Transcript Teoría

El Teorema de Rolle
Funciones Crecientes
Valores extremos de Funciones
Teorema de Rolle
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Funciones crecientes (1)
Suponemos que la función f es creciente y derivable en todo su dominio.
Entonces
h  0 :
f(x  h)-f(x)
f (x )  0
 0 .Por tanto podemos afirmar f '(x) = lim
h 
h
Esto es debido a que f es
creciente.
La derivabilidad implica
que el límite existe.
Teorema
Supongamos que la función f es derivable en el punto x0, y que
f’(x0) > 0. Entonces existe un número positivo  tal que
1)f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y
2)f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Funciones crecientes (2)
Teorema
Demostración
Supongamos que la función f es derivable en el
punto x0 y que f’(x0) > 0. Entonces existe un
número positivo  tal que
1)f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y
2)f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0.
Por la definición de derivada y usando el dato
de que f   x0   0:   0 tal que
0  x  x0   
Por lo tanto,
0  x  x0   
f  x   f  x0 
x  x0
f  x   f  x0 
x  x0
 f   x0   f   x0  .
 0.
Esto implica que si x – x0 es positivo, entonces también f(x) – f(x0)
es positivo demostrando la primera afirmación.
La segunda afirmación se puede comprobar del mismo modo.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Extremos locales
Definición
Un punto x1 del intervalo abierto (a,b) es un máximo local de la
función f si, para valores de x cercanos al punto x1, f(x)  f(x1 ).
Un punto x2 del intervalo abierto (a,b) es un
mínimo local de la función f si, para valores de
x cercanos al punto x2 , f(x)  f(x2 ).
f
Un extremo local de una función es un
máximo local o a un mínimo local.
Los valores de la función en sus puntos
extremos se llaman valores
extremos.
En la figura de la derecha, el punto x1
es un máximo local y el punto x2 un
mínimo local de la función f.
a
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
x1
x2
b
Criterio para Extremos Locales
Teorema
Sea f una función que es continua en el intervalo
cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto
(a,b).
Si c  (a,b) es un extremo local de la función f,
entonces la derivada de f se anula en el punto c, es
decir f’(c)=0.
Demostración
Supongamos que c  (a,b) es un máximo local o un
mínimo local de la función f.
Si f’(c) > 0, entonces, por el Teorema anterior, cerca del número
c y a la derecha de c, la función f toma valores mayores que f(c).
A la izquierda del número c la función toma valores menores que
f(c). Por lo tanto c no puede ser un extremo local.
Del mismo modo, podemos ver que f’(c) no puede ser negativa.
Concluimos que f’(c) = 0.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Extremos de Funciones Continuas
Teorema
Una función f que es continua en el intervalo
cerrado [a,b] alcanza su máximo y su mínimo en
[a,b].
No vamos a demostrar el resultado aquí. Mediante razonamientos
geométricos, el resultado parece convincente y una demostración
rigurosa usa argumentos afines a aquellos usados en la
demostración del Teorema de los Valores Intermedios para
Funciones Continuas.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Para hallar los extremos
Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b]
y derivable en el intervalo abierto (a,b).
Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], ten en
cuenta los siguientes pasos:
1.
Calcula la derivada de la función f.
2.
Encuentra las raíces de la derivada en el intervalo (a,b).
3.
Calcula los valores de f en los puntos que son las raíces de
la derivada y en los extremos a y b del intervalo.
4.
Dentro de estos valores calculados, elige el mayor y el
menor. Ésos son los extremos ABSOLUTOS de la función f.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Teorema de Rolle
Teorema
Sea f una función tal que:
1.
f es continua en el intervalo cerrado [a,b],
2.
f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y
3.
f(a)=f(b).
Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f
se anula, es decir, f’(c) = 0.
Teorema de Rolle gráficamente
El Teorema de Rolle afirma que, si
f(a) = f(b), entonces existe un
punto c entre a y b tal que la
tangente a la gráfica de f en
(c,f(c)) es horizontal.
a
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
c
b
Teorema de Rolle
Teorema
Sea f una función tal que:
1.
f es continua en el intervalo cerrado [a,b],
2.
f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y
3.
f(a)=f(b).
Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f
se anula, es decir, f’(c) = 0.
Demostración
Si f(x)=f(a)=f(b) para todo x entre a y b, entonces f
es una función constante, y la derivada de f se anula
para todo x, y c puede ser cualquier punto entre a y b.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Teorema de Rolle
Teorema
Supongamos que f es continua en [a,b] y derivable en
(a,b), con f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b)
tal que f’(c) = 0.
Demostración (cont.)
Si f no es una función constante, entonces o su máximo en [a,b] es
mayor que f(a) o su mínimo es menor que f(a).
Suponemos que el máximo de f [a,b] es mayor que f(a). Entonces,
como f(b) = f(a), f alcanza su máximo en el punto c (a,b).
Por el Criterio para Extremos Locales , concluimos que f’(c) = 0.
Si el máximo de f en [a,b] no es mayor que f(a), entonces su
mínimo es menor. Y se puede aplicar el Criterio para Extremos
Locales al mínimo de f para concluir la existencia de c.
Teoremas del valor medio Teorema de Rolle
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa