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Sea y = 2 una función,
¿cuál es el área bajo la
curva cuando x recorre
el intervalo [0.5, 3]?
Observamos que se
forma
un
rectángulo debajo
de la gráfica de la
función, por lo tanto
sólo
se
deben
determinar
sus
dimensiones.
Alto = 2
Ancho = 2.5
Área = (2)(2.5) = 5
Tomando el mismo
intervalo, cambiemos
de función.
Ahora calculemos el
área bajo la curva de
la función y = x en el
intervalo [0.5, 3]
¿Cómo lo harías?
Posibles soluciones:
› Al área del triángulo de lado 3, restarle el
área del triángulo de lado 0.5:
›
menos
4.5 – 0.125 = 4.375
=
Al área del cuadrado de lado 3 restarle
el área del cuadrado de lado 0.5 y al
resultado dividirlo entre 2:
menos
9 – 0.25 = 8.75
8.75/ 2 = 4.375
=
Con ambas funciones y = k, y = kx
recurrimos al cálculo de áreas de figuras
conocidas.
¿Cómo lo harías si la gráfica de la
función no tiene lados rectos? Es decir,
la forma de la gráfica es curveada.
Por ejemplo y = x2 , en el intervalo [0,3]:
Para una gráfica “curveada” utilizaremos
el método de Riemann (vamos a tapizar
el área bajo la curva con rectángulos,
entre más pequeños mejor)
Observamos que la suma de los
rectángulos azules nos da como
resultado un área MAYOR a la que nos
piden calcular.
De igual manera, la suma de los
rectángulos rosa nos da como resultado
un área MENOR a la solicitada.
Por lo tanto si hacemos los rectángulos
(azules o rosas) más finos entonces esta
diferencia que existe entre el área REAL
bajo la curva y el área de la suma de los
rectángulos será cada vez menor.
Cuando
los
rectángulos
sean
tan,
tan,
tan…
pequeños que su
base sea sólo el
punto en donde
parten y su altura la
función evaluada
en ese punto.
Pero
éste
sería
un
proceso
INFINITESIMAL, ya que existen una
infinidad de puntos dentro del intervalo
[0,3].
Así que debemos encontrar alguna
manera de expresar toda esta situación,
es decir: Expresar el área bajo la curva
como una suma infinita de rectángulos.
Se representa por
∫ f(x) dx.
∫
es
el
signo
de
integración (una letra
“S” estilizada, de suma).
f(x) es el integrando o
función a integrar (altura
de los rectángulos)
dx es diferencial de x
(base
de
los
rectángulos) e indica
cuál es la variable de la
función que se integra.
Una integral es una suma de infinitos
sumandos –áreas de rectángulos-,
infinitamente pequeños.
Una integral es el área dentro de una
curva.
La integral es la operación inversa a la
derivada, por esto también se le
denomina como antiderivada (Teorema
Fundamental del Cálculo).
Función
y = 5x
Derivada
y´= 5
Antiderivada
∫ 5 dx = 5x + ¿?
y = 5x + 4
y = 5x – 10
y = 5x +
y´= 5
y´= 5
y´= 5
∫ 5 dx = 5x + ¿?
∫ 5 dx = 5x + ¿?
∫ 5 dx = 5x + ¿?
Según la anterior definición, podemos decir que la
integral de 5 es 5x+3, ó 5x-2 o bien 5x.
Por ello se abrevia diciendo que la integral de 5 es 5x
mas una constante:
∫5dx = 5x + c