Transcript Polinomios

Polinomios
Álgebra Superior
Contenido
Operaciones con polinomios
Definición de polinomio
Producto de polinomios
División de polinomio
Teorema del residuo
División sintética
Regla de Horner
Máximo común divisor
Raíces de polinomios
Ecuaciones algebraicas
Teorema de identidad
Teorema fundamental del álgebra
Raíces imaginarias
Relación entre raíces y coeficientes
Obtención de raíces múltiples
Factorización de un polinomio raíces múltiples
Descomposición de un polinomio en factores lineales
Funciones racionales
Fracciones parciales
Definición de polinomio
Un polinomio es una expresión de la forma
a0xn + a1xn–1 + … + an
Donde a0, a1, …, an son números reales o complejos y x es una
variable.
La expresión anterior también se llama función racional de x.
Si a0  0, el polinomio es de grado n y a0xn es el término
principal.
Dos polinomios son iguales si son idénticos término a término,
es decir
a0xn + a1xn–1 + … + an = b0xn + b1xn–1 + … + bn
Si a0 = b0, a1 = b1, …, an = bn, .
Multiplicación de polinomios
Sean los polinomios x2 – x + 1 y x2 + x + 1, el producto se
calcula de la siguiente manera:
(x2 – x + 1)  (x2 + x + 1)
x4 – x3 + x2 )
x3 – x2 + x
x2 – x + 1
x4
+ x2 +
1
Método de coeficientes separados
El producto anterior puede evaluarse sin escribir las potencias de
x.
1–1+1  1+1+1
1–1+1
1–1+ 1
1– 1+1
1 +0 +1+0 + 1
El producto es
x4 + 0 + x2 + 0 + 1 = x4 + x2 + 1
Ejemplo
5x4 – 2x3 – x + 1 y x4 + x2 + 3x + 5,
5–2
0–1 1  1 0 1 3 5
5 – 2 0 –1 1
5 –2
0 –1 1
15 –6 0 –3 3
25 –10 0 –5 5
5 – 2 5 12 20 –11 – 2 – 2 5
El polinomio es
5x8 – 2x7 + 5x6 + 12x5 + 20x4 – 11x3 – 2x2 – 2x + 5
División de polinomios
Sean dos polinomios
f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an
g(x) = b0xm + b1xm–1 + … + bm
Con n>= m. Si hacemos c0 = a0/b0, podemos formar un
polinomio f1 de grado n1<n como
f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x) = (a1– a0b1/b0)xm–1 + … + (a0– a0bm/b0)
Si no es nulo podemos aplicar este proceso con c1 tal que:
f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)
Los grados de los restos parciales f1, f2, … forman una sucesión
decrciente hasta encontrar uno cn nk<m.
División de polinomios (cont.)
f (x) – c0xn–m g(x) = f1(x)
f1(x) – c1xn1–m g(x) = f2(x)
…
fk(x) – ckxnk–m g(x) = fk+1(x)
Poniendo:
c0xn–m + c1xn1–m +…+ ckxnk–m = q(x) y fk+1(x) = r(x)
Obtenemos:
f (x) = g(x) q(x) + r(x)
Ejemplo
Dividir x8 + x7 + 3x4 – 1 por x4 – 3x3 + 4x + 1
Teorema del residuo
El residuo obtenido de la división de f (x) por (x – c), es igual al
valor numérico del polinomio f (x) para x = c.
Demostración. Como el divisor es de primer grado, el residuo
debe ser una constante r. Entonces
f (x) = (x – c)q(x) + r
Evaluando en x = c.
f (c) = (c – c)q(x) + r = r

