Polinomio de Legendre

Valeria Flores De La Luz Walberth Hernández Ramírez

Resumen

    Es uno de los ejemplos más importantes de los Polinomios Ortogonales.

Aparecen como soluciones en varios problemas clásicos como:  Aplicaciones matemáticas  Propagación de ondas  Reconocimiento de patrones  Reconstrucción de señales digitales Las soluciones de los polinomios de Legendre son ortogonales en el intervalo [-1, 1].

Tiene la característica de que Pn(1) = 1

 Los polinomios de Legendre surgen como alternativa para solucionar la ecuación diferencial de Legendre, que en su forma canónica se define como: (1-x 2 )y’’ – 2xy’ + λy = 0 donde λ=n(n+1) y n=grado del polinomio   Cuya solución general es la combinación lineal de dos soluciones literalmente independientes: y(x) = Ay 1 (x)+By 2 (x) Toma la forma de y(x) = AP n (x) + BQ n (x)

 Los primeros 6 polinomios de Legendre Pn(x) están representados como:

 Computacionalmente existen varios métodos para implementar los polinomios de Legendre

P

0

(x) = 1

 Para calcular el polinomio cuando n=0 se resuelve la siguiente integral = 2 2 0 +1 = 1

P

1

(x) = x

 P 1 (x) = (x-B) P 0 (x) Donde

𝐵1 =

1 −1 1 −1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

= 0

P 1 (x) = (x-0) * 1 P 1 (x) = x

Para n>=2

Algoritmo

ENTRADA grado n y x

Salida: El valor del polinomio de grado n, evaluado en x

p0=1; p1=x; Si n = 0 return p0; Si n=1 return p1; Para k=1 hasta n pn = (((2*k+1)*x*p1) –(k*p0))/(k+1); p0=p1; p1= pn; Fin_para Imprime pn

Resultados

Interpolación de Legendre

 𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑖=0 𝑥 𝑖 𝑃 𝑛 (𝑥)   𝒚 𝒏 𝒙 = 𝒙 𝒐 𝑷 𝒐 Ejemplo : 𝒙 + 𝒙 𝟏 𝑷 𝟏 𝒙 . . . 𝒙 𝒏 𝑷 𝒏 𝒙  𝑥 0   𝑦 3 𝑦 𝑛 = 1.21

𝑥 1 = 1.23

𝑥 2 = 0.43

𝑥 = 1.21 1 + 1.23 𝑥 + 0.43( 3𝑥 2 −1 2 ) 𝑥 = 1.21 + 1.23𝑥 + 0.64𝑥 2 − 0.21