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Los Métodos Numéricos
Ajuste de Curvas
Métodos mas utilizados
REGRESION
INTERPOLACION
Los Métodos Numéricos REGRESION
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
x
Pm(x)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Distancia mínima
x
x
(xn,yn)
x
(x0,y0)
Objetivo: Obtener un polinomio o función que relaciones x e y
Los Métodos Numéricos REGRESION
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•Causa una suavización de la curva formada por un conjunto de datos y elimina
en algún grado los errores de observador, de medición, de registro, de
transmisión y de conversión
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)
También se tiene un polinomio de grado m, con m<n de la forma
m
Pm ( x) a0 x a1 x a2 x am x ai x i
0
1
2
m
i 0
Como los puntos (xi,yi), son datos se evalúa los cuadrados de los residuos
para obtener los coeficientes del polinomio P(x) de la forma que:
n
2
n
Q ri 2 Pm ( xi ) yi
i 0
i 0
Sea m=2 entonces
n
Sea mínima
P2 ( x) a0 a1x a2 x2
2
n
Q Pm ( xi ) yi 0
2
Q yi (a0 a1 xi a2 xi2 ) 0
i 0
i 0
n
Q
2 yi (a0 a1 xi a2 x i2 ) 0
a0
i 0
n
Q
2 xi yi (a0 a1 xi a2 x i2 ) 0
a1
i 0
n
Q
2 xi2 yi (a0 a1 xi a2 x i2 ) 0
a2
i 0
y ( a
n
i
i 0
0
a1 xi a2 x i2 ) yi a 0 a1 xi a 2 x i2 0
n
2
2
3
x
y
(
a
a
x
a
x
)
x
y
a
x
a
x
a
x
i
i i 0 1i 2
i i 0 i 1 i 2 i 0
i 0
x y ( a
n
2
i 0
i
i
0
a1 xi a2 x i2 ) x i2 yi a 0 x i2 a1 x 3i a 2 x i4 0
2
y
a
a
x
a
x
i 0 1i 2i
x y a x a x a x
x y a x a x a x
2
i
i
0 i
2
i
n 1
xi
x
i
1
i
2
i
0
i
2
i
3
i
i
3
1
i
x x
x x
x x
3
2
i
2
4
i
a0 yi
3
a
x
y
i i
1
i
4
x2 y
a
2
i i
i
2
i
CASO GENERAL
n 1 xi
2
xi x i
x 2 x 3
i
i
xm
i
2
x
i
3
xi
4
x
i
m
x
i a0 yi
m 1
x
a
i 1 xi yi
2
m 2
x i a2 x i yi
m
a
x
.. x i2 m
m i yi
C a b
1
a C b
Ejemplo:
Se tiene la siguiente secuencia de datos:
X
Y
0.0
1.7
1.0
0.3
2.0
5.6
3.0
7.8
4.0
10.
5.0
11.
15
10
Y
5
0
0
2
4
X
6
8
6.0
12.
7.0
14.
Se prueba un polinomio de 2º
P2 ( x) a0 a1x a2 x2
m=2
x x
x x
x x
n 1
xi
x
i
i
2
i
3
i
a0 yi
3
a
x
y
1
i
i
i
4
2
a
i 2
x i yi
2
i
n 1 9
x
y
i
28
i
61.4
x
x y
2
i
i
i
140
292.9
x 784 x
x y 1597
4
i
i
4676
2
i
28 140 a0 61.4
9
28 140 784 a 292.9
1
140 784 4676 a2 1597
i
15
10
P 2( x)
a0 0.115
a
2
.
879
1
a 0.145
2
P( x) 0.115 2.879x 0.145x
3
Y
5
0
2
5
0
2
4
x X
6
8
Se prueba un polinomio de 3º
P3 ( x) a0 a1x a2 x a3 x
2
3
m=3
n 1
xi
x
i
x 3i
x
x
x
x
x
x
x
x
i
2
i
3
i
4
i
2
i
3
i
4
i
5
a0 yi
4
xy
a
i i
i 1
5
x2 y
a
i i
2
3
6
a3
x
yi
i
x
x
x
x
3
i
n 1 9
x
y
i
28
i
61.4
9
28
140
784
784 a0 61.4
140 784
4676 a1 292.9
784 4676
29008 a2 1597
4676 29008 184820 a3 9321.7
28
x 140 x 784 x 467 x 29008
x y 292.9
x y 1597 x y 9321.7
2
3
4
5
i
i
i
i
2
i
i
i
x
6
i
184820
3
i
i
140
i
15
10
P 2( x)
a0 0.446
a 1.519
1
a
0
.
408
2
0.054
a 4
P( x) 0.446 1.519x 0.408x 2 0.054x 3
P 3( x) 5
Y
0
5
0
2
4
x x X
6
8
¿Cual de las soluciones es mejor?
La forma intuitiva para determinar cual de las curvas es la que mejor
representa el comportamiento de los datos, nos indica que la suma de las
distancias al cuadrado sea lo mas próxima a cero.