Aplicaciones
Demostrar que f (x) = x3 + x2 – 5x + 3 es divisible entre x + 3.
f (-3) = (-3)3 + (-3)2 – 5(-3) + 3 = -27 + 9 + 15 + 3 = 0
Por lo tanto el residuo vale 0.
Demostrar que xn – cn es divisible entre x – c.
Debido a que f (c) = cn – cn = 0, es divisible entre x – c.
En que condiciones xn + cn es divisible entre x + c.
(– c)n + cn = cn + cn = 2cn si n es par
(– c)n + cn = –cn + cn = 0 si n es impar
Regla de Ruffini (división sintética)
El cociente de un polinomio entre un factor (x – c) se puede
determinar fácilmente.
f (x) = (x – c) q(x) + r
Donde
q(x) = b0xn–1 + b1xn–2 + … + bn–1
Efectuando la multiplicación se obtiene:
(x – c) q(x) + r = b0xn + (b1 – cb0) xn–1 + (b2 – cb1) xn–2 + …
(bn–1 – cbn-2) x + r – cbn
Esto debe ser igual a
a0xn + a1xn–1 + … + an
Regla de Ruffini (cont.)
Igualando coeficientes
a0 = b0 , (b1 – cb0) = a1, (b2 – cb1) = a2, …, r – cbn = an
Despejando las bes
b0 = a0 , b1 = a1 + cb0, b2= a2 + cb1, …, r = an + cbn–1
Esto suele ordenarse de la siguiente manera
c) a0
a0 = b0
a1
a2 …
cb0
cb1… cbn–2 cbn–1
b1
an
b2 … bn–1
an
r
Ejemplo
Dividir 3x6 – 7x5 + 5x4 – x2 – 6x – 8 por x + 2
Casos especiales
Si se desea dividir entre un factor de la forma ax+b, se aplica
la regla de Ruffini evaluando en x = b/a, el cociente se obtiene
al dividir los valores entre a.
Ejemplo:
x4 + x3 – x2 +1 entre 3x + 2
1
Cociente:
1
-1
0
1 -0.667
-0.667
-0.222 0.8148 -0.543
1
0.3333
-1.222 0.8148
0.3333
0.1111
-0.407 0.2716
x3/3 + x2/9 – 0.407x +0.2716
0.457
Regla de Horner
Se puede escribir cualquier polinomio como un desarrollo de
potencias de (x – c)
xm = [c + (x – c)]m = cm + mcm–1 (x – c) + m(m – 1) cm–1 (x – c)2/2 +
…
f (x) = A0 + (x – c) f1 (x); f1 (x) = A1 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–1
f1 (x) = A1 + (x – c) f2 (x); f2 (x) = A2 + A2(x – c) +…+ An(x – c)n–2
A0 es el residuo de la división de f entre (x – c).
A1 es el residuo de la división de f1 entre (x – c).
Etcétera
Ejemplo de regla de Horner
Desarrolle 4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1 en potencias de x – 1.
4
–6
3
1
–1
–1
4
–2
1
2
1
0
4
2
3
5
6
4
6
9
14
4
10
19
4
14
4
4x5 – 6x4 + 3x3 + x2 – x – 1
= 0 + 6(x – 1)+14(x – 1)2+ 19(x – 1)3+ 14(x – 1)4+ 4(x – 1)5
Máximo común divisor
Sean dos polinomios f y f1. Al dividir f por f1. obtenemos un
cociente q1 y un residuo f2.
f = f 1 q1 + f 2
El proceso podemos extenderlo hasta encontrar un residuo nulo.
f = f 1 q1 + f 2
f 1 = f 2 q1 + f 3
…
fr–2 = fr–1qr–1 + fr
fr–1 = frqr
fr es el divisor común de f y f1.
Máximo común divisor (cont.)
De hecho cualquier múltiplo de fr es también divisor de f y f1.
El algoritmo anterior es el algoritmo de Euclides par
apolinomios.
Ejemplo
Encontrar el mcd de x6 + 2x5 + x3 + 3x2 + 3x + 2 y x4 + 4x3 + 4x2
–x–2
1
2
0
1
3
3
2
1
4
4
-1 -2
-2
-4 2
5
3
-2
-8 -8
2
4
0
4
10
3
-1
2
4
16 16
-4
-8
0
-6
-13 3
10
1
4
1
-2 4
f2 = – 6x3 – 13x3 + 3x + 10
4
-1
-2
f1
x6
1
4
4
-1
-2
6
24
24
-6
-12
6
13
-3
-10
11
27
4
-12
66
162
24
-72
66
143
-33
-110
19
57
38
1
3
2
-6
-13
3
10
-6
-18
-12
5
15
10
5
15
10
0
0
0
f2
f2
-6
-13
x 6 -1
-11
3
10
/ 19
f2
1
3
