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EXPRESIONES ALGEBRÁICAS
Y POLINOMIOS
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito
el Universo.
GALILEO GALILEI
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Para un buen desempeño con el tema de las expresiones algebraicas,
es necesario un buen dominio en las propiedades y operaciones con
números reales.
2. Tener muy en cuenta la ley de los signos.
3. Tener buena habilidad y destreza en realización de cálculos en los que
intervienen operaciones con signos de agrupación.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Una expresión algebraica es una
combinación de números y letras relacionados mediante operaciones
aritméticas. Adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación
Expresión algebraica
3y – 2xy + 8
términos
La expresión algebraica esta
conformada por TÉRMINOS
Nuestra expresión Algebraica
modelo está conformada por tres
términos: (3y ), (-2xy), (8)
Entonces, UN TÉRMINO es una expresión algebraica que consta de
un solo símbolo o de varios símbolos separados únicamente por la
multiplicación o la división. Aquí no hay sumas ni restas para
separarlos.
EN EL SIGUIENTE TÉRMINO TENEMOS:
Coeficiente
Signo
Exponente
+3y2
Literal
• GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO: Se
denomina grado absoluto de un término
algebraico a la suma de los exponentes de su
factores literales:
3x3, este término es de grado tres
-5x2y3, es de grado 5, porque la suma de los
exponentes de sus literales es 2 + 3 = 5
• GRADO RELATIVO:
Está dado por el
exponente de la variable considerada.
-5x2y3 : Es de 2º grado con respecto a la
variable x.
-5x2y3: Es de 3er grado con respecto a la
variable y.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones Algebraicas se clasifican de acuerdo al número de
términos que la componen en: MONOMIOS, BINOMIOS, TRINOMIOS Y
POLINOMIOS
MONOMIOS.
Los monomios son expresiones algebraica de un solo término.
Ejemplos:
1) 7xy
2) –0,5xy
3) 4ab
4) -5xyz
5) 52abc
6) 3xz
Debes tener en cuenta que en un monomio hay:
1. un factor numérico que se llama coeficiente , que en los ejemplos
anteriores serían : 7 ,-0.5, 4 ,-5, 52, 3 respectivamente,
2. Una parte constituida por letras y sus exponentes que se llama parte
literal, como son xy, xy , ab, xyz para nuestros ejemplos anteriores.
Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios
semejantes, o simplemente términos semejantes, como son : 5xy2,
-7xy2, 3xy2.
POLINOMIO
Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más
términos algebraicos:
Ejemplos:
1) -7x2 + 4x – 5xy
3) 5a2 + 3ab - ab2 - 2
2) 6x4 - 5x3 + x2 + 4x + 9
4) 6x3 + 2x2 – x +1
De acuerdo a la cantidad de sumandos el polinomio recibe otras
denominaciones que son: Binomio y Trinomio:
BINOMIO
Binomio: es un Polinomio que consta de dos términos.
Ejemplos:
1) 5x2y + 2x2y3
3) 4a2b + 4a3b3
5) 8m3n2 - 2mn2
2) -4x + 3y
4) 6x2y2z - 3xy
6) – 4x -2xy
TRINOMIO
Trinomio: es un Polinomio que consta de tres términos.
Ejemplos:
1) 5x + 6y + 3z
3) 4mn2 + 2m2n – 3mn
5) a2+b2 + 3ab3 + ab
2) –1 + ab + 3a2b
4) -3xy2z + 3x2y2z +x2y2z3
6) x3y2 + xy2 +3xy
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio está determinado por el término de mayor
grado absoluto.
Ejemplo:
2x3y + 5xy2 - x z + 1 es de grado 4,
OBSERVA : el término 2x3y que es de grado 4.
El grado de un polinomio respecto de una variable es el mayor
exponente con que figura dicha variable . Así en el ejemplo anterior es de
grado 3 respecto de x , de grado 2 respecto de y, de grado 1 respecto de z
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Los Polinomios pueden sumarse, restarse,
multiplicarse, dividirse y elevarse a cualquier
potencia real.
Por ejemplo una SUMA de polinomios puede
expresarse como:
P(y) : 2y2 +y-1 y Q(y) : 3y3 + 4y2 - 5
Hallar :P(y) + Q(y)
SUMA y RESTA
1. Solo se pueden sumar o restar TÉRMINOS SEMEJANTES.
2. La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio
semejante a los anteriores y que tiene por coeficiente la suma o resta de
los coeficientes de cada monomio.
3. Si no son semejantes se deja la operación indicada YA QUE NO SE
PODRÁN SUMAR.
