Transcript Tendencia y continuidad

Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
1
Euler - Matemáticas I
Límite finito en el infinito
Se considera la función f(x) = 5000x / (x + 1000), x  0. Su comportamiento cuando
x toma valores cada vez mayores es el siguiente:
x
102
103
104
105
106
107
108
109
f(x) 454,5454 2500,0000 4545,5455 4950,4959 4995,0050 4999,5001 4999,9500 4999,9950
7000
Y
6000
5000
4000
3000
2000
1000
X
0
-1000
-1000
2000
5000
8000
11000
14000
El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si los valores de la función se
hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente grande.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
2
Límite infinito en el infinito
Se considera la función f(x) = x2. Su comportamiento cuando x toma valores cada
vez mayores es el siguiente:
102
104
x
f(x)
7000
103
106
104
108
105
1010
106
1012
107
1014
108
1016
109
1018
Y
y=L
6000
5000
4000
3000
2000
1000
X
Dado un número L, por
grande que sea, siempre
podemos conseguir que la
función se coloque por
encima de la recta
horizontal y = L
0
-1000 -1
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
El límite de una función cuando x tiende a infinito es infinito si los valores de la
función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente grande.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
3
Euler - Matemáticas I
Algunas definiciones de límite de una función en el infinito
lim f(x) = L
x 
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L si para todo número e > 0 se tiene
|f(x) - L| < e si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = L
x 
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L si para todo número e > 0 se
tiene |f(x) - L| < e si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = 
x 
El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número L se tiene f(x)
> L si x > K, donde K debe ser elegido en función de e.
lim f(x) = - 
x -
El límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es menos infinito si para todo número
L se tiene f(x) < L si x < K, donde K debe ser elegido en función de e.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
4
Euler - Matemáticas I
Aproximación a un punto. Concepto de límite
Se considera la función f(x) = (x2 – 1)/(x – 1). Su comportamiento cuando x toma valores
cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1 es el siguiente:
x
1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 1,0000001
x–1
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,0000001
x2–1
El límite de una función cuando x tiende a p por la derecha es L si los valores de la
función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo
a p, con valores mayores que p.
El comportamiento de la función anterior cuando x toma valores cada vez más próximos
a 1, pero menores que 1 es el siguiente:
x
0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999
x–1
1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
x2–1
0,999999
1,999999
El límite de una función cuando x tiende a p por la izquierda es L si los valores de la
función se hacen tan próximos a L como se quiera al hacer x suficientemente próximo
a p, con valores menores que p.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
5
Euler - Matemáticas I
Definición de límite de una función en un punto
lim –f(x) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la izquierda es L si para todo número e > 0 se
tiene |f(x) – L| < e si p – d < x < p , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
lim +f(x) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p por la derecha es L si para todo e > 0 se tiene |f(x)
– L| < e si p < x < p + d , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que no es necesario que la función esté definida en p
lim f(x) = L
x p
El límite de f(x) cuando x tiende a p es L si para todo número e > 0 se tiene |f(x) – L| <
e si |x - p| < d , donde d debe ser elegido en función de e.
Es importante observar que una función tiene límite en un punto p si tiene límites por
la izquierda y por la derecha en p y ambos coinciden.
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
6
Ejemplos de límites laterales en un punto de una función
3
Y
2
1
X
0
-1
1
2
3
4
5
6
-2
a) lim +f(x) = 0; f(0) = 2
b) lim –f(x) = 2; f(6) = 0
c) lim +f(x) = 1; f(3) = 1
d) lim –f(x) = 2; f(3) = 1
x 0
x 3
x 6
x 3
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
Euler - Matemáticas I
7
Límite infinito en un punto
Se considera la función A(x) = -3/(x - 3). Su comportamiento cuando x toma valores
cada vez más próximos a 3 por la derecha y por izquierda es :
x
–3
x–3
2,5
2,9
2,99
2,999
2,9999
2,99999
6
30
300
3000
30000
300000
x
–3
x–3
3,5
3,1
3,01
3,001
3,0001
3,00001
-6
-30
-300
-3000
-30000
-300000
El límite de una función cuando x tiende a p por la (izquierda) derecha es infinito si los
valores de la función se hacen tan grandes como se quiera al hacer x suficientemente
próximo a p, pero menor (mayor) que p.
Y
lim –f(x) = 
x 
X
lim +f(x) = – 
x 
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
8
Euler - Matemáticas I
Técnicas para el cálculo de límites de funciones
Sean f y g dos funciones tales que lim f(x) = L y lim g(x) = M existen y son finitos:
xp
xp
lim [f(x)+g(x)] = lim f(x) + lim g(x) = L + M
xp
xp
xp
lim [f(x)–g(x)] = lim f(x) – lim g(x) = L – M
xp
xp
xp
lim [f(x) . g(x)] = [lim f(x) ] . [lim g(x) ] = L . M
xp
xp
xp
lim [cf(x)] = c . lim f(x) = c . L, siendo c una constante.
xp
xp
lim |f(x)| = |L|
xp
lim f(x)
lim
f(x) xp
L
=
= si lim g(x) = M  0
g(x) lim g(x) M xp
xp
lim [f(x)]
xp
xp
b/n
= [ lim f(x) ]
xp
b/n
= L b/n si lim f(x) = L > 0 y n par y L 0 si b < 0
xp
Estos resultados valen también cuando p es  o – , y para límites laterales
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
9
Euler - Matemáticas I
Expresiones determinadas e indeterminadas
Cuando se manejan límites cuyo valor es infinito es necesario tener en cuenta que:
L+=
 +=
L–=–
. =
L .  =  si L > 0 L .  = –  si L < 0 L / = 0