-6
5
2
Mcd = x2 + 3x + 2
Encontrar el mcd de x5 – x4 – 2x3 + 2x2 + x – 1 y
5x4 – 4x3 – 6x2 + 4x + 1
Raíces de polinomios
Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales o complejos.
Definimos una ecuación algebraica como
f (x) = 0
Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz.
De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama:
lineal, cuadrática, cúbica, etc.
Si c es una raíz de f (x), entonces
f (x) = (x – c) f 1(x)
Donde f 1(x) es un poliniomio de grado n – 1.
Raíces de polinomios
Si c1 es otra raíz de f (x), entonces
(c1 – c) f 1(c1) = 0
De donde f 1(c1) = 0 y f 1(c1) es divisible por (x – c1).
f 1(x) = (x – c1) f 2(x)
Donde f 2(x) es un polinomio de grado n – 2.
Podemos concluir que f (x) será divisible por
(x – c) (x – c1) …(x – cm–1)
Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces
distintas.
Ejemplo
Resolver la ecuación siguiente sabiendo que -1 y 3 son raíces.
x4 – 5x2 – 10x – 6 = 0
–1
–5
–10
–6
1
4
6
–4
–6
0
3
6
6
2
2
0
1 0
–1
3
1 –1
1
La ecuación reducida es x2 + 2x + 2 = 0
Las otras raíces son: –1 + i y –1 – i
El polinomio puede escribirse como
x4 – 5x2 – 10x – 6 = (x – 3)(x + 1) (x +1+i) (x+1–i)
Resuelva 20x3 – 30x2 + 12x – 1 = 0
Si 1/2 es una raíz.
Resuelva 2x4 – x3 – 17x2 + 15x + 9 = 0
Si 1 + √2 y 1 – √2 son raíces.
Resuelva x3 – 2(1 + i)x2 – (1 – 2i)x + 2(1 + 2i) = 0
Si 1 + 2i es raíz.
Teorema fundamental del álgebra
Teorema fundamental. Toda ecuación algebraica con coeficientes
complejos arbitrarios tiene por lo menos una raíz real o
imaginaria.
Sea f (x) un polinomio de grado n, por el TFA existe a1 tal que f
(a1) = 0. Por tanto
f (x) = (x – a1) f 1(x)
El argumento se repite para f 1(x) de tal manera que podemos
escribir:
f (x) = a0(x – a1) (x – a2)…(x – an)
Los alfas no son necesariamente distintos, la factorización puede
ser:
f (x) = a0(x – a)a (x – b)b…(x – l)l
Al hecho de que se repitan las raíces se le llama multiplicidad.
Si a = 1, se dice que es raíz simple.
Si a = 2, se dice que es raíz doble.
Si a = 3, se dice que es raíz triple.
Etc .
Multiplicidad de una raíz
Si desarrollamos el polinomio f (x) en potencias de (x – a) donde a
es una raíz, obtenemos la siguiente serie de Taylor:
f ' a 
f ' ' a 
x - a  
x - a 2 
f  x   f a  
1
1 2
f n  a 
x - a n
 ... 
1·2·3··n
Si es divisible entre (x – a)a se requiere que
f (a) = 0; f ‘(a) = 0; ….f (a–1)(a) = 0; pero f a(a)  0
ejemplo
La ecuación
f (x) = xn – nx + n – 1 = 0
Tiene una raíz en x = 1, encuentre su multiplicidad
f ‘(x) = nxn – 1 – n
f ‘’(x) = n(n – 2)xn – 2
f ‘(1) = 0 pero f ‘‘(1)  0 la multimplicidad es 2.
Raíces complejas
Si una ecuación con coeficientes reales tiene una raíz compleja
a + ib de multiplicidad a, tiene también la conjugada a – bi con
la misma multiplicidad.
Si el número de raíces imaginarias es 2s y el de reales es r,
entonces
2s + r = n
Si n es impar, entonces r es impar y por tanto al menos una raíz
es real.
Si n es par, todas las raíces pueden ser complejas.
Todo polinomio puede ser factorizado en factores lineales y
cuadráticos.
Ejemplo
Factorice: x4 + x2 + 1 = 0
Sea y = x2,
y

