Transcript limites y continuidad
Límites y continuidad 2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Funciones. Primeras definiciones
1.-
Dado un nº real “a” y un nº real positivo , se llama
entorno de centro a y radio
, al intervalo abierto de extremos a , a + : E(a, ) = (a , a + ) = {x R/a < x < a + }
2.- 2.1
El conjunto A es el
dominio de definición
.
Dom f = {x/ f(x) es un número real}
2.2.
El conjunto de las imágenes de A es el
recorrido de la función.
Rec f = {y / y = f(x) con x del conjunto A}
Función real de variable real: ejemplo I La fórmula f(x)= x 2 relaciona dos variables reales
R Dominio
• 2 • 2,3 • 5 f(x) = x
2 f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25 Recorrido
• 4 • 5,29 • 25
R
Para que sea aplicación ha de cumplir
• Esta imagen ha de ser única.
dos condiciones:
• Todo elemento de D ha de tener imagen.
Función real de variable real: ejemplo II
f(x)
•
(x, f(x))
– 1
Variable independiente
x Dominio D = [ –1, 1]
Dominio
Ley de asociación
f f(x) = 1 – x 2
x
1
Variable dependiente
y = f(x) Recorrido f([ –1, 1]) = [0, 1]
Límite de una función en un punto: definición intuitiva
Si a y b son dos números, la expresión lim x f(x) a =b quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además único.
Ejemplo:
La función f(x) = x 2 cuando
x
x 2 – 1 – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta toma valores cada vez más próximos a 1?
x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333 • Cuando
x
• Cuando
x
se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2 se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2 Se escribe lim x 1 x 2 x 2 – 1 – 3x + 2 = – 2
Límite de una función en un punto: definición formal Def:
x
= Sean
a a
y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto si para todo número real > 0 existe otro número real 0 < |x – a | < |f(x) – L | < > 0, tal que si Para cada > 0 Hay un > 0 0 < |x – a | < La condición 0 < |
x
–
a
| < prohibe que
x
tome el valor
a
. No es necesario que la función esté definida en
a
.
|f(x) – L | <
Límites laterales de una función
Se dice que el número
cha (izquierda)
b
es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la dere- , si al tomar valores x estrictamente mayores (menores) próximos al número
a
, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número
b
. Se designa x
lim f (x) =
a
b
x
(
– a
b
).
Una función se dice que tiene límite en un punto si y sólo si existen los límites laterales y ambos son iguales.
Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a la siguiente. Se observa que: x » tiene una gráfica como x
lim Ent(x) = 3
3 x
lim Ent(x) = 2
3 Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x 3.
3
Teorema de la unicidad del límite Enunciado: Si una función tiene límite en un punto, es único.
Demostración:
La demostración se hace por reducción al absurdo Suponemos que f(x) tiene 2 límites distintos b y c, si x tiende a “a”. Y b > c. lim x->a f(x)=b => ( por def. de límite ) E(b, ) 1 x lim x->a f(x)=c => ( por def. de límite ) Consideremos un ε tal que E(b, ) ∩ E(c, ) E(c, 2 ) = Ø. x E*(a, 1 ) f(x) E(b, ) E*(a, 2 ) f(x) E(c, ) Por ej. c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 y sea δ = min { 1 , 2 } Para todo x perteneciente al E*(a, δ ) se cumple f(x) pertenece a E(b, ) f(x) pertenece a E(c, ) Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. El absurdo procede de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.
Propiedades de los límites de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que
x
lim
a f
(
x
)
p
y
x
lim
a g
(
x
)
.
q
1.
lim
x
a
f
(
x
)
g
(
x
)
x
lim
a f
(
x
)
lim
x
a g
(
x
)
p
q
.
2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p
3 .
lim
x
a
f
(
x
)
g
(
x
)
x
lim
a f
(
x
)
lim
x
a g
(
x
)
p
q
.
4.
Si
q
no es cero , lim
x
a
f g
( (
x
)
x
)
lim
x
a f
(
x
)
lim
x
a g
(
x
)
p
.
q
5.
