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
Sea y = 2 una función,
¿cuál es el área bajo la
curva cuando x recorre
el intervalo [0.5, 3]?

Observamos que se
forma
un
rectángulo debajo
de la gráfica de la
función, por lo tanto
sólo
se
deben
determinar
sus
dimensiones.
Alto = 2
Ancho = 2.5
Área = (2)(2.5) = 5
Tomando el mismo
intervalo, cambiemos
de función.
 Ahora calculemos el
área bajo la curva de
la función y = x en el
intervalo [0.5, 3]
 ¿Cómo lo harías?


Posibles soluciones:
› Al área del triángulo de lado 3, restarle el
área del triángulo de lado 0.5:
›
menos
4.5 – 0.125 = 4.375
=

Al área del cuadrado de lado 3 restarle
el área del cuadrado de lado 0.5 y al
resultado dividirlo entre 2:
menos
9 – 0.25 = 8.75
8.75/ 2 = 4.375
=
Con ambas funciones y = k, y = kx
recurrimos al cálculo de áreas de figuras
conocidas.
 ¿Cómo lo harías si la gráfica de la
función no tiene lados rectos? Es decir,
la forma de la gráfica es curveada.
Por ejemplo y = x2 , en el intervalo [0,3]:


Para una gráfica “curveada” utilizaremos
el método de Riemann (vamos a tapizar
el área bajo la curva con rectángulos,
entre más pequeños mejor)
Observamos que la suma de los
rectángulos azules nos da como
resultado un área MAYOR a la que nos
piden calcular.
 De igual manera, la suma de los
rectángulos rosa nos da como resultado
un área MENOR a la solicitada.
 Por lo tanto si hacemos los rectángulos
(azules o rosas) más finos entonces esta
diferencia que existe entre el área REAL
bajo la curva y el área de la suma de los
rectángulos será cada vez menor.


Cuando
los
rectángulos
sean
tan,
tan,
tan…
pequeños que su
base sea sólo el
punto en donde
parten y su altura la
función evaluada
en ese punto.
Pero
éste
sería
un
proceso
INFINITESIMAL, ya que existen una
infinidad de puntos dentro del intervalo
[0,3].
 Así que debemos encontrar alguna
manera de expresar toda esta situación,
es decir: Expresar el área bajo la curva
como una suma infinita de rectángulos.

Se representa por
∫ f(x) dx.




∫
es
el
signo
de
integración (una letra
“S” estilizada, de suma).
f(x) es el integrando o
función a integrar (altura
de los rectángulos)
dx es diferencial de x
(base
de
los
rectángulos) e indica
cuál es la variable de la
función que se integra.
Una integral es una suma de infinitos
sumandos –áreas de rectángulos-,
infinitamente pequeños.
 Una integral es el área dentro de una
curva.
 La integral es la operación inversa a la
derivada, por esto también se le
denomina como antiderivada (Teorema
Fundamental del Cálculo).

Función
y = 5x
Derivada
y´= 5
Antiderivada
∫ 5 dx = 5x + ¿?
y = 5x + 4
y = 5x – 10
y = 5x +
y´= 5
y´= 5
y´= 5
∫ 5 dx = 5x + ¿?
∫ 5 dx = 5x + ¿?
∫ 5 dx = 5x + ¿?
Según la anterior definición, podemos decir que la
integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5x.
Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x
mas una constante:
∫5dx = 5x + c