EJEMPLO 1: 4 b + b = 5b
EJEMPLO2: 7xy – 3xy = 4xy
EJEMPLO3: - 5xy2 – 3xy2 = - 8xy2
4
+ 1
= 5
EJEMPLO4: 2x3y2 + 2xy =
Se asume, que si no existe un valor
numérico (coeficiente) antes de la letra,
se asume que vale uno (1)
No se pueden sumar, pues
no se cuenta con términos
semejantes
La suma de dos o más polinomios puede realizarse sumando sus
términos semejantes. Esta operación puede hacerse en forma vertical o
en horizontal o fila.
Su representación sería como se presenta a continuación:
P(y) +Q(y)
EJEMPLO: Sume los dos Polinomios siguientes
P(y) : 2y2 +y-1 y Q(y) : 3y3 + 4y2 - 5
Hallar :P(y) + Q(y)
 Primero ordenemos en forma descendente el polinomio P(y), con relación a la
variable y.
 Como segundo paso, es conveniente disponer los polinomios en forma vertical
de tal manera que coincidan los términos semejantes de ambos polinomios, así
obtienes la siguiente presentación y podrás sumarlos más fácilmente:
P(y) :
2y2 + y- 1
Q(y) : +3y3 + 4y2 - 5
P(y) + Q(y): 3y3 + 6y2 + y - 6
EJEMPLO: Resuelve la siguiente suma de polinomios utilizando el
método horizontal:
(3x 3 - 7x + 2) + (7x 2 + 2x - 7)
Para dar solución a este ejercicio, sigue los pasos que se describen a
continuación:
1. Agrupa términos semejantes utilizando las propiedades conmutativa y
asociativa de la adición.
3x 3 +7x 2 + (-7x + 2x) + (2 + (-7))
Sigue
2. Ahora podrás reducir términos semejantes, es decir, súmalos:
3x 3 +7x 2 + (-5x) + 5  3x 3 +7x 2 - 5x + 5. Es tu respuesta
Otro ejemplo:
-8x
3
+ 5x + 3  +  4x 2 + x 3 + 3x 
Realizar la suma de polinomios indicada:
 Para dar solución a esta suma, debes proceder de igual manera que
en el ejemplo anterior:
 8x 3 + 5x + 3
4x 2 + x 3 + 3x
4x 2 - 7x 3 + 8x + 3
Como último paso, debes ordenar el polinomio, esto lo haces teniendo
en cuenta los exponentes de la variable x; entonces
 Ordena de mayor a menor (orden descendente), y te quedará así:
- 7x3 +4x2 +8x +3
RESTA DE POLINOMIOS
EJEMPLO1: Realizar la siguiente resta de monomios: 15x – 10x
Para dar solución debes restar los coeficientes 15 -10, ya que estamos
operando con términos semejantes; por lo tanto, tu respuesta será igual a
5x.
Respuesta: 15x – 10x = 5x
EJEMPLO2: realizar la siguiente resta de polinomios: P(x) – Q(x).
Sea P(x) = (4x3 + 5x - 6) y Q(x) = (3x3 - 2x2 + 7x)
1. Para dar solución a esta resta observemos la siguiente disposición en
forma horizontal: P(x) - Q(x) = (4x3 + 5x - 6) - (3x3 - 2x2 + 7x)= ?
2. Destruye el paréntesis aplicando la ley de signos:
(4x3 + 5x - 6) - (3x3 - 2x2 + 7x)= 4x3 + 5x - 6 - 3x3 + 2x 2 - 7x =
3. Operando con los términos semejantes, se obtiene:
4x3 + 5x - 6 - 3x3 + 2x2 - 7x = x3 + 2x 2 - 2x- 6, Es tu respuesta
EJEMPLO3: Realizar la siguiente resta de polinomios, utilizando la
forma vertical :
(2x2 +4x- 3)- (5x2 - 6)= ?
Para dar solución, observa de nuevo como el signo menos afecta el
sustraendo:
2x 2 + 4x - 3 Minuendo
- 5x 2
 6 Sustraendo
 3x 2  4x  3 Diferencia
No olvides que para restar dos polinomios deben cambiarse
todos los signos al sustraendo y sumar algebraicamente.
EJEMPLO 4: Realizar la siguiente resta utilizando el método horizontal:
(4x2  3xy  2y2 )  (3x2  4y2 )  ?
Para dar solución, no olvides escribir en forma horizontal los polinomios
cuidando de cambiar el signo a los términos del sustraendo.
 Teniendo en cuenta el cambio de los signos, la operación se convierte
en una suma de polinomios:
4x2  3xy  2y2  3x2  4y2 
Ahora, efectúa las operaciones:
4x2  3xy  2y2  3x2  4y2   7x2  3xy  6y2