Transcript lgebra2 - Red de Profesores de Matemática

ÁLGEBRA
y
El poder generalizador de los
SIMBOLOS
VEAMOS LA SIGUIENTE SITUACIÓN:
“La edad de mi padre equivale a tres
veces, mi edad aumentada en 5
años”
¿Cómo se puede escribir matemáticamente
esta situación?
OBJETIVOS
• Conocer
algebra:
conceptos
básicos
de
- Término Algebraico:

Coeficiente Numérico

Factor Literal

Grado

Signo
- Expresión Algebraica
•
Clasificar expresiones algebraicas
•
Operar con expresiones algebraicas
Contenidos
1. Definiciones
1.1 Término algebraico
1.2 Expresión algebraica
1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas
1.4 Términos semejantes
2. Operaciones algebraicas
2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos
Semejantes)
1. Definiciones
1.1 Término Algebraico
Es la relación entre números y letras donde
intervienen operaciones como la multiplicación,
división, potencias y/o raíces.
Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor
literal” y el “grado”.
Coeficiente
Numérico
5 + 8 = 13
23x5y8
Factor Literal
Grado
Ejemplos:
mn3p,
Obs:
1) 1x=x
3a4b,
5p,
2q
7
1.2 Expresión algebraica
Es la relación entre términos algebraicos,
separados solo por la adición y/o sustracción.
Ejemplos:
1)
9x7 – 4 5y
2)
5m2 + 2ab3 – 4p + 3q
3)
6x4y5 + 3pq – 7m 2
1.3 Clasificación:
Monomio
Expresión algebraica que consta de un término
algebraico.
Ejemplos: 1) 36x5,
2) 8ab3,
3) 73p4q2
Polinomio
Expresión algebraica que consta de dos o más
términos algebraicos.
1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
Ejemplo: 2m3n4 + 7ab
2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos
algebraicos.
Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7
3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres
Ejemplo:
términos algebraicos.
3x – 2y + 3yx – 4z + 6
1.4 Términos Semejantes
Son aquellos términos algebraicos, o monomios
que tienen los mismos factores literales.
Ejemplo:
- Los términos
- Los términos
7m3n y 2m3n
3p2
y
9p5
son semejantes.
NO son semejantes.
2. Operaciones algebraicas
2.1 Adición y Sustracción
Sólo pueden ser sumados o restados los
coeficientes numéricos de los términos semejantes,
es decir, se reducen sólo los coeficientes
numéricos, el factor literal permanece inalterable.
Ejemplo:
mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p
= – 3mn5p
Ejercitemos lo aprendido:
Reducir los términos semejantes:
1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =
2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =
2.2 Multiplicación:
El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente
y factor literal con factor literal y sumando exponente de las
variables iguales)
• Monomio por monomio:
Se multiplican los coeficientes numéricos y
los factores literales entre sí.
Ejemplo: 6a ∙ 3ab = 18a2b
• Monomio por polinomio:
Se multiplica el monomio por cada término
del polinomio.
Ejemplo:
5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) =
10p4q4
+ 20p2q8 – 30p2q4
• Polinomio por Polinomio:
Se multiplica cada término del primer polinomio por
cada término del segundo polinomio.
Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor
literal y sumando exponente de las variables iguales.
Ejemplo:
(2x + y)(3x + 2y) = 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2
= 6x2 + 7xy + 2y2
Ejemplo:
¿Cómo se resuelve correctamente?
1.
(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21
=x² + 10x + 21
(Reduciendo términos semejantes)
• Producto de binomio con factor común:
(ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c
Ejemplo 1:
Aplicando la fórmula...
(3x + 4)∙(3x + 2) =
(3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2
Desarrollando...
= 9x2 + 18x + 8
Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios
tienen un término en común.
Ejemplo 2:
Aplicando la fórmula...
(y - 4)∙(y + 2) =
y2 + (-4 + 2)y - 4∙2
Desarrollando...
= y2 – 2y - 8
2.1 Productos Notables
Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas
características que permiten llegar al resultado, sin realizar
todos los pasos de la multiplicación.
• Cuadrado de Binomio:
(I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2
(I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2
Ejemplo:
(5x – 3y)2 =
(5x)2 - 2(5x∙3y)
= 25x2
- 30xy
+ (3y)2
+ 9y2
