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Los Métodos Numéricos
Ajuste de Curvas
Métodos mas utilizados
REGRESION
INTERPOLACION
Los Métodos Numéricos REGRESION
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
x
Pm(x)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Distancia mínima
x
x
(xn,yn)
x
(x0,y0)
Objetivo: Obtener un polinomio o función que relaciones x e y
Los Métodos Numéricos REGRESION
Aproximación polinomial por mínimos cuadrados
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•Causa una suavización de la curva formada por un conjunto de datos y elimina
en algún grado los errores de observador, de medición, de registro, de
transmisión y de conversión
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)
También se tiene un polinomio de grado m, con m<n de la forma
m
Pm ( x)  a0 x  a1 x  a2 x    am x   ai x i
0
1
2
m
i 0
Como los puntos (xi,yi), son datos se evalúa los cuadrados de los residuos
para obtener los coeficientes del polinomio P(x) de la forma que:
n
2
n
Q   ri 2  Pm ( xi )  yi 
i 0
i 0
Sea m=2 entonces
n
Sea mínima
P2 ( x)  a0  a1x  a2 x2
2
n
Q   Pm ( xi )  yi   0


2
Q   yi  (a0  a1 xi  a2 xi2 )  0
i 0
i 0


n
Q
 2 yi  (a0  a1 xi  a2 x i2 )  0
a0
i 0




n
Q
 2 xi yi  (a0  a1 xi  a2 x i2 )  0
a1
i 0
n
Q
 2 xi2 yi  (a0  a1 xi  a2 x i2 )  0
a2
i 0
 y  ( a
n
i
i 0
0

 a1 xi  a2 x i2 )   yi   a 0  a1 xi  a 2 x i2  0

n

2
2
3
x
y

(
a

a
x

a
x
)

x
y

a
x

a
x

a
x
i
i i 0 1i 2
 i i  0 i  1 i  2 i 0
i 0
 x y  ( a
n
2
i 0
i
i
0

 a1 xi  a2 x i2 )   x i2 yi   a 0 x i2   a1 x 3i  a 2 x i4  0
2
y

a

a
x

a
x
 i  0  1i  2i
 x y   a x   a x  a x
 x y   a x   a x  a x
2
i
i
0 i
2
i
 n 1

  xi
 x
i

1
i
2
i
0
i
2
i
3
i
i
3
1
i
x x
x x
x x
3
2
i
2
4
i
 a0    yi 

 
3 
a

x
y



 i i
1
i 
4 
  x2 y 
a
2

  i i 
i 
2
i
CASO GENERAL
 n  1  xi

2
  xi  x i
 x 2  x 3
i
i


 xm 
 i
2
x
 i
3
 xi 
4
x
 i

m
x
 i   a0    yi 
m 1 

x
a
 i   1    xi yi 



2
m 2  
 x i   a2    x i yi 
  

     
m

a

x
.. x i2 m  
 m   i yi 

C a  b
1
a  C  b
Ejemplo:
Se tiene la siguiente secuencia de datos:
X
Y
0.0
1.7
1.0
0.3
2.0
5.6
3.0
7.8
4.0
10.
5.0
11.
15
10
Y
5
0
0
2
4
X
6
8
6.0
12.
7.0
14.
Se prueba un polinomio de 2º
P2 ( x)  a0  a1x  a2 x2
m=2
x x
x x
x x
 n 1

  xi
 x
i

i
2
i
3
i
 a0    yi 

 
3 
a

x
y





1
i
i
i 
4 
2

a  
i  2 
 x i yi 
2
i
n 1  9
x
y
i
 28
i
 61.4
x
x y
2
i
i
i
 140
 292.9
 x  784  x
 x y  1597
4
i
i
 4676
2
i
28 140  a0   61.4 
 9
 28 140 784   a   292.9


