 2(2x-4) = -3
X=1
Remplazando en (1) o en (2) se obtiene
que y = -2
C.- METODO DE IGUALACION
- Despejamos la misma incógnita de cada
ecuación y luego igualamos.
(1) ……2x-y =4
(2) …....x+2y=-3
Despejamos X y tenemos
y + 4 = -3 -2y
;
y = -2
2
Remplazando en (1) o en (2) tenemos que
X=1
Son de la forma:
ax2 + bx + c = 0
a, b, c
bx
c
:coeficientes
: termino cuadrático
:termino lineal
:termino independiente
A.- POR FACTORIZACION
- Factorizamos el primer termino con aspa
simple e igualamos cada factor a cero.
- 5x – 3 = 0
2x
+1
1x
-3
(2x+1)(x-3)=0
;
X = -1/2
X = 3
B.- COMPLETANDO CUADRADOS
+ bx + ( b ) - ( b ) + c
(x + b ) -
( b ) + C
= 0
= 0
Las raíces de la ecuación
se obtienen mediante la siguiente formula:
X=
-b ±
2
b- 4ac
2a
Para conocer la naturaleza de las raíces
debemos de conocer la discriminante:
1.- Si
> 0
diferentes
; se tienen dos raíces reales y
2.- Si
iguales.
; se obtiene dos raíces reales e
=
0
3.- Si
< 0 ; se obtiene dos raíces complejas y
diferentes.
1.- Suma de las raíces (coeficiente del
termino lineal con el signo cambiado con el
coeficiente del termino cuadrático).
2.- Producto de raíces ( termino independiente entre
el termino cuadrático).
UNA EMPRESA FABRICA UN PRODUCTO QUE
TIENE COSTOS VARIABLES DE $6.00 Y COSTOS
FIJOS DE $80000.00 .
CADA UNIDAD TIENE UN PRECIO DE VENTA DE
$10.00. DETERMINE EL NÚMERO DE UNIDADES
QUE DEBEN VENDERSE PARA QUE LA EMPRESA
OBTENGA UTILIDADES DE $60000.00.
-
ES UNA DESIGUALDAD EN LAS QUE HAY UNA
O MÁS CANTIDADES DESCONOCIDAS
(INCÓGNITA) Y QUE SÓLO SE VERIFICA PARA
DETERMINADOS VALORES DE LA INCÓGNITA
O INCÓGNITAS.
EJEMPLO
2X + 1 > X + 5
ES UNA INECUACIÓN PORQUE
TIENE UNA INCÓGNITA “X” QUE
SE VERIFICA PARA VALORES
MAYORES QUE 4.
Son de la forma:
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b < 0
a=0
Para resolver estas ecuaciones se debe considerar a > 0
Solución:
b
x>a
b
ó x<- a
X
-∞ - ba
X
+∞
- ba
-∞
Luego la solución es dado en la forma:
xЄ
b
- ,+∞
a
ó
b
x Є -∞, - a
+∞
Son de la forma:
2
ax + bx + c > 0
a=0
2
ax + bx + c < 0
Donde a,b,c Є IR, siendo a diferente de 0,la
solución de estas inecuaciones, se obtiene por
medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio:
2
ax + bx + c = 0
Forma de la
Inecuación
Raíces de la inecuación
Conjunto Solución
2
ax + bx + c = 0
Raíces diferentes
2
ax + bx + c > 0
a>0
r1 < r 2
Raíz Real Única
r
Raíz no reales
Raíces diferentes
ax2 + bx + c < 0
a<0
r1 < r 2
Raíz Real Única
Raíz no reales
∞,r1 U r2 ,+∞
IR – { r }
IR
r1 , r 2
SE LLAMA CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA
INECUACIÓN A TODOS LOS NÚMEROS REALES
QUE LA VERIFIQUEN, ES DECIR, QUE DICHOS
NÚMEROS DAN LA DESIGUALDAD EN EL
SENTIDO PREFIJADO.