Si
p q
es un número real, lim
x
a
f
(
x
)
g
(
x
)
x
lim
a f
(
x
)
lim
x
a g
(
x
)
p q
.
Propiedades de los límites. Demostración Enunciado: El límite de una suma es igual a la suma de los límites (si son finitos) Demostración:
f(x)+g(x) Queremos probar que, dado ε > 0, δ > 0 x E(b+c, ε ). Es decir |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε. E(a, δ) Sea ε' = ε/2
lim
x
f(x)=b => (
a
def. de lím .
) ε'>0 δ 1 >0 x E(a,δ 1 ) |f(x) - b| < ε'.
lim
x
a
g(x)=c => ( def. de lím.
) ε'>0 δ 2 >0 x E(a,δ 2 ) |g(x) - c| < ε'. Sea δ = min {δ 1 ,δ 2 }. x E(a,δ) se cumple:|f(x) - b| < ε‘, |g(x) - c|< ε‘ => |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε |(f(x) + g(x)) - (b+c)|=|(f(x) - b) + (g(x) - c)| (*) Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b| |f(x) - b|+|g(x) - c| < ε => (por def. de límite
lim
x
a
Límites infinitos de una función en un punto: definición
• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa : la función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que se tomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Se designa:
x x
lim
lim
a a f f
( (
x x
) )
Ejemplo:
observando la gráfica de la función f(x) = 1 | x | se ve que:
lim x
0+
1 | x |
=
lim x 0–
1 | x |
=
x
0
1 | x |
=
Límite infinito en un punto: definición formal
Ejemplo: En la medida en que f(x) = (x+1) / x?
x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acerca
x
f(x) = (x+1)/x
1
2
0,1
11
0,01
101
0,01
1001
0 +
+
lim x x + 1
+
x = +
De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que:
lim x x + 1
–
x = –
• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada número K > 0 existe otro número es función del K elegido .
d
> 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde
d
• El límite de f(x) cuando cada número K < 0 existe otro número d debe ser función de K.
x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para
d
> 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde
Límites finitos en el infinito: Definición
Se dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), si la distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomen valores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota
x
lim
f
(
x
)
L x
lim
f
(
x
)
L
Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x?
x se
x 10 10 2 10 3 10 4
f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001
+
1
lim
x +
x + 1 x = 1
Límites infinitos en el infinito: Definición
Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si función de M.
x
> K donde K debe ser En la medida en que f(x) = x 2 ?
x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca
x
f(x) = x 2
10
10 2
10
10
2
4
10
10
3
6
10
10
4
8
+
+
lim x
2
= +
x + Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límite
Cuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estas funciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1. Ambos límites no existen.
Cálculo de límites
Límites simples
lim
x
a f
(
x
)
f
(
a
)
por el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable x por el de a hacia el que tiende.
Algunos límites típicos
lim
x 0
sen x x = 1 lim
x
1 + a x
x = e a , para todo a
lim
x
e x
x p
=
para todo p
lim
x
ln x x
p
= 0,
para todo p > 0
Cálculo de límites simples: ejemplos
lim
x 0
x
2
cos x + e
2x
ln (x + 1) + x
3
+ 1 = 0
.
1 + e
0
ln 1 + 0 + 1 = 1 lim
x 0
x
2
– 100 + x
3
x + x – 1
2
– 1 = –100 + 1 = – 99 lim
x 1
3 2x
3
– 2x + 1
x
3
–x + 1
(x 2 – 2x + 1)
=
3 2
.
1
3
–2
.
1 + 1 1
3
– 1 + 1
(1 2 –2
.
1+1)
= 1
0
= 1 lim
x 3
–2x
2
+ 3 x
3
– 2x + 5 = 3 –2
3
.
3 – 2
.
2
+ 3 3 + 5 = – 15 16
Indeterminaciones: tipos
Cuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sin conocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando las propiedades de los límites podemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedad que nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado.
lim f(x) = 2
x a
lim g(x) = 3
x a Entonces
lim
x a
f(x) g(x) = 2 3 lim f(x) = 0
x a
lim g(x) = 0
x a No es posible obtener
lim
x a
f(x) g(x) .