 1  
140 784 4676 a2   1597
i
15
10
P 2( x)
a0   0.115 
  

a

2
.
879
 1 

a   0.145
 2 

P( x)  0.115 2.879x  0.145x
3
Y
5
0
2
5
0
2
4
x X
6
8
Se prueba un polinomio de 3º
P3 ( x)  a0  a1x  a2 x  a3 x
2
3
m=3
 n 1

  xi
 x
i

 x 3i
x
x
x
x
x
x
x
x
i
2
i
3
i
4
i
2
i
3
i
4
i
5
 a0    yi 
4 
  xy
a
 i i 
i  1 

5 
  x2 y 
a
 i i
2
  
3
6 
 a3 
x
yi 
 

i


x
x
x
x
3
i
n 1  9
x
y
i
 28
i
 61.4
 9
 28

140

784
784  a0   61.4 
140 784
4676   a1  292.9 
 

784 4676
29008  a2   1597 

4676 29008 184820 a3  9321.7
28
 x  140  x  784  x  467  x  29008
 x y  292.9
 x y  1597  x y  9321.7
2
3
4
5
i
i
i
i
2
i
i
i
x
6
i
 184820
3
i
i
140
i
15
10
P 2( x)
a0  0.446 
 a  1.519 
 1 

 

a
0
.
408
 2 


 0.054

a 4 
 
P( x)  0.446 1.519x  0.408x 2  0.054x 3
P 3( x) 5
Y
0
5
0
2
4
x x X
6
8
¿Cual de las soluciones es mejor?
La forma intuitiva para determinar cual de las curvas es la que mejor
representa el comportamiento de los datos, nos indica que la suma de las
distancias al cuadrado sea lo mas próxima a cero.
2
n
n
i 0
i 0
Q   ri 2  Pm ( xi )  yi 
2
n
R2 
 P ( x )  y 
m
i 0
i
n
i
 y  y 
i 0
Coeficiente de correlación
2
i
R cuadrática
R cúbica
=0.9426
=0.9492
F(x)
Regresión lineal:
P1 ( x)  a0  a1 x
x
n
2
Q   Pm ( xi )  yi   0
i 0
n
Q
 2  yi  (a0  a1 xi )  0
a0
i 0
n
Q
 2 xi  yi  (a0  a1 xi   0
a1
i 0
2
n
Q   yi  (a0  a1 xi )  0
i 0
 n 1

 xi
 x  a     y 
 x   a   x y 
a0   n  1
 
 a1   xi
i
2
i
i
0
i
1
i
1
 x    y 
 x   x y 
i
2
i
i
i
i
Interpretación física de las constantes de la regresión:
Marco de estudio: Análisis de costos, por ejemplo la variable independiente,
corresponde a la cantidad de productos y la variable dependiente
corresponde a los costos asociados:
Ejemplo:
Se ha adquirido un aditivo para la electro-refinación de la forma dada en los
siguientes datos:
Costo
Cantidad
11
5
12
6
14
8
20
a0  1.363
f( x)
Y
10
a1  1.624
0
0
5
x X
10
5
2
13
8
14
7
15
9
$ 1.363
es el costo fijo
$ 1.624
es el costo marginal
Utilización de programa de tipo Comercial
EXCEL
Solución del ejemplo anterior:
Datos:
Costo
Cantidad
11
5
12
6
Paso 1.- Ingresar datos al Excel
14
8
5
2
13
8
14
7
15
9
Picar par hacer grafico
Selección del tipo de datos a graficar regresión
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
Aproximación polinomial mediante polinomio de newton
x
Pn(x)
x
x
x
x
(xn,yn)
x
(x0,y0)
Objetivo: Obtener un polinomio que relaciones x e y
Los Métodos Numéricos INTERPOLACION
El concepto
•Forma de aproximar una función g(x) a diferentes polinomios f(x).
•Nos proporciona información acerca de las relaciones existentes entre x e y
•La función polinomial obtenida pasa por cada uno de los puntos o evaluaciones
de función inicial g(x)
Se tiene una secuencia de datos dados por n puntos de la forma (xi,yi)
También se tiene un polinomio de grado m, con m=n-1 de la forma
m
Pm ( x)  a0 x 0  a1 x1  a2 x 2    am x m   ai x i
i 0
Como se tienen n puntos, el polinomio de ajuste debe ser de grado n-1 y
como debe pasar por todos aquellos puntos se debe cumplir que:
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),