2
n
n
i 0
i 0
Q ri 2 Pm ( xi ) yi
2
n
R2
P ( x ) y
m
i 0
i
n
i
y y
i 0
Coeficiente de correlación
2
i
R cuadrática
R cúbica
=0.9426
=0.9492
F(x)
Regresión lineal:
P1 ( x) a0 a1 x
x
n
2
Q Pm ( xi ) yi 0
i 0
n
Q
2 yi (a0 a1 xi ) 0
a0
i 0
n
Q
2 xi yi (a0 a1 xi 0
a1
i 0
2
n
Q yi (a0 a1 xi ) 0
i 0
n 1
xi
x a y
x a x y
a0 n 1
a1 xi
i
2
i
i
0
i
1
i
1
x y
x x y
i
2
i
i
i
i
Interpretación física de las constantes de la regresión:
Marco de estudio: Análisis de costos, por ejemplo la variable independiente,
corresponde a la cantidad de productos y la variable dependiente
corresponde a los costos asociados:
Ejemplo:
Se ha adquirido un aditivo para la electro-refinación de la forma dada en los
siguientes datos:
Costo
Cantidad
11
5
12
6
14
8
20
a0 1.363
f( x)
Y
10
a1 1.624
0
0
5
x X
10
5
2
13
8
14
7
15
9
$ 1.363
es el costo fijo
$ 1.624
es el costo marginal
Utilización de programa de tipo Comercial
EXCEL
Solución del ejemplo anterior:
Datos:
Costo
Cantidad
11
5
12
6
Paso 1.- Ingresar datos al Excel
14
8
5
2
13
8
14
7
15
9
Picar par hacer grafico
Selección del tipo de datos a graficar regresión
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
Aproximación polinomial mediante polinomio de newton
x
Pn(x)
x
x
x
x
(xn,yn)
x
(x0,y0)
Objetivo: Obtener un polinomio que relaciones x e y
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes polinomios f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•La función polinomial obtenida pasa por cada uno de los puntos o evaluaciones
de función inicial g(x)
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)
También se tiene un polinomio de grado m, con m=n-1 de la forma
m
Pm ( x) a0 x 0 a1 x1 a2 x 2 am x m ai x i
i 0
Como se tienen n puntos, el polinomio de ajuste debe ser de grado n-1 y
como debe pasar por todos aquellos puntos se debe cumplir que:
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),
( xn 1 , yn 1 ), ( xn , yn )
y0 a0 a1 x0 a2 x02 an 1 x0n
y1 a0 a1 x1 a2 x12 an 1 x1n
yn a0 a1 xn a2 xn2 an 1 xnn
1 x0
1 x1
1 xn 1
1 x
n
x02
x12
xn21
xn2
x0n a0 y0
n
x1 a1 y1
n
xn 1 an 2 yn 1
n
xn an 1 yn
X a y
Se obtienen los coeficientes invirtiendo la matriz:
a X y
1
Sea n=3
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
y0 a0 a1 x0 a2 x02
y1 a0 a1 x1 a2 x12
y2 a0 a1 x2 a2 x22
P2 ( x) a0 a1x a2 x2
1 x0
1 x1
1 x2
x02 a0 y0
x12 a1 y1
x22 a2 y2
x02 ( y1 x2 y2 x1 ) x12 ( y0 x2 y2 x0 ) x22 ( y1 x0 y0 x1 )
a0
( x2 x1 )(x2 x0 )(x0 x1 )
x02 ( y1 y2 ) x12 ( y2 y0 ) x22 ( y0 y1 )
a1
( x2 x1 )(x2 x0 )(x0 x1 )
a2
x0 ( y2 y1 ) x1 ( y0 y2 ) x2 ( y1 y0 )
( x2 x1 )(x2 x0 )(x0 x1 )
Ejemplo:
Se tienen 3 puntos con los valores dados en la tabla I, Determine el polinomio
de interpolación.
X
Y
1
3.78
3
20,56
4
35,67
Solución:
Como se tienen 3 puntos, el polinomio debe ser cuadrático de la forma:
P2 ( x) a0 a1x a2 x2
60
1 1 1 a0 3.78
1 3 9 a 20.56
1
1 4 16 a2 36.67
P2 ( x) 2.11 0.57x 2.24x
40
f( t )
y
20
2
0
0
2
tx
4
Problemas frecuentes con polinomios de alto orden:
Se tienen 6 puntos, por lo tanto se debe interpolar un polinomio de grado 5
X
Y
1
3.78
3
20,56
4
17,67
5
17.25
6
32.3
7
3.56
y3 23.25
P5 ( x) a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 a5 x5
P 5( z )
40
40
30
30
20
P 5( z )
Y
20
Y
10
10
0
0
10
1
2
3
4
zX
5
6
7
10
1
2
3
4
zX
5
6
7
Ejemplo:
Se desea determinar el caudal que tiene una bomba de agua; para lograrlo en
forma experimental, se ha diseñado el siguiente esquema:
1.- Se preparan 5 tambores de 200 litros de capacidad
2.- Se llenan sin cortar el flujo y se toma el tiempo de llenado de cada tambor
El resultado obtenido es:
Tambor
Tiempo (s)
1
5.0
2
9.0
3
12.0
4
14.9
5
17.7
Solución:
Se escribe la tabla anterior en función de los litros de agua y no en función del
número de tambores:
Caudal (litros)
Tiempo (s)
200
5.0
400
9.0
600
12.0
800
14.9
1000
17.7
Como se tienen 6 puntos se debe interpolar con un polinomio de grado 5
1500
1000
P 5( x)
Y
500
0
0
5
10
15
20
x X
P5 ( x) 61.071x 12.485x2 1.891x3 0.105x4 0.002x5
Caudal de bomba
1200
1000
800
P 5( x)
Y
600
dP 5( x)
400
200
0
0
5
10
x X x
15