Transcript Bessel

5.3 Funciones Especiales
• Ecuación de
Bessel
de
orden
v
2
2
2
x y  xy  ( x  v ) y  0
(1)
donde v  0, y x = 0 es un punto singular
regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman
funciones de Bessel.
• Lengender’s Equation de order n
(1  x 2 ) y  2 xy  n(n  1) y  0
(2)
donde n es un entero no negativo, y x = 0 es
un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2)
se llaman funciones de Legendre.
La Solución de la Ecuación de Bessel
• Puesto que x = 0 es un punto singular regular,
sabemos que existe al menos una solución de

n r
y

c
x
la forma
. Entonces de (1),
 n 0 n
x 2 y  xy  ( x 2  v 2 ) y

  cn (n  r )( n  r  1) x
n r
n 0
 c0 (r  r  r  v ) x  x
2
2
 c0 (r  v ) x  x
2
2
r
r
r


  cn (n  r ) x
n 0
r

  cn x
n r  2
v
 cn [(n  r )(n  r  1)  (n  r )  v
n 1
2
 v ]x  x
2
n
2
n 0

 cn [(n  r )
n 1
n r
r

n r
c
x
n
n 0
2
]x  x
n
r

 cn x n2
n 0

 cn x n2
n 0
(3)
De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v,
r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos
(1 + 2v)c1 = 0
(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0
ó
ck 2
 ck

,
(k  2)(k  2  2v)
k  0, 1, 2, 
(4)
La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0,
así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea
k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos
c2 n2
(5)
c 
2n
2 2 n( n  v )
Así
c0
22．1．(1  v)
c2
c0
c4   2
 4
2 ．2(2  v) 2 ．1．2(1  v)(2  v)
c4
c0
c6  2
 6
2 ．3(3  v)
2 ．1．2．3(1  v)( 2  v)(3  v)

c2  
c2 n
(1) n c0
 2n
,
2 n!(1  v)(2  v)  (n  v)
n  1, 2, 3, 
(6)
Elegimos c0 como valor específico
1
c0  v
2 (1  v)
donde (1 + v) es la función gamma. Vease el
Apéndice II. Hay una relación importante:
(1 + ) = ()
Así que podemos reducir el denominador de (6):
(1  v  1)  (1  v)(1  v)
(1  v  2)  (2  v)(2  v)  (2  v)(1  v)(1  v)
De ahí que podemos poner (6) como
c2 n
(1)n
 2 nv
, n  0,1,2,...
2
n!(1  v  n)
Funciones de Bessel de Primera Clase
• Podemos definir Jv(x) mediante

(1)
x

J v ( x)  
 
n 0 n! (1  v  n)  2 
y
n

2 nv
(1)
x

J v ( x )  
 
n 0 n! (1  v  n)  2 
n
(7)
2 n v
(8)
En otras palabras, la solución general de (1)
en (0, ) es
y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v  entero
(9)
Fig 5.3
Fig 5.3
Ejemplo 1
• Considere la ED
x 2 y" xy'( x 2  1/4) y  0
Hallamos v = ½, y la solución general en (0, )
es
y  c1J1/2 ( x)  c2 J 1/2 ( x)
Funciones de Bessel de Segunda Clase
• Si v  entero, entonces
cos v J v ( x)  J v ( x)
(10)
Yv ( x) 
sin v
y la función Jv(x) son soluciones linealmente
independientes de (1). Otra solución de (1) es
y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
• Como v  m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0.
De la regla de L’Hopital, la función
Ym ( x)  lim Yv ( x)
vm
y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
x 2 y" xy'( x 2  m2 ) y  0
De ahí que para cada valor de v, la solución
general de (1) es
y  c1J v ( x)  c2Yv ( x)
Yv(x) se llama función de Bessel de segunda
clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).
(11)
Fig 5.4
Ejemplo 2
• Considere la ED
x 2 y" xy'( x 2  9) y  0
Hallamos v = 3, y de (11) la solución general
en (0, ) es
y  c1J 3 ( x)  c2Y3 ( x)
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel
• Sea t = x,  > 0, en
x 2 y  xy  ( 2 x 2  v 2 ) y  0
entonces por la regla de la cadena,
dy dy dt
dy