-1/ 2  i 3 / 2
x
 

2

-1  1 - 4 -1  i 3

2
2
1/ 4  3 / 4 -1/ 2
i
2
1 / 4  3 / 4  1 / 2 

2

 1

3
3
   0.5  i

 
i
4
2 
 4

(x – 0.5 – i√3/2)(x – 0.5 + i√3/2)(x + 0.5 – i√3/2) (x + 0.5 +
i√3/2) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
Relación entre raíces y coeficientes
Desarrollando el producto
(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn)
Obtenemos para n = 2, 3, 4:
(x + b1) (x + b2) = x2 + (b1 + b2)x + b1b2
(x + b1) (x + b2) (x + b3) = x3 + (b1+ b2 + b3)x2 + (b1 b2 + b1b3 +
b2 b3)x + b1b2b3
(x + b1) (x + b2) (x + b3) (x + b4) =x4 + (b1+ b2+ b3 + b4)x3 + (b1
b2 + b1b3 + b1b4 + b2 b3+ b2 b4+ b3 b4)x2 + (b1 b2b3 + b1b2b4 +
b1b3 b4 + b2 b3 b4)x + b1b2b3b4
Relación entre raíces y coeficientes
(cont.)
Sea
s1 la suma de b1, b2, b3, bn;
s2 la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos por pares
…
si la suma de b1, b2, b3, bn tomadas en productos de a i,
…
sn el producto de b1, b2, b3, bn,
Entonces
(x + b1) (x + b2)(x + b3) … (x + bn) = xn + s1xn–1 + s2x–2 + … + sn
Relación entre raíces y coef. (cont.)
Se puede mostrar que para un polinomio
a0xn + a1xn–1 + … + an
con raíces a1, a2, …,an. Se cumple que:
Sa1 = – a1/a0
Sa1a2 = a2/a0
…
Sa1 a2 a3 … ai = (–1)iai/a0
…
Sa1 a2 a3 … an = (–1)nan/a0
Donde Sa1 es la suma de raíces, Sa1a2 es la suma de parejas de
productos de raíces, etc.
ejemplo
Resolver la ecuación 3x3 – 16x2 +23x – 6 = 0 si el producto de
dos raíces es 1.
Sean a, b y c las raíces, entonces
a + b + c = –(–16)/3
ab + ac + bc = 23/3
abc = –(– 6)/3 = 2
Además ab = 1. entonces c = 2 y nos queda resolver
a + b = 10/3
ab = 1 = 2
a2 – 10/3a + 1 = 0  x = 2, 3, 1/3
x3 + 2x2 +3x +2 = 0 si a = b + c
2x3 – x2 – 18x +9 = 0 si a + b = 0
3x3 + 2x2 – 19x +6 = 0 si a + b = –1
Acotación De raíces
Si interesan solo las raíces reales de polinomios con coeficientes
reales es importante hallar un número real que sea menor a todas
las raíces y otro número que sea mayor a todas ellas.
Estos números son la cota inferior y superior de las raíces reales
del polinomio.
Para hallar la cota superior buscamos un número que haga positivo
a a0x + a1, y aplicamos la regla de Ruffini para evaluar el
polinomio, si resulta negativo alguno de los términos, probamos
con un número más grande.
Para encontrar la cota inferior sustituimos x por –x y repetimos el
proceso anterior.
Ejemplos
2x5 – 7x4 – 5x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0
Para hacer positivo a 2x – 7, comenzamos con c = 4
4| 2 -7 -5 6 3 -10
2
1
-1
5| 2 -7 -5 6
 probar con un valor mayor que 4
3
-10
2 3 10 56 283 1405
5 es la cota superior de las raíces positivas.
x5 – 7x4 – 100x3 – 1000x2 + 10x – 50 = 0
x – 7, debemos comenzar con x = 7
7|
1 -7 -100 -1000 10
1
10| 1
1
20| 1
1
0
-100  hay que probar un valor mayor
-7 -100 -1000 10
3
-50
-70  hay que probar un valor mayor
-7 -100 -1000 10
13
-50
160
-50
2200 positivos los demás
2x6 + 20x5 + 30x3 + 50x2 + 1 = 0
x  -x
2x6 – 20x5 – 30x3 + 50x2 + 1 = 0
2x – 20 =0 debemos comenzar con x = 10
10|
2
-20 0 -30 50
2
0
11| 1 -20
2
2
0
0
1
-30 hay que probar un valor mayor
0 -30 50
0
1
22 212  Todos posiitivos
