Transcript polinomio de Hermite.

INTERPOLACIÓN DE
HERMITE
INTEGRANTES:
ARIANA PAZ CIRILO
LADY DIANA ARELLANO AGUILAR
Interpolación de Hermite
Sean x0 ,x1,….,xn y n+1 números distintos en [a,b] y
mi un entero no negativo asociado a xi para i=0,1,
…, n. Supóngase que f ϵ 𝐶 𝑚 [a,b] y que
m=max0<=i<=n mi.
El polinomio osculante que aproxima f es el
polinomio P(x) de menor grado tal que
Interpolación de Hermite
Cuando n=0 el polinomio osculante que
aproxima f es el polinomio de Taylor m0-esimo
para f en x0. Cuando mi =0 para cada i, el
polinomio osculante es el polinomio de
Lagrange de grado n que interpola f en
x0,x1,….,xn . Cuando mi =1 para cada
i=0,1,….,n
Se produce una clase de polinomio
denominado polinomio de Hermite.
Interpolación de Hermite
En una función dada f, estos últimos
concuerdan con f en x0 ,x1,….,xn.
Como sus primeras derivadas concuerdan
con las de f tendrán la misma forma que la
función en (xi, f(xi)), en el sentido de que
las líneas tangentes al polinomio coinciden
con la función.
Polinomio de Hermite
 Si f ϵ 𝐶 1 [a,b] y si x0 ,x1,….,xn ϵ [a,b] son distintos,
el polinomio único de menor grado que concuerda
con f y f’ en x0 ,x1,….,xn es el polinomio de Hermite
de grado a lo mas 2n+1 que esta dado por
Polinomio de Hermite
 Dentro de este contexto Ln,j(x) denota el j-esimo
polinomio de Lagrange de grado n.
 Si f ϵ 𝐶 2𝑛+2 [a,b] entonces para x ϵ [a,b]
Algoritmo de Hermite
ENTRADA Los números x0 ,x1,….,xn; valores f(x0) ,…,f(xn) y f’(x0)….f’(xn)
SALIDA los números Q 0,0 ,Q 1,1,…,Q 2n+1,2n+1 donde
H(x)= Q 0,0 + Q 1,1 (x- x0 )+Q 2,2 (x- x0)^2+ Q 3,3 (x- x0)^2 (x- x1 )+Q 4,4 (x- x0)^2 (x- x1
)^2+…+Q 2,n+1,2n+1 (x- x0)^2 (x- x1 )^2…..(x- xn-1 )^2(x-xn)
Paso 1: Para i=0,1,…,n haga paso 2 y3
paso 2 Sea z2i =xi
z2i+1 =xi
Q2i,0= f(xi)
Q2i+1,0= f(xi)
Q2i+1,1= f’(xi)
paso 3 Si i ≠ 0 entonces tome
Q2i,1= Q2i,0-Q2i-1,0 / z2 - z2i-1
Paso 4 Para i=2,3,…,2n+1
para j=2,2,….i tomar
Qi,j= Qi,j-1-Qi-1,j-1 / zi - zi-j
Paso 5 Salida (Q0,0 , Q1,1,…..,Q2n+1,2n+1)
pare
 Ejemplo
 Utiliza el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la
siguiente tabla para obtener una aproximación de f(1.5)
 Paso 1 Calcule el polinomio de Lagrange y sus
derivadas
 Paso 2. Desarrolle el polinomio de Hermite y su derivado
Programa en Matlab de
Interpolación de Hermite
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X=input('Ingrese los valores de x='); % en forma de vector
Y=input('Ingrese los valores de f(x)='); % en forma de vector
DF=input('Ingrese los valores de la derivada de f(x)='); % en forma de vector
x=input(‘Ingrese el valor a interpolar’ = );
n=length(X);
Q=zeros(2,n);
for i=1:n
z(2*i-1)=X(i);
z(2*i)=X(i);
Q(2*i-1,1)=Y(i);
Q(2*i,1)=Y(i);
Q(2*i,2)=DF(i);
if i~=1
Q(2*i-1,2)=(Q(2*i-1,1)-Q(2*i-2,1))/(z(2*i-1)-z(2*i-2));
end
end
for i=3:2*n
for j=3:i
Q(i,j)=(Q(i,j-1)-Q(i-1,j-1))/(z(i)-z(i-j+1));
end
end
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syms x
Fx=Q(1,1);
%Diferencias divididas
for p=1:numel(X)-1
L=1;
%Multiplicación de los polinomios
for k=1:p
L=L*(x-X(k));
end
Fx=Fx+L*Q(p+1,p+1);
end
%Aproximacion del Polinomio resultante
val=eval(Fx);
disp(val);