L =  si L > 1
L = 0 si 0 < L < 1
• Los teoremas anteriores nos permiten el cálculo del límite de la operación de dos
funciones, aun sin conocerlas: en este caso se dice que el límite es determinado.
• Cuando no podemos determinar el límite de la operación de dos funciones a priori,
siendo necesario conocer las funciones para poder calcularlo, decimos que el límite
es indeterminado. Entonces no es posible aplicar ninguno de los teoremas
anteriores.
 0
Algunos casos de indeterminación: , ,  – , 0 . , 1
 0
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
10
Euler - Matemáticas I
Algunos límites indeterminados
lim
(x + 3)(x – 3)
x2 – 9
= lim (x – 3) = - 6
= lim
x
+
3
x – 
x + 3 x – 
lim
( x + 6 – 3)( x + 6 + 3)
x+6–3
=
= lim
(x
–
3)(
x
+
6
+
3
)
x
3
x–3
x – 
x 3
x–3
1
= lim
=
x 3 (x – 3)( x + 6 + 3) 6
3 1
3x3 + 2x2 – 1
3 + x – x3
3
3
2
3
x
3x + 2x – 1
lim
=
=
3
lim
= lim
3
2
8
x  
2x
+
8
x  
x   2x + 8
2 + x3
3
x
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
11
Euler - Matemáticas I
Continuidad. Puntos de discontinuidad
Una función f es continua en un punto p de su dominio si se cumple que lim
x p
f(x) = f(p)
Si no existe el límite o es diferente de f(p) se dice que f es discontinua
Y
f(p)
Y
Y
• (p, f(p))
X
X
p
Continua en p:
lim f(x) = f(p)
x p
p
p
Discontinua en p:
lim f(x)  f(p)
x p
Discontinua en p:
No existe lim f(x)
x p
Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es
continua en todos los puntos del intervalo I
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
12
Euler - Matemáticas I
Asíntotas verticales
La recta x = p es una asíntota vertical de la función f(x) si el límite de la función
cuando x tiende a p, por la derecha o por la izquierda, es infinito o menos infinito
x=1
La recta x = 1 es asíntota vertical de la función y =
x+1
x–1
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
13
Euler - Matemáticas I
Comportamiento en torno a la asíntota vertical
p
p
p
lim f(x)
=–
–
lim f(x)
=+
–
lim f(x)
=–
–
lim f(x)
=+
+
lim f(x)
=+
+
lim f(x)
=–
+
x p
x p
x p
x p
x p
x p
p
p
p
lim f(x)
=–1
–
x p
lim f(x)
=+
–
lim f(x)
=+
–
lim f(x)
=–
+
x p
lim f(x)
=–
+
lim f(x)
=3
+
x p
x p
x p
x p
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
14
Euler - Matemáticas I
Asíntotas horizontales
 f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x si lim f(x) = c
x
 f(x) tiene como asíntota horizontal la recta y = c cuando x –  si lim f(x) = c
x
Las siguientes funciones tienen como asíntota horizontal el eje y (x = 0)
Y
Y
1
=0
x
x – 
X
1
lim
=0
x
x + 
lim
1
3=0
x
x – 
1
lim
3=0
x
x + 
lim
Y
X
Y
1
lim
2=0
x –  x
X
1
lim
2=0
x
x + 
1
4=0
x –  x
1
lim
4=0
x
x + 
lim
X
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
15
Euler - Matemáticas I
Asíntotas oblicuas
f(x)
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua si: a = lim
 0; b = lim ( f(x) – ax)
x
x
x
De igual manera es para x  – 
x2 + x – 1
3+2
f(x) =
tiene
como
asíntota
oblicua
x
x
g(x) =
no tiene asíntotas oblicuas
x
y = x + 1 para x y para x – 
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
16
Euler - Matemáticas I
El número e




1x
f(x) = 1 +  tiene una asíntota horizontal
x
x




1
102
10
103
104
105
1x
1 +  2 2,593742460 2,704813829 2,716923932 2,718145927 2,718268237
x
Su valor es:




1x 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999
El número e es el límite lim 1 +  .
x
5957496696762724076630353547594571382178525166427...
x
Y
y=e
X
Tema:
13
Tendencia y continuidad de funciones
17
Euler - Matemáticas I
Límites en los que aparece el número e




1 f(x)
Se cumple que: lim 1 +
=e
f(x)
f(x)
Se tienen entonces los siguientes resultados:

1 x/a a
a x

1+
= ea siendo a  R y no nulo.
I. lim 1 +  = lim


a  
x
x 
x
x  






1
1 x
–1
-1 x

II. lim 1 +  = lim 1 – x = e = e
x

x 
x








1 bx
III. lim 1 +  =
x
x




abx
IV. lim 1 +  =
x
x

1 x b
lim 1 +
= eb siendo b  R cualquiera.
 
x  
x 
eab siendo a  R y no nulo, b  R cualquiera.