( xn 1 , yn 1 ), ( xn , yn )
y0  a0  a1 x0  a2 x02    an 1 x0n
y1  a0  a1 x1  a2 x12    an 1 x1n

yn  a0  a1 xn  a2 xn2    an 1 xnn
1 x0

1 x1
 

1 xn 1
1 x
n

x02
x12

xn21
xn2
x0n   a0   y0 
 

n 
 x1   a1   y1 

 





 
 

n 
 xn 1  an  2   yn 1 

 

n 
 xn   an 1   yn 

X a  y
Se obtienen los coeficientes invirtiendo la matriz:
a  X  y
1
Sea n=3
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )
y0  a0  a1 x0  a2 x02
y1  a0  a1 x1  a2 x12
y2  a0  a1 x2  a2 x22
P2 ( x)  a0  a1x  a2 x2
1 x0

1 x1
1 x2

x02  a0   y0 
   
x12   a1    y1 
x22  a2   y2 
 x02 ( y1 x2  y2 x1 )  x12 ( y0 x2  y2 x0 )  x22 ( y1 x0  y0 x1 )
a0 
( x2  x1 )(x2  x0 )(x0  x1 )
x02 ( y1  y2 )  x12 ( y2  y0 )  x22 ( y0  y1 )
a1 
( x2  x1 )(x2  x0 )(x0  x1 )
a2 
x0 ( y2  y1 )  x1 ( y0  y2 )  x2 ( y1  y0 )
( x2  x1 )(x2  x0 )(x0  x1 )
Ejemplo:
Se tienen 3 puntos con los valores dados en la tabla I, Determine el polinomio
de interpolación.
X
Y
1
3.78
3
20,56
4
35,67
Solución:
Como se tienen 3 puntos, el polinomio debe ser cuadrático de la forma:
P2 ( x)  a0  a1x  a2 x2
60
1 1 1  a0   3.78 
1 3 9   a   20.56


 1  
1 4 16 a2  36.67
P2 ( x)  2.11 0.57x  2.24x
40
f( t )
y
20
2
0
0
2
tx
4
Problemas frecuentes con polinomios de alto orden:
Se tienen 6 puntos, por lo tanto se debe interpolar un polinomio de grado 5
X
Y
1
3.78
3
20,56
4
17,67
5
17.25
6
32.3
7
3.56
y3  23.25
P5 ( x)  a0  a1x  a2 x2  a3 x3  a4 x4  a5 x5
P 5( z )
40
40
30
30
20
P 5( z )
Y
20
Y
10
10
0
0
10
1
2
3
4
zX
5
6
7
10
1
2
3
4
zX
5
6
7
Ejemplo:
Se desea determinar el caudal que tiene una bomba de agua; para lograrlo en
forma experimental, se ha diseñado el siguiente esquema:
1.- Se preparan 5 tambores de 200 litros de capacidad
2.- Se llenan sin cortar el flujo y se toma el tiempo de llenado de cada tambor
El resultado obtenido es:
Tambor
Tiempo (s)
1
5.0
2
9.0
3
12.0
4
14.9
5
17.7
Solución:
Se escribe la tabla anterior en función de los litros de agua y no en función del
número de tambores:
Caudal (litros)
Tiempo (s)
200
5.0
400
9.0
600
12.0
800
14.9
1000
17.7
Como se tienen 6 puntos se debe interpolar con un polinomio de grado 5
1500
1000
P 5( x)
Y
500
0
0
5
10
15
20
x X
P5 ( x)  61.071x 12.485x2 1.891x3  0.105x4  0.002x5
Caudal de bomba
1200
1000
800
P 5( x)
Y
600
dP 5( x)
400
200
0
0
5
10
x X  x
15