La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener
geométricamente:
a
b
a
a2
ab
b
ab
b
a
b
2
a
b
• Suma por su diferencia:
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
(5x + 6y)∙(5x – 6y) =
(5x)2 – (6y)2
= 25x2 – 36y2
• Cubo de binomio:
(I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3
(I - II)3 = I3 – 3*I2*II + 3*I*II2 - II3
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
(3x – 2y)3 =
(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
Desarrollando potencias...
= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3
Multiplicando...
= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3
• Cuadrado de trinomio:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2x + 3y + 4z)2 = ?
Aplicando la fórmula...
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)
Desarrollando...
= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz
2.4 Factorización
Consiste en escribir una expresión algebraica en
forma de multiplicación.
• Factor común:
Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una
expresión en la cual todos los términos tienen algo en común
(puede ser un número, una letra, o la combinación de los
dos).
Ejemplo:
Al descomponer...
2xy + 4xy2 – 6x2y =
2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
(El factor común es : 2xy)
= 2xy(1 + 2y – 3x)
• Factor común compuesto:
Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos
tienen un factor común, se agrupan convenientemente
obteniendo factores comunes en cada grupo.
Ejemplo:
Factorizar:
xz + xw + yz + yw =
Agrupando...
= (xz + xw) + (yz + yw)
Factorizando por partes...
= x(z + w) + y(z + w)
Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...
= (z + w)(x + y)
• Diferencia de cubos:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Ejemplo:
8x3 – 64y3 =
(2x)3 – (4y)3
Aplicando la fórmula...
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
Desarrollando...
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
• Suma de cubos:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Ejemplo:
27x3 + 8y3 =
(3x)3 + (2y)3
Aplicando la fórmula...
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
Desarrollando...
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)
• Reconocer productos notables:
Ejemplos:
1) 36a2 – 81y2 =
(6a + 9y)(6a – 9y)
Ambos términos son cuadrados perfectos,
corresponde a una suma por diferencia.
2)
x2 + 5x + 6 =
(x + 2)(x + 3)
Corresponde a un producto de binomios con un
término común..
2.5 División
Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas
mediante productos, es decir, factorizar.
Ejemplos:
1) Si x2 – 25  0, entonces
Factorizando...
x2 + x - 20
x2 - 25
=
(x + 5)(x – 4)
(x + 5)(x – 5)
Simplificando...
=
(x – 4)
(x – 5)
Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:
(x – 4)
(x – 5)
2) Si a  b y a  - b, entonces
Factorizando y simplificando
(a + b)2 :
a2 - b2
1
a-b
(a + b)(a + b)
=
(a + b)(a – b)
Dividiendo:
=
=
(a + b)
(a – b)
(a + b)
(a – b)
= (a + b)
:
1
a-b
∙
a-b
1
:
1
a-b
3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
• Entre monomios:
Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.
Ejemplo 1:
El m.c.m. entre:
es:
3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
18x5y3z6
Ejemplo 2:
El m.c.m. entre:
es:
x4y2z3 , x2y , xy6z
x4y6z3
• Entre polinomios:
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe
factorizar previamente.
Ejemplo:
Determinar el m.c.m. entre:
x2 + x
Factorizando...
x(x +1)
m.c.m. :
y
x2 + 2x +1
(x +1)2
x(x +1)2
4. Máximo común divisor (M.C.D.)
• Entre monomios:
Corresponde a los factores comunes con su menor
exponente.
Ejemplo 1:
El M.C.D. entre:
es:
3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
3y
Ejemplo 2:
a4b2, a5bc y a6b3c2
es: a4b
El M.C.D. entre:
• Entre polinomios:
El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe
factorizar previamente.
Ejemplo:
Determinar el M.C.D. entre:
x2 + x
Factorizando...
x(x +1)
M.C.D. :
y
x2 + 2x +1
(x +1)2
(x +1)
Ejercitemos
¿Cómo se resuelve correctamente?
1. “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q
aumentada en 5 años” se puede expresar como
Sea:
P: edad de mi padre
Q: mi edad
Luego, el enunciado se puede expresar como
P = 3(Q + 5)
Responsables:
Prof. Isaías Correa M
Prof. Rodrigo González P.