Para poder salvar la indeterminación hemos de conocer f y g.
Este resultado no depende de las funciones f g .
El límite es determinado .
y Este límite depende de las funciones
límite es indeterminado .
f y g .
El
Tipos de indeterminaciones L 0 / L 0 0 0 0
.
– 0 0 0 1
Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas
Tipos de indeterminaciones L 0 / L 0 0 0 0
.
– 0 0 0 1 •En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales •En las del tipo 0/0 Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con raíces y luego se factoriza y simplifica •En las del tipo • Si no hay raíces, se factoriza y simplifica Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia •En las del tipo 0 Se transforman, mediante operaciones, en uno de los anteriores •En las del tipo •Si no hay radicales se hacen operaciones y se transforma en uno de los anteriores •Si hay radicales, se multiplica y se divide por el conjugado y se transforma en uno del tipo , 0
y
1
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L
0
En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la función a izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable.
lim
x 2 –
1 x – 2 = –
lim
x 2 +
1 x – 2 = +
lim
x 2 –
1 (x – 2)
2
= +
lim
x 2 +
1 (x – 2)
2
= +
lim
x 2
lim
x 2
1 x – 2 no existe
1 (x – 2)
2
= +
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0
Cuando el
lim
x a
P(x) Q(x)
es indeterminado
0 0
siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x –
a
) e
lim
x 3
–18 + 21x– 8x x
2
– 9
2
Indet 0 0 + x
3
= lim
x 3
(x – 3)
2
(x – 2) (x– 3)(x+ 3) = lim
x 3
(x – 3)(x– 2) (x + 3) = 0 6 = 0
lim
x 3 2
–18 + 33 x – 20 x
2
9 – 12 x + 4 x + 4 x
2 3
Indet 0 0 = lim
x 3 2
(x – 2)(2x– 3) (2x – 3)
2 2
= lim (x – 2) =
x 3 2
–1 2
Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .
Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo
0 0 o
Recordando que
lim (x
x 3
+ 5x
2
lim x
p
e
–x x
+ 7x)e
–x
= = 0 lim x
3
e
–x x
Indet 0
.
= 0 + 5
.
+ 0 + 7
.
5 lim x
2
e
–x x
0 = 0 + 7 lim xe
x –x
=
Recordando que
X
lim ln
x x
= 0
.
lim x ln x =
x 0 +
Indet 0
.
lim ln x
x 0 +
1 x = lim
y
1/x = y – ln y y = 0
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo
/
Cuando el alta de x
lim
x
P(x) Q(x)
es indeterminado siendo P(x) y Q(x) polinomios, podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia más que aparezca en ambos.
lim –2x
x
Indet
3
+ 3x – 5 –x
3
– 2x + 5 = lim
x
–2 + –1 – x x 3 2
2 2
– + x x 5 5
3 3
= –2 –1 = 2
En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación.
lim
x
ln (ln x) ln x Indet
= lim
y
ln x = y ln y y = 0
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo
–
En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, la expresión antes de tomar el límite .
Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi plicar y dividir por la expresión conjugada.
lim (x
3
– x
2
) =
x
Indet
–
lim x
2
(x– 1) =
x
.
=
lim [ x
2
+ 1 – x
2
– 1] =
x
Indet
–
lim [ x
2
+ 1 –
x
x
2
– 1] [ x
2
+ 1+ x [ x
2
+ 1+ x
2
– 1]
2
– 1] = lim
x
(x
2
+ 1) – (x
2
– 1) [ x
2
+ 1 + x
2
– 1] = lim
x
2 x
2
+ 1 + x
2
– 1 = 2
= 0 =
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos
0 , 0 0
Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos y expresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo».
