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UNIDAD 2 ÁLGEBRA “Definiciones, Operaciones algebraicas, MCM, MCD” Dr. Daniel Tapia Sánchez Álgebra Es la rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general. En esta unidad aprenderás a: • Sumar, restar, multiplicar expresiones algebraicas. y dividir • Reconocer productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio. • Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables. • Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas. Contenidos 2.1 Definiciones 2.1.1 Término algebraico 2.1.2 Expresión algebraica 2.1.3 Términos semejantes 2.2 Operaciones Algebraicas 2.2.1 Suma y resta 2.2.2 Multiplicación 2.2.3 Productos Notables 2.2.4 Factorización 2.2.5 División 2.3 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) 2.4 Máximo común divisor (M.C.D.) 2.1 Definiciones 2.1.1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”. Ejemplos: 15a3b5, ab2c, 5x2y, 2z 3w 2.1.2 Expresión algebraica Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta. Ejemplos: 1) 2) 3) 4x2 – 3 5y 8a3 + 7xy2 – 3x + 10y 2a3b2 + 5ab – 3a 2 Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: 25a3, 9xy2, 45x2z5 Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. Ejemplo: 4x7y2 + 5xy 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 2a3b2 + 5ab – 3a2 2.1.3 Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos 6a2b y 5a2b - Los términos 2x4 y 7x2 son semejantes. no son semejantes. 2.2. Operaciones algebraicas 2.2.1 Suma y Resta Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: ab2c + 3ab2c – 5ab2c = (1 + 3 – 5) ab2c = (4 – 5) ab2c = (– 1) ab2c = – ab2c Suma de polinomios En la suma de polinomios, se escribe cada polinomio uno detrás de otro y se reducen los términos semejantes. Sumar los siguientes polinomios: En la suma, los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes: Resta de polinomios En esta operación, es importante identificar el minuendo y el substraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes. Realizar la siguiente operación: Para realizar la resta, primero se eliminan los paréntesis. Para hacerlo, debemos recordar que el signo “menos” fuera del paréntesis, afecta a todos los monomios que están dentro de los paréntesis. Por lo tanto, debemos invertir el signo de cada monomio en el segundo paréntesis, es decir, debemos cambiar los signos positivos por negativos y los negativos por positivos: Posteriormente se reducen los términos semejantes: 2.2.2 Multiplicación • Monomio por monomio: Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: 3x ∙ 2xy =6x2y • Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: 3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) = = 15a3b5 + 6a2b6 – 12a2b5 Polinomio por Polinomio: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Ejemplo: (2x + y)(3x + 2y) 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2 = = 6x2 + 7xy + 2y2 2.2.3 Productos Notables Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. • Cuadrado de Binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplo: (5x – 3y)2 (5x)2 - 2(5x∙3y)+ (3y)2 = = 25x2 - 30xy + 9y2 La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente: a b a a2 b ab b a b ab a 2 b • Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (3x – 2y)3 =(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3 Desarrollando potencias... = 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3 Multiplicando... = 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3 • Suma por su diferencia: (a + b)∙(a – b) = a2 – b2 Ejemplo: Aplicando la fórmula... (5x + 6y)∙(5x – 6y) =(5x)2 – (6y)2 = 25x2 – 36y2 Producto de binomio: (x + a)∙(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... (x + 4)∙(x + 2) = x2 + (4 + 2)x + 4∙2 Desarrollando... = x2 + 6x + 8 Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común. Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... (y - 4)∙(y + 2) = y2 + (-4 + 2)y - 4∙2 Desarrollando... = y2 – 2y - 8 Cuadrado de trinomio: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Ejemplo: (2x + 3y + 4z)2 = ? Aplicando la fórmula... = (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) Desarrollando... = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz • Diferencia de cubos: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Ejemplo: 8x3 – 64y3 =(2x)3 – (4y)3 Aplicando la fórmula... = (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 ) Desarrollando... = (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 ) Suma de cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) Ejemplo: 27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 Aplicando la fórmula... = (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2) Desarrollando... = (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2) 2.2.4 Factorización Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. • Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: Al descomponer... 2xy + 4xy2 – 6x2y =2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y (El factor común es : 2xy) = 2xy(1 + 2y – 3x) • Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Factorizar: xz + xw + yz + yw = Agrupando... = (xz + xw) + (yz + yw) Factorizando por partes... = x(z + w) + y(z + w) Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... = (z + w)(x + y) • Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) 36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) x2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3) Corresponde a un producto de binomios con un término común.. 3) 64x3 – 125y3 = (4x)3 – (5y)3 Ambos términos son cubos perfectos. Luego, es una “diferencia de cubos”. Desarrollando... (4x)3 – (5y)3 =(4x- 5x)((4x)2 + 4x∙5y + (5y)2) (4x- 5x)(16x2 + 20xy + 25y2) 2.2.5 División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: Factorizando... 1) x2 + x - 20 x2 - 25 = (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) Simplificando... = (x – 4) (x – 5) Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5) Factorizando y simplificando 1 2) (a + b)2: = a2 - b2 a - b (a + b)(a + b) 1 (a + b)(a – b) a - b : Dividiendo: = = = (a + b) (a – b) (a + b) (a – b) (a + b) : ∙ 1 a - b a - b 1 2.3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) • Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: 3x5y2, El m.c.m. entre: es: 18x2yz6 y 18x5y3z6 Ejemplo 2: x4y2z3 , x2y , El m.c.m. entre: es: x4y6z3 xy6z 9y3 Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: Factorizando... x2 + y x2 + 2x x +1 (x +1)2 x(x +1) m.c.m. : x(x +1)2 2.4. Máximo común divisor(M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: es: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: es: a4b2, a4b a5bc y a6b3c2 Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: x2 + x y x2 + 2x +1 Factorizando... x(x +1) M.C.D. : (x +1)2 (x +1)