Transcript Teoria

Polinomios
Grado y Término de Mayor Exponente
División de Polinomios
Raíces de Polinomios
Gráficas de Polinomios
Funciones/Funciones
Elementales/Polinomios.
Polinomios
Definición
Un polinomio es una expresión del tipo:
P = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn,
donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales y an ≠ 0.
El polinomio P es de grado n. El término anxn es el término de
mayor exponente del polinomio P.
Ejemplo
P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4 son polinomios
de grado 3 y 2 respectivamente. El término de mayor
exponente de P es 3x3 y el de Q es x2.
A veces se puede factorizar un polinomio, es decir, puede expresarse
como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo el
polinomio x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
División de Polinomios
Dados dos polinomios P and Q si el grado del polinomio Q no es
mayor que el de P, entonces es posible dividir P por Q. Una forma de
escribir la división P/Q es:
P/Q = D + R/Q
siendo D y R polinomios tal que el grado de R sea menor que el de Q.
El polinomio R se llama resto.
Ejemplo
Entonces
Si P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8
y Q = x2 − 4.
P 3x 3  2x 2  11x  8
x


3
x

2

.
2
2
Q
x 4
x 4
Esta forma de escribir P/Q se puede obtener a través del algoritmo de
división de polinomios, que se explicará en la siguiente diapositiva.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Algoritmo de División de Polinomios
Ejemplo
Sea P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4. Calcular el
cociente D y el resto R siendo el grado de R < 2 y
P/Q = D + R/Q.
3x + 2
x2 − 4 3x3 + 2x2 − 11x − 8
Escribe los polinomios P y Q en
3
(3x)Q
3x
−
12x
la forma larga de división.
Multiplica Q por 3x. Entonces el término
2x2 + x − 8
de mayor exponente de (3x)  Q es el
2Q
2x2
−8
mismo que el de P. Escribe 3x en la línea
x
de arriba.
Resta (3x)  Q a P, y repite la misma operación mientras sea
posible. En este caso sólo puede ser una vez. El resto es lo que
queda en la última línea. El cociente es lo que queda encima de la
primera línea.
3
2
3
x

2
x
 11x  8
x
Tenemos

3
x

2

.
x2  4
x2  4
Solución
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Raíces de Polinomios
Definición
Sea P un polinomio. Un número r tal que P(r)=0 se
llama raíz del polinomio P.
Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces.
Un polinomio de grado impar siempre tiene una raíz.
Una prueba de este teorema será mostrada más adelante.
Si r es una raíz del polinomio P, entonces el polinomio P es divisible
por x – r, es decir, puede escribirse de la forma P = (x – r)Q, donde
Q es un polinomio.
Teorema
Ejemplo
Claramente x =1 es raíz de P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1.
Por lo tanto P es divisible por x – 1. La división de polinomios da
P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x4 + 2x +1).
El número x = – 1 es raíz de x4 + 2x +1. Dividiendo x4 + 2x +1 por
x – (-1) = x + 1 obtenemos la factorización.
P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)(x3 – x2 + x +1).
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Gráficas de Polinomios de grado uno
(lineales)
Las gráficas de polinomios de grado uno y = ax + b son rectas. El
coeficiente “a” determina su ángulo de intersección con el eje x.
Gráficas de polinomios
de grado uno:
1. y = 2x+1 (la recta
roja)
2. y = -3x+2 (la recta
negra)
3. y = -3x + 3 (la recta
azul)
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Gráficas de Polinomios Cuadráticos
La gráfica del polinomio cuadrático P = ax2 + bx + c, a ≠ 0, es una
parábola. Si a>0, la parábola se abre hacia arriba. Si a<0, hacia
abajo.
2
b
b2


2
Escribiendo P = ax + bx + c  a  x 
vemos que en el
c

2a 
4a

b2
b
c
punto x   2a , la parábola P tiene su vértice
4a
El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.
Una parábola es un conjunto de
puntos que están a la misma
distancia de un punto dado,
llamado el foco de la parábola, y
de una recta dada, llamada la
directriz de la parábola.
Las directrices de las dos parábolas
de la figura son rectas horizontales.
x2 + x – 1
–x2 + x + 2
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Gráficas de Polinomios de Grado más Alto
El comportamiento del polinomio P(x)= a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn, an ≠
0, para valores grandes positivos o negativos viene determinado por el
coeficiente an del término de mayor exponente anxn y si es par o impar.
Si n es par, y an > 0, P(x)  ∞ cuando x  ∞.
Si n es impar, y an > 0, P(x)  ∞ cuando x  ∞, y
P(x)  −∞ cuando x − ∞.
Problema
La imagen de la derecha muestra
la gráfica y todas las raíces de un
polinomio de cuarto grado y otro
de quinto.¿Cuál es cuál?
Solución
La curva azul tiene que ser el
polinomio de grado 4, por su
comportamiento cuando x es
un número “muy grande” en
valor absoluto.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Resumen
Un polinomio de grado n genérico es P(x) = a0 + a1x + … + anxn,
donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales an ≠ 0.
Un número r es una raíz del polinomio P si P(r) = 0.
Cualquier polinomio de grado n tiene como mucho n raíces.
Un polinomio no tiene por qué tener raíces: P(x) = x2 + 1 es siempre
positivo, por lo tanto el polinomio P no tiene raíces (reales). Todos los
polinomios de grado impar tienen siempre al menos una raíz (real).
Si P y Q son polinomios, y si grado(Q) ≤ grado(P), entonces
podemos llevar a cabo la división de polinomios y encontrar los
polinomios D y R tal que grado(R) < grado(P) y
P
R
 D .
Q
Q
Las gráficas de polinomios lineales, e.j. de polinomios de grado 1,
son rectas. Las gráficas de polinomios cuadráticos son parábolas.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa