Transcript Gráficas de funciones racionales

Gráficas de una funciones
racionales
Profa. Caroline Rodríguez
UPRA
MATE 3011
Una función racional es una función que se
puede expresar de la forma
f ( x ) donde f(x) y g(x) son funciones
p( x ) 
g ( x ) polinómicas.
Ejemplos:
1
f ( x) 
x2
2x
f ( x) 
3 x
x2  4
g( x)  3
x  9x
x3  4 x 2  4 x
p( x ) 
3
4
q( x )  2
x  3x  4
2 x 2  3x  5
h( x ) 
x2  2
1
Consideremos la función racional: f ( x ) 
x2
Hasta ahora sabemos que:
•El dominio de f(x) es D:   2
•NO tiene intercepto en x.
•El intercepto en y es y = - ½.
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
1
f ( x) 
x2
Aunque x=2 NO
pertenece al dominio
podemos observar lo
que ocurre con valores
que están muy cerca de
x=2 (un poco mayor o
un poco menor).
Grafiquemos algunos puntos
Si se eligen valores para
la x un poco mayores
que 2 (2.01, 2.001, etc) ,
los valores de la función
se hacen muy grandes.
Si se eligen valores para
la x un poco menores
que 2 (1.9, 1.99, etc) , los
valores de la función se
hacen muy pequeños.
Grafiquemos algunos puntos
Estos puntos los podemos
unir con una curva,
disyunta, suave que se
extiende en direcciones
opuestas.
• Los puntos se acercan a
esta línea vertical
entrecortada, x=2, por
ambos lados, pero
extendiéndose en
direcciones opuestas.
• La línea vertical, x=2,
separa la gráfica en dos
partes disyuntas.
• x=2 se llama una
asíntota vertical
1
f ( x) 
x2
Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(Comportamiento en
los extremos)
Cuando x  , y  0
Cuando x  , y  0
1
f ( x) 
x2
A medida que los
valores de x se hacen
más negativos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
Cuando x  , y  0
A medida que los
valores de x se hacen
más positivos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
Cuando x  , y  0
1
f ( x) 
x2
En este caso, la
línea y=0 se llama
una asíntota
horizontal, porque
los valores de la
función se quedan
bien cerca de esta
línea a medida que
x aumenta o
disminuye
grandemente..
Hallar las asíntotas de
funciones racionales
Asíntotas Verticales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función
simplificada es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO
existen factores comunes, distintos de uno,
entre el numerador y denominador.
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
2  5x
1. f  x  
2  2x
Calculamos los valores de x que
hacen el denominador igual a cero:
2 + 2x = 0  x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota
vertical de la función.
Asíntotas de funciones racionales
2  5x
f x 
2  2x
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando
ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
3
Ej. f ( x ) 
El eje de x (y=0) es la
3 x  15
asíntota horizontal de
x 1
las gráficas de f(x) y
g( x)  2
x  16
g(x)
Asíntotas horizontales
2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del
denominador.
9x  1
Ej. f ( x ) 
3 x  15
4x2  1
g( x) 
2
16  x
La asíntota horizontal
de la gráfica de
9
f(x) es y   3
3
4
 4
g(x) es y 
1
Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO
tiene asíntota horizontal.
5x3  4x  7
Ej. f ( x ) 
3 x  15
2
x  16
g( x) 
x 1
Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen
asíntota horizontal
Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) horizontal(es) si existe(n).
2  5x
1. f  x  
2  2x
El grado del numerador y del
denominador es 1.
an  5

bn
2
La asíntota vertical de la f(x) es la recta
y
5
2
Asíntotas de funciones racionales
2  5x
f x 
2  2x
Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales
podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.
•Determinar asíntotas horizontales.
•Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos
puntos adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves.
Gráficas de funciones racionales
2  5x
f x 
2  2x
Los interceptos
quedan en un
mismo pedazo
de la gráfica.
Podemos unir
esto dos puntos
con una curva
suave que se
acerca a las
asíntotas.
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar
la función en
algunos otros
puntos para
localizar la otra
parte de la
gráfica.
2  5x
f x 
2  2x
2  5 2 
f  2 

2  2  2 
12
 6
2
Gráficas de funciones racionales
Debemos evaluar
la función en
algunos otros
puntos para
localizar la otra
parte de la
gráfica.
2  5x
f x 
2  2x
(2,6)
2x
Trazar la gráfica de: f ( x ) 
3 x
Intercepto - y:
20
0
f (0) 
 0
3  0 3
Intercepto - x
2x
0
3 x
2x  0
x0
(0,0)
Asíntota vertical:
Calculamos los valores de x
que hacen el denominador
igual a cero:
3–x=0  x = 3
(ecuación de la asíntota)
Asíntota horizontal:
y
an
bn
y  2

2
1
 2
(ecuación de la asíntota)
Puntos adicionales
-5
2x
y
3 x
-10/8 = -1.25
0
0
2.5
5/.5 = 10
3
Undefined
3.5
7/-.5 = -14
5
10/-2 = -5
10
20/-7 = -2.86
x
50 100/-47= -2.13
x 4
Trazar2la gráfica de: g( x)  2
x 4
x

2
x
y
x
2
x  2x
2
-2
0
-1
-1
-.5
-3
-.1
-19
0
Und
1
3
1.5
2.33
1.9
2.05
2
und
Posibles asíntotas verticales:
x=0yx=2
Comportamiento de la
función alrededor de estos
valores:
Cerca de 0, los valores de f(x)
van aumentando. Sin embargo
esto no ocurre cerca del 2.
Las asíntotas verticales son los valores que
hacen cero el denominador en una expresión
racional simplificada.
x  4 x  2x  2 x  2
y 2


x  2x
x x  2 
x
x2
x2  4
Las funciones y  2
y y x
x  2x
son equivalentes excepto en x = 2.
2
x  4 NO tiene una asíntota en x = 2. La
g( x)  2
x  2 x gráfica tiene un hueco.
2
x 4
g ( x)  2
x  2x
2
Al igual que en los
casos anteriores,
podemos identificar
la ecuación de la
asíntota horizontal
dividiendo el
coeficiente principal
del numerador entre
coeficiente principal
del denominador.
1
y  1
1
Para identificar asíntotas
horizontales, examinemos qué
ocurre con los valores de y,
cuando x toma valores bien
grande.
2
x 4
x
y 2
x  2x
10
1.2
100
1.02
1000
1.002
Por lo tanto, la asíntota
horizontal es y = 1.
Gráficas de funciones racionales
x2  4
g ( x)  2
x  2x
Hueco en la gráfica.
y

Asíntota horizontal en
y = 1.







x

Asíntota vertical en
x = 0.
Trazar la gráfica de:
2 x 2  10x  12
f x  
2
x 9
Primero simplicamos la función.
2 x 2  10x  12  x  32 x  4

2
 x  3 x  3
x 9
2x  4

x3
La recta vertical x = 3 es
la única asíntota vertical
de esta función.
La recta horizontal y = 2
es la asíntota horizontal
de esta función.
Trazar la gráfica de:
2 x 2  10x  12
f x  
2
x 9
Determinemos los interceptos.
2(0) 2  10(0)  12
f (0) 
(0) 3  9
4
12
4

 
 0, 
9
3
3

2(2) 2  10(2)  12
f (2) 
(2) 3  9
0

0

 2,0
 17
Trazar la gráfica de:
Busquemos un punto
adicional:
2
2
(
8
)
 10(8)  12
f 8 
2
(8)  9
220
f (8) 
4
55
(8,4)
NOTE el hueco en el
2

  3, 
3
punto 
2 x 2  10x  12
f x  
x2  9