Transcript Diferenciacion e Integracion Numerica

Diferenciación e Integración Numérica
yx  h   yx  h 
y' x  
2h
yx  h   2 yx   yx  h 
y ' ' x  
h2
Ejem plo.  Sea y x   e x senx   x 2
Estim e y ' 1 e
Solución. 
y ' ' 1, con h  0.1
x 1
h  0.1
15
Valores exactos
y ' x   e x senx   cos x   2 x
y ' 1  5.7560
y ' ' x   e x 2 * cosx   2
y ' ' 1  4.9374
y 1  0.1  y 1  0.1 3.8873 2.7367
y ' 1 

 5.7533
20.1
0.2
err1  5.7650 5.7533  0.0027
y 1  0.1  2 y 1  y 1  0.1 3.8873 23.2874  2.7367

2
0.1
0.01
y ' ' 1  4.9298
y ' ' 1 
err2  4.9374 4.9298  0.0076
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 Estas
fórmulas también hacen uso del
polinomio interpolante y son útiles cuando se
desea calcular integrales de funciones que no
se pueden evaluar en alguno de sus extremos
x2
 f x dx  2hf x 
1
x0
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
1

0
1
dx
 Log  x 
a)Usando la Regla del rectángulo (h=1/2),
tomando 2 particiones
b)Usando la regla del rectángulo compuesta
(h=1/8), tomando 8 particiones
Solución
a) h  0.5
1
I1  2 * h * f 0.5  2 * 0.5 *
 Log0.5
b)
h  1/ 8
1
3
5
7
I2  2* h * f    2* h * f    2* h * f    2* h * f  
8
8
8
8
 Hace
uso de un polinomio de primer grado,
trazando una recta entre los dos puntos
interiores
x3

x0
3h
f  x dx   f  x1   f x2 
2
 Hace
uso de un polinomio de segundo grado,
trazando una parábola entre los tres puntos
interiores
x3

x0
4h
2 f x1   f x2   2 f x3 
f x dx 
3
Ejemplo.- Resolver la siguiente integral:
1

0
1
dx
 Log  x 
a)Usando la fórmula de Simpson abierta
(h=1/4), tomando 4 particiones
b)Usando la regla del Simpson abierta
compuesta (h=1/8), tomando 8 particiones
Solución
a) h  1 / 4
4h   1 
1
 3 
*  2 f    f    2 f   
3  4
2
 4 
h  1/ 8
I1 
b)
4h   1 
1
 3   4h   5 
3
 7 
I2 
*  2 f    f    2 f     *  2 f    f    2 f   
3  8
4
 8  3   8 
4
 8 


x
xe dx
1
Primera solución
Haciendo un cambio de
variable
se
puede
transformar
en
otra
integral equivalente con
limites finitos. Esta nueva
integral se puede resolver
usando algunas de las
fórmulas abiertas.
1
1
x
dx   2 dt
t
t
x t0
x 1
1

0
t 1
1 / t e  1 / t 
dt
2
t


1
b
x
xe dx

xe  x d x
1
b  1
f b   0
Segunda solución
Se elige un limite superior b mucho mayor
que 1, tal que f(b) es muy cercano a cero y
el área a la derecha de b sea prácticamente
despreciable. Se puede emplear cualquiera
de las fórmulas de integración cerradas.
 Las
fórmulas de integración vistas antes
requieren que se conozcan los valores de la
función cuya integral se va a aproximar en
puntos uniformemente espaciados. Sin
embargo
si
la
función
está
dada
explícitamente, los puntos para evaluar la
función puede escogerse de otra manera que
nos lleve a una mayor precisión de la
aproximación.

b
a
n
f ( x)dx   ci f ( xi )
i 1
La cuadratura Gaussiana se preocupa en escoger
los puntos de evaluación de una manera óptima.
Esta presenta un procedimiento para escoger los
valores x1, x2, ... , xn en el intervalo [a, b] y las
constantes c1, c2, ... , cn que se espera
minimicen el error obtenido al realizar la
aproximación:
 Para determinar los puntos xi donde debe
evaluarse la función y los factores de peso ci se
usa
un
procedimiento
de
coeficientes
indeterminados
 Estos coeficientes también se pueden obtener
mediante el polinomio de Legendre, por esta
razón a este método se le suele llamar también
cuadratura de Gauss-Legendre.

 Definimos
inicialmente la integrar siguiente
con limites en [-1 , 1]:
n
f ( x)dx   ci f ( xi )
1

1
 Para
i 1
n=1:
1

1
f ( x)dx  c1 f ( x1 )
Dado que tenemos 2 incógnitas, requerimos 2
condiciones: supondremos que es exacta para
cualquier polinomio de grado 1 o menor, por lo tanto,
será exacta para el conjunto de funciones {1, x}


Para f(x)=1:
 1dx  2  c 1
1
1
1

Para f(x)=x:
 xdx  0  c x 
1
1
1

c1  2
Por lo tanto:
1

1
1
x1  0
f ( x)dx  2 f 0
 Para
n=2:
1

1
 Dado
f ( x)dx  c1 f ( x1 )  c2 f ( x2 )
que tenemos 4 incógnitas, requerimos 4
condiciones: supondremos que es exacta
para cualquier polinomio de grado 3 o menor,
por lo tanto, será exacta para el conjunto de
funciones {1, x, x2, x3}

Para f(x)=1:
 1dx  2  c 1  c 1
1
1
1

2
c1  c2  2
Para f(x)=x:
 xdx  0  c x   c x 
1
1
1

1
2
2
Para f(x)=x2:
 
1
1
   
2
2
2
x dx   c1 x1  c2 x2
3
2

Para f(x)=x3:
 x dx  0  c x  c x 
1
3
1
1

3
1
3
2
2
Resolviendo este sistema de 4 ecuaciones con
4 incógnitas tendremos:
c1  c2  1

1
x1  
3
1
x2 
3
Por lo tanto:
 1 
1 f ( x)dx  f   3  
1
 1 
f

 3
 Para
evaluar la integral en [-1,1], los
valores xi y ci quedan definidos en la
tabla anterior para diversos valores de n.
 Para otros limites debemos recurrir a un
cambio de variable.
 Consideremos la cuadratura Gaussiana
para evaluar:
b
I   f (t )dt
a
 Donde
[a,b][-1,1], los límites de
integración debe ser [-1,1] por lo cual
recurrimos a un cambio de variable:
(b  a) x  (a  b)
t
2
 Reemplazando

b

b
a
a

b  a
f (t )dt 
2

b  a
f (t )dt 
2
dt 
b  a  dx
2
tendremos:
 (b  a) x  (b  a) 
dx
1 f 
2

1
n
 c f x 
i 1
i
i
Ejemplo.- Utilizando la cuadratura de GaussLegendre (n=2), estime la siguiente integral:
I 
1.5

1
e
t 2
dt
Solución.- a=1 y b=1.5
(1.5  1) x  (1.5  1) 0.5 x  2.5 x  5


2
2
4
t
1 .5

1
e t dt   e
2

1
 x 5 


 4 
1
F ( x)  e
1
1
 x 5 


 4 
2
2
dt 
1 4 dx
1
 
4
F ( x)dx  c1 F ( x1 )  c2 F ( x2 )
  1F 0.5773502692
I  1F  0.5773502692
I  0.1094002612
dx
4