EL RESOLVER UNA INECUACIÓN CONSISTE EN
HALLAR UN CONJUNTO SOLUCIÓN ; ES DECIR,
ENCONTRAR EL INTERVALO DONDE ESTÁN LOS
VALORES QUE PUEDE TOMAR LA INCÓGNITA
PARA QUE VERIFIQUE LA INECUACIÓN.
DEFINICIÓN: es una comparación que se
establece entre dos números reales para ello
usaremos los siguientes símbolos:
> “mayor que”
< “menor que”
ESTRICTOS
_
> “mayor o igual que”
_
< “menor o igual que”
NO ESTRICTOS
Es una recta geométrica que nos permite ordenar a
los números reales.
Para cada número real existe un único punto en esta
recta y para cada punto de esta recta existe un único
número real.
R = {…,-√2, -1, 0, 1,√2,…}
Conjunto de los
Números reales
recta geométrica
-∞… -√2 -1 0 1 √2 …+∞
Mediante esta correspondencia se forma la
recta real que todos conocemos:
Números positivos
-∞
0
Números negativos
+∞
cero
Esta disposición de números es por
Convención a nivel mundial
Es un subconjunto de IR que representa
números reales comprendidos entre dos
extremos.
Notación: Si a < b ; a,b Є IR
I = {x Є IR / a < x < b}
Es un intervalo
X
a
Extremo inferior
b
Extremo superior
Intervalo Acotado: si los extremos son
números reales (finitos).
A su vez serán:
Intervalo abierto. En el cual no se consideran a
sus extremos.
Si
a; b
= { x Є / a < x < b}
X
-∞
Se tiene x Є
a
a; b
b
A<x<b
+∞
Intervalo cerrado. en el cual se consideran a los
extremos.
a; b = { x Є IR / a <_ x <
_ }
X
-∞
Se tiene x Є
a
a; b
b
_b
A<
_ x<
+∞
Intervalo semiabierto o semicerrado. teniendo
a uno de los extremos abierto y al otro
cerrado.
a; b = { x Є IR / a < x <
_ }
X
-∞
Se tiene x Є
a
a; b
b
A < x <_ b
+∞
Intervalos no acotados. Cuando por lo menos uno
de los extremos es el +∞ ó el -∞
X>
_a
x Є a; +∞
X
-∞
X<b
+∞
a
x Є -∞; b
X
-∞
b
+∞
xЄ
-∞; +∞
x Є IR
Es decir x toma cualquier valor real.
-∞
0
+∞
Si A es un intervalo
A’ = IR - A donde
A’ se lee complemento del conjunto A
Si A =
Ejemplo:
A’ =
-∞
3; 5
-∞; 3
3
entonces
U
5; +∞
5
+∞
Unión de intervalos. Sean A y B intervalos, X
está en la unión de estos si al menos está en
uno de ellos.
A U B = {x Є IR / x Є A ó x Є B}
Ejemplo: Sean A =
-2; 3 y B =
1; 8
entonces:
A U B = -2; 8
-∞
-2
1
3
8
+∞
Intersección de intervalos. Sean A y B
intervalos, X está en la intersección de estos
si es un elemento común a ambos.
A ∏ B = {x Є IR / x Є A Λ x Є B}
Ejemplo: Sean A =
-5; 6 y B =
-3; 7
entonces:
6 7
+∞
A ∏ B = -3; 6
-∞
-5 -3
Diferencia de intervalos. Sean A y B
intervalos, X pertenece a la diferencia de
estos si es un elemento de A y no de B
A - B = {x Є IR / x Є A Λ x Є B}
Ejemplo: Sean A =
-5; 3 y B =
2; 4
entonces:
A - B = -5;-2
-∞
-5
-2
3
4
+∞
1)LA COMPAÑÍA FROSSAC. FABRICA UN
PRODUCTO QUE TIENE UN PRECIO UNITARIO
DE VENTA DE $20.00 Y UN COSTO UNITARIO
DE $15.00 SI LOS COSTOS FIJOS SON DE
$600000.00; DETERMINE EL NÚMERO MÍNIMO
DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS
PARA QUE LA COMPAÑÍA OBTENGA
UTILIDADES.