lim x
x
=
x 0 + Indet 0 0
lim
x 0 + e ln (x x )
= lim e
x ln x
=
x 0 +
e
0
= 1
lim
x
1
x
Indet
x
lim
e
ln
x x
1 0
x
lim
e
ln
x x
e
0
1
Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1
Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresión de e a como límite, combinada con un cambio de variable.
lim
x
1 + 1 x
2x
= lim
x
1+ 1 x
x 2
=
lim
x
1+ 1 x
x 2
= e
2
Indet 1
1 2x
2
+ x
4
= y lim (1 + 2x
2 x 0
Indet 1
+ x
4
)
4 x 2
= = lim
y
1 + 1 y
y
lim
x 0
1 +
lim x 0 4
(
2x 2 + x 4
)
x 2
2x
2
1 1 + x
4 4 x 2
= lim
x 0
1 +
2x
2
1 1 + x
4 1 2x 2 + x 4
(
2x 2 + x 4
)
= lim
y
1 + 1 y
y
lim x 0
(
8 + 4x 2
) = e
8 4 x 2
=
Continuidad en un punto: primera aproximación
Estatura medida cada 5 años: hay grandes saltos entre cada punto y el siguiente.
Estatura medida cada año: el incremento entre cada punto y el siguiente será menor, como lo es también el incremento de tiempo .
Una función es continua cuando a pequeñas variaciones de la variable independiente le corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente.
Continuidad en un punto: definición
Una función f(x), definida en en dicho punto cua n do : x = a , es continua
lim [f(a + h) – f(a)] = 0 h
0
Al llamar f(a + h) – f(a) = Dy, si Dx = h 0 entonces Dy 0 Al hacer a + h = x, si h 0 entonces x a Una función f(x), definida en en dicho punto cua ndo: x = a , es continua
lim f(x) = f(a) x
a
Una función f(x), definida en en dicho punto cuando: x = a , es continua
lim
D
y =0
D x 0 Desglosando la definición de límite Una función f(x), definida en dicho punto cuando : x Existe lim f(x) x a Existe f(a) = a , es continua en Los dos valores anteriores son iguales
Continuidad en un punto: definición formal
Una función f(x), definida en en dicho punto cuando: x = a , es continua lim f(x) x a
= f(a)
Una función f(x) tiene límite L en el punto (real) >0 >0, 0 < |x – a | < |f(x) si: – L | < x = a si Usando la definición de continuidad Usando la definición formal de límite
Definición formal continuidad
Una función f(x), definida en dicho punto si |x – a | < x = a , es continua en (real) >0 >0, si: |f(x) – f(a) | <
Continuidad en un intervalo: definición
Una función f(x) es continua en a si y sólo si x a +
)
por la derecha = f(a) Una función f(x) es continua en a si y sólo si x a – por la izquierda
lim f(x) = f(a)
• Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos.
• Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de los puntos del intervalo (a, b), y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda .
f(x) = 1 – x
2 es continua en [ –1, 1], pero no es continua ni en 1 ni en – 1 porque no lo es por la derecha o por la izquierda .
f(x) = 1 x
no es continua en [ –1, 1], porque no está definida en 0.
f(x) = x 2 si x < 1 2 si x 1 no es continua en [ es continua por la izquierda en 1.
–1, 1], porque no
3
Función discontinua en un punto
Cuando una función no cumple la definición de función continua en un punto se dice que es discontinua.
Estas funciones no son continuas en el punto 1 4 Esta función no es continua en los puntos 1 y – 1 Función discontinua en 0
Discontinuidad evitable
Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.
f(x) =
x
2
– 1 x – 1 si x
1 3 si x = 1
Estudiamos el comportamiento de f(x) en el punto 1:
lim f(x) = x
1 lim x
1 x
2
– 1 x – 1 = lim x
1 (x – 1)(x + 1) x – 1 = lim (x + 1) = 2 x
1
3 = f(1)
Por tanto f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.
Evitando una discontinuidad evitable
El valor que deberíamos dar a una función en un punto (en el que la función presenta discontinuidad evitable) para que dicha función sea continua es el verdadero valor de la función en el punto.
La siguiente función g(x), evita la discontinuidad que presenta f(x) en el punto 1: g(x) = x 2 – 1 x – 1 si x 1 2 si x = 1 (x – 1)( x + 1) si x 1 = x – 1 2 si x = 1 = x + 1 • El verdadero valor de f(x) en el punto 1 es 2.
• La función g(x) es continua en el punto 1.
• • •
Discontinuidad inevitable
Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable cuando existen los límites laterales en él y son distintos.
Si f(x) es discontinua en el punto x = a, la diferencia entre los dos límites se llama salto de la función en dicho punto.
Si alguno de los límites laterales en el punto a son infinito, se dice que el salto es infinito
y =
x + 1 x si x
0 0 si x = 0
y = sig(x) y = sig(x) presenta discontinuidad inevitable en el punto 0 de salto 2. Esta función presenta discontinuidad inevitable de salto infinito en el punto 0.
Funciones acotadas superiormente
• Una función está acotada superiormente cuando existe un número real K' tal que todos los valores que toma la función son menores o iguales que K'.
• El número real K' se llama cota superior.
y = 3 y = 2 y = 1
1, 1.5, 2, p, ... son cotas superiores de la función y = – x 2 + 1
Función acotada inferiormente
• Una función está
acotada inferiormente
que todos los valores que toma la función son mayores o iguales que K.
• El número real K se llama cota inferior. cuando existe un número real K tal
y = 0 y = – 1 y = – 2
0, –1, –1.5, –p, .... son cotas inferiores de la función
y
= e – x
Extremo superior. Máximo absoluto
• Se llama extremo superior de una función a la menor de las cotas superiores. • Si ese valor lo alcanza la función, el extremo superior recibe entonces el nombre de
máximo absoluto.
y = 3 y = 2 y = 1 y = 2 y = 1 y = 0
• La menor de las cotas superiores es 1.
• 1 es el extremo superior de esta función. • Como f(0) = 1, 1 es máximo absoluto
de esta función.
• La menor de las cotas superiores es 0. • 0 es el extremo superior de esta función. • Como no existe ningún valor de la función tal que f(a) = 0, esta función no tiene
máximo absoluto.
Extremo inferior. Mínimo absoluto
• Se llama extremo inferior de una función a la mayor de las cotas inferiores. • Si ese valor lo alcanza la función, el extremo inferior recibe entonces el nombre de
mínimo absoluto.
y = 5 y = 4 y = 3
• La menor de las cotas superiores es 3.
• 3 es el extremo superior de esta función. • Como no existe ningún valor de la función tal que f(a) = 3, esta función no tiene máximo absoluto.
y = 0 y = – 1 y = – 2
• La mayor de las cotas inferiores es 0.
• 0 es el extremo inferior de esta función. • Como además f(0) = 0, 0 es el
mínimo absoluto de esta función.
Teorema de acotación Enunciado: Si una función tiene límite finito en un punto “a”, está acotada en un entorno reducido de “a” Demostración:
lim
f
(
x
)
b
(por def. de límite )
x
a
>0 existe δ>0 x E*(a, δ) lo que indica b ε --^- < f(x) < b + ε --^- h k cota inferior cota superior f(x) E( b, ) Nota: también podemos expresar la tesis como >0 δ>0 y h y k reales positivos h < |f(x)| < k. x E*(a, δ) Luego la función f(x) está acotada
Teorema de Bolzano: Enunciado e interpretación geométrica
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que toma en y b valores de signo opuesto (es decir f(a) · f(b) < 0), entonces un punto c interior al intervalo en el que f(c) = 0.
a al menos
c c
f(x) continua en [a, b] f(a) < 0 f(b) > 0 Entonces c (a, b) f(c) = 0 f(x) continua en [a, b] f(a) > 0 f(b) < 0 Entonces c (a, b) f(c) = 0
Teorema de Bolzano: Demostración (I)
Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.) Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2.
Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Si no, f será positiva o negativa en (a+b)/2. Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a 1 y b 1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a 1 ,b 1 ] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a 2 y b 2 . Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a [a 2 ,b 2 ], etc., tales que a a 1 a 2 ...
a n y b b 1 b 2 ...
b n . 1 ,b 1 ], Es decir, 1) Los a I forman una sucesión creciente y los b I forman una sucesión decreciente.
2) Los a I son siempre menores que los b I .
Teorema de Bolzano: Demostración (II)
Veamos cuál es el
n
lim (
b n
a n
) La long. del intervalo [a 1 ,b 1 ] es,(b-a)/2 , la mitad de la long. de [a,b] que es b - a.
La longitud del intervalo [a 2 ,b 2 ] es (b - a)/2 2 , la mitad de la longitud de [a 1 ,b 1 ] que es (b - a)/2.
Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [a n ,b n ] es (b - a)/2 n . 3) De modo que,
n
lim c (
b n
a n
) n a n
n
lim c
b
2 b
n
n
a
, 0 ambas sucesiones y que esté en todos los intervalos.
Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, [an,bn] contenido en dicho entorno. un intervalo Es decir, para todo δ>0 n 1 / para todo n >= n 1 c-δ < [a n ,b n ] < c+δ.
Teorema de Bolzano: Demostración (III)
Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua en c. Por definición de continuidad
lim
x
c
Vamos a proceder por reducción al absurdo Supongamos que f(c)<0, por teo. de conservación del signo un entorno de c donde f(x) es negativa. Dentro de este entorno, un intervalo [a n ,b n ], donde f(a n ) es de distinto signo que f(b n ). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo. Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo un entorno de c donde f(x) es positiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [a n ,b n ] tal que f(a n ) es de distinto signo que f(b n ). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser positivo.
Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.
Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Enunciado e interpretación geométrica
Enunciado: Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en dicho intervalo al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
M M m m x
2
x
1 Esta función, continua en [a, b], presenta en x 1 un máximo absoluto de valor M y en x 2 un mínimo absoluto de valor m.
x
1
x
2 Esta función, continua en [a, b], presenta en x 1 un máximo absoluto de valor M y en x 2 un mínimo absoluto de valor m.
Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Demostración (I)
Se hace la demostración en dos partes A) La función está acotada en [a,b].
Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que f no está acotada, Si tomamos x 0 el punto intermedio del intervalo, la función no estará acotada en [a,x 0 ] o en [x 0 ,b].
Elegimos de los dos aquel en el que no está acotada y reiteramos el proceso obteniendo así un sucesión de intervalos cerrados encajados y tales que la amplitud tiende a cero. Luego existe un nº real c del intervalo (a,b) que pertenece a todos ellos y por tanto f( c ) no está acotada.
Sin embargo, f es continua en todo el intervalo y c está en él, luego es continua en c y por el teorema de acotación f( c ) está acotada, lo que lleva a una contradicción.
Por tanto la suposición que hemos hecho no es válida y por ello la función f está acotada en todo el intervalo
Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Demostración (II)
B ) Por el apartado A) existen un éxtremo inferior m y un extremo superior M. Si M es un valor de la función ya estaría demostrado. En caso contrario M-f(x) es distinto de cero.
g
(
x
)
M
1
f
(
x
) Por el apartado A) esta función está acotada, luego existe un nº K tal que
g
(
x
)
M
1
f
(
x
)
K
f
(
x
)
M
1
K
Y esto es cierto para todo x del dominio. Por lo que hemos encontrado una cota menor que el extremo superior lo que indica una contradicción. Esta procede de suponer que M – f (x) es no nulo luego M = f(x) por lo que M es máximo.
Teorema de los valores intermedios o de Darboux Enunciado e interpretación geométrica
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y K un número real tal que: f(a)< K f(x) continua en [a, b] f(a) < K< f(b) Entonces c (a, b) / f(c) = M f(x) continua en [a, b] f(b) < K< f(a) Entonces c (a, b) / f(c) = M La demostración se hace comprobando que la función g(x) = f(x) – K cumple el teorema de Bolzano luego g(c) = 0 por lo que f( c) = Kc K K c