11 es la cota superior del polinomio transformado, -11 es la cota
inferior del polinomio original.
Actividad
Hallar las cotas de las raíces de
x4 – 7x3 + 10x2 – 30 = 0
x5 + 8x4 – 14x3 – 53x2 + 56x – 18 = 0
Raíces enteras
Sea la ecuación con coeficientes enteros
f (x) = a0xn + a1xn–1 + … + an = 0
Si c es un entero que es raíz de esta ecuación, entonces
c(a0cn–1 + … + an–1) = –an
Es decir, la raíz divide al término independiente.
Además, f (x) = (x – c) f 1(x) y los coeficientes de f 1(x) son
enteros. Si x = a, f (a) = (a – c) f 1(a) y por tanto f (a) es
divisible por c – a.
Con esto en mente se pueden excluir algunos enteros que dividen
a an en la búsqueda de la raíz.
Ejemplo
Averiguar si la ecuación siguiente tiene o no raíces enteras.
x6 + 3x5 – 36x4 – 45x3 + 93x2 +132x + 140 = 0
Divisores positivos de 140: 1, 2, 4, 5, 7
Divisores negativos de 140: -1, -2, -4, -5, -7
Probamos 1 y -1 con Ruffini
1 | 1 3 -36 -45 93
1 4
-32 -77
16
-1 | 1 3
-36
-45 93
1 2
-38
-7 100
132 140
148
132
288 = f (1)
140
32 108 = f (-1)
4 + 1 = 5 no divide a 108, –4 – 1 = –5 no divide a 288,
excluimos a 4 y –4.
Probamos 2 y -2
-36 -45 93
2 | 1 3
2 | 1
1
132
140
5 -26 -97 -101 -70
0 = f (2)
-12 -121 -343 756 = f1(2)
7
-2 | 1 5
-26 -97 -101 -70
-2 | 1 3 -32 -33
-34 35
1 1
-35 0 = f (-2)
-105 = f2(-2)
Probamos luego con 5
-32 -33 -35
5 | 1
3
5 |
1
8
8
1
13
73
7
0 = f (5)
372 = f3(5)
-5 no divide a 7 queda probar 7 y -7
7| 1
1
8
8
7
15 113 784
-7| 1
8
8
7
1
1
1
0 = f (7)
Resolvemos x2 + x +1 = 0, x = -0.5 + 1.5i y x = -0.5 + 1.5i
Además de x = 2, -2, 5, -7
Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras
x5 + x4 – 20x3 – 44x2 – 21x – 45 = 0
Las posibles raíces enteras son 1, -1, 3, -3, 5, -5, 15, -15, 9 y -9
probamos con 9
9| 1
1 – 20 – 44 – 21 – 45
9 90 630 5274
1
5| 1
10 70 586 5253 …. Valores muy grandes
1 – 20 – 44 – 21 – 45
5 30 50
1 6 10
5| 1 6
5
10
6
6
30 45
9 0
5 es una raíz
9
55 325 1655
1 11 65 331 1664 NO es raíz doble
Probamos con 3
3| 1 6
10
3
6
9
27 111 351
1 9 37 117 360
Probamos -3
-3| 1 6
10
-3
-3|
1
1
6
-9
9
-3 -9
3
1
3
-3
0
-3
0
1
0
Las otras raíces son –i, +i.
0
es Raíz, probamos si es doble
es doble
Investigar si la siguiente ecuación tiene raíces enteras
x4 – x3 – x2 + 19x – 42 = 0
Las posibles raíces enteras son 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 7, -7, 14, -14, 21, -21
probamos con 1
1| 1
-1 -1
1
19 – 42
0
-1 18
0 -1
18 24
-1| 1 -1 –1
19 – 42
1
-1
2
-1 -18
1 -2
1
18
2| 1 -1 -1
2|
1
-2|
60
19 -42
2
2
2
1 1
1
21 0
1
3|
1
1
1
21
2
6
14
3
7
35
1
1
-2
2 -6
1
-1
3 15
1
1
1
21
3
12
39
4
13
60
42
1
21
Probando con -3
-3 |
1
1
1
21
-3 6 -21
1
-2
7
0
es raíz.
Las otras dos raíces se encuentra resolviendo: x2 – 2x + 7 = 0
La solución es: x = 1 + 2.45i y x = 1 – 2.45i
Raíces racionales
Si un polinomio con coeficientes enteros tiene una raíz racional de
la forma c/d (donde c y d son primos entre si) si
1. El numerador c es un factor de an.
2. El denominador d es un factor de a0.
Demostración. Como f (c/d) = 0
cn
c n -1
c
a0 n  a1 n -1  ...an -1  an  0
d
d
d
Multiplicando por dn y luego sumando –andn.


c a0cn-1  a1cn-2d  ... an-1d n-1  -an d n
Como c y d no tiene factores en común, c debe dividir a an. De
forma similar se demuestra la otra parte.
Ejemplo
Mostrar que f (x) = x3 – 4x – 2 = 0 no tiene raíces racionales.
El numerador c debe ser factor de 2 y de 1, y el denominador d
debe ser factor de 1.
Las raíces deben ser de la forma 1/ 1 o 2/ 1 o sea 1 o 2
Por Rufinni encontramos
f (1) = -5
f (-1) = 1
f (2) = -2
f (-2) = -2
Por lo tanto no tiene raíces racionales.
Ejemplo
Hallar las raíces de f (x) = 3x4 + 14x3 + 14x – 8x – 8 = 0
El numerador c debe ser: 1, 2, 4, 8
El denominador d debe ser: 1, 3
Las raíces deben ser: 1, 2, 4, 8, 1/3 o 2/3,  4/3,  8/3
Por Rufinni encontramos
f (1) = 15, f (-1) = 3, f (2) = 192, f (-2) = 0.
Probamos con las racionales para 3x3 + 8x2 – 2x -4
f (1/3) = -8.56, f (-1/3) = -4.26, f (2/3) = - 2.37, f (-2/3) = 0
Las otras raíces se obtienen de: x2 + 2x – 2 = 0, x= 0.732, -2.732
Resolver
Hallar las raíces de f (x) = x4 + 3x3 – 30x2 – 6x – 56 = 0
Regla de signos de Descartes
Sea f (x) un polinomio con coeficientes reales y un término
constante diferente de cero.
1. El número de raíces reales positivas de f (x) es igual al número
de variaciones en signo en f (x) o es menor a ese número en un
entero par.
2. El número de raíces reales negativas de f (x) es igual al número
de variaciones en signo en f (-x) o es menor a ese número en un
entero par.
Ejemplo
Sea f (x) = 2x5 – 7x4 + 3x2 + 6x – 5
Sea f (– x) = –2x5 – 7x4 + 3x2 – 6x – 5
# de soluciones reales positivas:
3
3
1
1
# de soluciones reales negativas:
2
0
2
0
# de soluciones complejas:
0
2
2
4
Actividad
Usando la regla de Descartes determine el número posible de
soluciones reales positivas, reales negativas y complejas de la
ecuación.
2x4 – x3 + x2 – 3x + 4 = 0
Funciones racionales
Una función racional es aquella que es igual al cociente de dos
polinomios.
g x 
f x  
h x 
El dominio de la función son todos los números reales excepto
aquellos que hacen cero al denominador h(x).
Ejemplos
1
f x  
x-2
El dominio es toda x excepto x = 2
5x
f x   2
x -9
El dominio es toda x excepto x = 3
x3 - 8
f x   2
x 4
El dominio es toda x real.
Asíntotas verticales
La recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una
función f si
f (x)  
o
f (x)  –
Cuando x se aproxima a a ya sea por la derecha o por la
izquierda.
1
f x  
x-2
Tiene una asíntota
vertical en x = 2.
Asíntotas horizontales
La recta x = a es una asíntota Horizontal para la gráfica de una
función f si
f (x)  c cuando x   o x  –.
1
f x  
x-2
Tiene una asíntota
horizontal en f (x)  0
cuando x   o x  –
f (x)  c cuando x  
y
y
y=c
y=c
y = f (x)
y = f (x)
x
x
f (x)  c cuando x  –
y
y
y = f (x)
y = f (x)
y=c
y=c
x
x
Teorema sobre asíntotas horizontales
Sea
a0 x n  a1 x n-1  ... an-1 x  an
f x  
b0 x m  b1 x m-1  ... bm-1 x  bm
1) Si n < m, entonces el eje x es la asíntota horizontal para la
gráfica de f.
2) Si n = m, entonces la recta y = a0/b0 es la asíntota horizontal
para la gráfica de f.
3) Si n > m, entonces f no tiene asíntota horizontal.
Ejemplo
3x - 1
f x   2
x - x-6
Como el grado del numerador es menor que el del denominador,
tiene una asíntota horizontal.
Para verificarlo, dividimos numerador y denominador entre la
mayor potencia del denominador (2) y hacemos que x   .
3x - 1
3 1
- 2
2
f x   2 x
 x x
x - x - 6 1- 1 - 6
2
2
x
x
x
Al tomar el limite cuando x   se obtiene f (x) = 0
Guía para trazar la gráfica de una
función racional
Suponga que f (x) = g(x) /h(x), donde g(x) y h(x) son polinomios
que no tienen factor común.
1. Encontrar los puntos de intersección con el eje x.
2. Encontrar las raíces del denominador. Para cada raíz trace una
asíntota vertical.
3. Encontrar f (0) y localizarlo en la gráfica.
4. Aplicar el teorema sobre asíntotas horizontales. Si hay asíntota
horizontal y = c, trace la línea punteada.
5. Si hay una asíntota horizontal y = c, determine si cruza la
gráfica. Las intersecciones son solución de f (x) = c.
6. Trace la gráfica.
Ejemplo
3x  4
f x  
2x - 5
y
1. Cero de numerador: x = –4/3
x
y
2. Cero de denominador: x = 5/2
x
Ejemplo
3x  4
f x  
2x - 5
y
3. f (0) = –4/5
x
y
4. Asíntota horizontal en: y = 3/2
x
Ejemplo
f x  
3x  4
2x - 5
5. f (x) = 3/2
3x  4 3

2x - 5 2
6x + 4 = 6x – 15, no existe
solución, no hay cruce.
6. Trazar gráfica
y
y = 3/2
x
x = 5/2
Gráfica con Geogebra
Trazar gráfica
x2
x2
f x   2

x - x - 2 x  1x - 2
1. Intersección con eje x: x = 0
2. Ceros de denominador: x = –1, 2
3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.
4. Asíntota horizontal en y = 1/1 = 1
5. Cruce con la asíntota horizontal.
x2
1
x  1x - 2
x2  x2 - x - 2
x = -2
x2
x2
f x   2

x - x - 2 x  1x - 2
f (x) > 0 para x<-1
f (x) < 0 para -1<x<2
f (x) > 0 para x>2
y
(-2, 1)
y=1
x
(0, 0)
x = -1
x=2
Trazar gráfica
2x4
f x   4
x 1
1. Intersección con eje x: x = 0
2. Ceros de denominador: no hay
3. Intersección con eje y: mismo punto de paso 1.
4. Asíntota horizontal en y = 2/1 = 2
5. Cruce con la asíntota horizontal.
x4
4
4

2
,
x

2
x
2
4
x 1
No tiene solución real, no hay
cruce.
x4
f x   4
x 2
f (x) > 0 para toda x
y
y=2
x
(0, 0)
Imagen con Geogebra
Asíntotas oblicuas
Si el grado del numerador es mayor que el del denominador en uno,
se tiene una asíntota oblicua.
g x 
r x 
f x  
 ax  b  
h x 
hx 
Cuando x crece el término r(x)/h(x) se hace 0 y la función crece
como ax + b.
Si la diferencia en el grado del numerador y denominador es más
grande la asíntota se ajustará a la curva del cociente.
x2 - 9
f x  
2x - 4
Tiene una asíntota en x = 2.
x=2
y
½x+1
El cociente es igual a:
1
5
f x   x  1 2
2x - 4
Conforme x crece (o decrece)
se aproxima a la recta ½ x +
1.
Note que para x>2 la función
está por debajo de la recta y
para x<2 se encuentra por
arriba.
x
Fracciones parciales
La descomposición en fracciones parciales de una función
racional es una expansión de la forma:
f x 
 F1  F2  ...  Fr
g x 
En donde cada Fk es de la forma
A
m
 px  q 
o
ax
Ax  B
2
 bx  c

n
En donde los polinomios cuadráticos no tienen raíces reales.
Procedimiento
1. Si el grado de f (x) no es menor que el de g(x), dividir ambos
polinomios.
2. Factorizar g(x) en factores de la forma (px + q) y (ax2 +bx + c)
y agrupar los factores comunes de la forma (px + q)m y (ax2 +bx +
c)n.
3. Para factores de la forma (px + q)m con m>=1, descomponer en
Am
A1
A2

 ... 
2
m
px  q  px  q 
 px  q 
4. Para factores de la forma (ax2 +bx + c)n descomponer en:
An x  Bn
A1 x  B1
A2 x  B2

 ... 
2
n
2
2
2
ax  bx  c ax  bx  c
ax  bx  c

5. Encontrar los valores de Ak y Bk.



Ejemplo
4 x 2  13x - 9
x 3  2 x 2 - 3x
La factorización del denominador da: x(x + 3)(x – 1)
4 x 2  13x - 9 A
B
C



x 3  2 x 2 - 3x x x  3 x - 1
4 x 2  13x - 9  Ax  3x - 1  Bxx - 1  Cxx  3
  A  B  C x 2  2 A - B  3C x  - 3 A
Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el
siguiente sistema de ecuaciones:.
Resolviendo se obtiene A = 3, B = -1 y
A B C  4
C = 2.
2
2 A - B  3C  13
- 3 A  -9
4 x  13x - 9 3 - 1
2
 

3
2
x  2 x - 3x x x  3 x - 1
Otro método
En lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0, 1, y -3 en:
4x 2  13x - 9  Ax  3x -1  Bxx -1  Cxx  3
Con x = 0 se obtiene: - 9 = -3A, A = 3
Con x = 1 se obtiene: 4+13–9 = 4C, C = 2
Con x = -3 se obtiene: 36 – 39 –9 = -12B, B = -1
Ejemplo
x 2  10x - 36
2
xx - 3
De acuerdo con la regla
x 2  10x - 36 A
B
C



2
x x - 3 x - 32
xx - 3
x 2  10x - 36  Ax - 3  Bxx - 3  Cx
2
  A  B x 2  - 6 A - 3B  C x  9 A
Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el
siguiente sistema de ecuaciones:.
Resolviendo se obtiene A = -4, B = 5 y
A B 1
C = 1.
- 6 A - 3B  C  10
9 A  -36
x 2  10x - 36 - 4
5
1



2
x x - 3 x - 32
xx - 3
Otro método
En lugar de igualar coeficientes sustituimos x = 0 y 3 en:
x2  10x - 36  Ax - 3  Bxx - 3  Cx
2
Con x = 0 se obtiene: - 36 = 9A, A = -4
Con x = 3 se obtiene: 9 + 30 –36 = 3C, C = 1
El valor de B se puede encontrar con las ecuaciones anteriores.
Ejemplo
4 x 3 - x 2  15x - 29
2 x3 - x 2  8x - 4
Son del mismo grado, es necesario dividir
4 x 3 - x 2  15x - 29
x 2 - x - 21
 2 3
3
2
2 x - x  8x - 4
2 x - x 2  8x - 4
Factorizando el denominador:
2x3 – x2 + 8x – 4= x2(2x – 1) + 4(2x – 1) = (x2 + 4)(2x – 1)
x 2 - x - 21
Ax  B
C


2 x3 - x 2  8x - 4 x 2  4 2 x - 1
x2 – x – 21 = (2A + C)x2 + (–A + 2B)x – B + 4C
Igualando coeficientes de x2, x y término independiente queda el
siguiente sistema de ecuaciones:.
2A  C  1
- A  2 B  -1
- B  4C  -21
Resolviendo se obtiene A = 3, B
= 1 y C = -5
4 x 3 - x 2  15x - 29
3x  1
-5

2


2 x3 - x 2  8x - 4
x2  4 2x -1
Ejemplo
5 x 3 - 3x 2  7 x - 3
x
2

1
2
El factor cuadrático está repetido
5 x 3 - 3x 2  7 x - 3
x
2

1
2

Ax  B Cx  D

2
2
x 1
x2 1


5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 + (A + C)x + B + D
A = 5, B = -3, C = 2 y D = 0
5 x 3 - 3x 2  7 x - 3
x
2

1
2

5x - 3
2x

x2 1 x2 1 2