dx dt dx
dt
2
d 2 y d  dy  dt 
d
y
2
     
2
dt  dx  dx 
dx
dt 2
(12)
• Así, (12) pasa a ser

2

2
t
d
   2 y   t  dy  t 2  v 2 y  0
 
 
2
dt    dt
 


2
d
y dy 2 2
2
t
t  t v y  0
2
dt
dt
La solución de la anterior ED es
y = c1Jv(t) + c2Yv(t)
Sea t = x, tenemos
y = c1Jv(x) + c2Yv(x)
(13)
• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel
modificada de orden v,
x 2 y  xy  ( x 2  v 2 ) y  0
(14)
• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se
transforma en
2
d
y dy
2
2
2
t

t

(
t


)y  0
2
dt
dt
Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de
valores reales, llamada función de Bessel modificada
de primera clase de orden v se define como
(15)
I ( x)  i  J (ix)
• Análogamente a (10), la función de Bessel
modificada de segunda clase de orden v  entero
se define como
 I  ( x)  I ( x)
(16)
K ( x) 
2
sin
y para cualquier v = n entero,
K n ( x)  lim K ( x)
 n
Puesto que Iv y Kv son linealmente
independientes en (0, ), la solución general de
(14) es
(17)
y  c1I ( x)  c2 K ( x)
• Consideramos otra ED importante:
 2 2 2 c 2 a 2  p 2c 2 
1  2a
 y  0, p  0 (18)
y 
y   b c x

2
x
x


La solución general de (18) es
y  x a [c1J p (bx c )  c2Yp (bx c )]
Aquí no se especifican los detalles.
(19)
Ejemplo 3
Hallar la solución general de xy  3 y  9 y  0 en (0, )
Solución
Escribiendo la ED como
3
9
y  y  y  0
x
x
recurriendo to (18)
1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0
luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.
De (19) la solución es
1
1/ 2
1/ 2
y  x [c1J 2 (6 x )  c2Y2 (6 x )]
Ejemplo 4
• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8
t


mx  ke x  0,   0
Se debe comprobar que tomando
se tiene
2 k t / 2
s
e
 n
2
d
x
dx 2
2
s
s s x0
2
ds
ds
Ejemplo 4 (2)
La solución de la nueva ecuación es
x = c1J0(s) + c2Y0(s),
Si volvemos a sustituir
2 k t / 2
s
e
 n
obtenemos la solución.
 2 k t / 2 
 2 k t / 2 
x(t )  c1J 0 
e
e
  c2Y0 

 m

 m

Propiedades
• (1) J m ( x)  (1)m J m ( x)
m
J
(

x
)

(

1
)
J m ( x)
• (2) m
0 , m  0
• (3) J m (0)  
1 , m  0
• (4) lim x0 Ym ( x)  
Ejemplo 5
Obtener la fórmula xJ 'v ( x)  vJ v ( x)  xJ v1 ( x)
Solución
De la ecuación (7) se deduce

(1) n (2n  v)  x 
xJ v ( x)  
 
n 0 n! (1  v  n)  2 

2 nv
(1)
 x
 
n 0 n! (1  v  n)  2 
n
 v
2 nv

(1) n  x 
 
n 0 n! (1  v  n)  2 
 2
n
2 n  v 1

(1) n
x

 vJ v ( x)  x 
 
(
n

1
)!

(
1

v

n
)
2
n 1



k  n 1
2 nv
Ejemplo 5 (2)

(1)
x

 vJ v ( x)  x 
 
k 0 k!( 2  v  k )  2 
 vJ v ( x)  xJ v1 ( x)
k
2 k v 1
• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como
v
J v ( x)  J v ( x)   J v1 ( x)
x
que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos
lados por el factor de integración x-v, se obtiene
d v
(20)
v
[ x J v ( x)]   x J v1 ( x)
dx
Se puede demostrar que
d v
(21)
v
[ x J v ( x)]   x J v1 ( x)
dx
Cuando y = 0, se deduce del (14) que
(22)
J 0 ( x)   J1 ( x), Y0( x)  Y1 ( x)
Funciones de Bessel Esféricas
• Cuando el orden v es la mitad de un entero
impar, esto es,
1/2, 3/2, 5/2, …..
La función de Bessel de primera clase Jv(x)
puede expresarse como función de Bessel
esférica :

(1) n
 x
J1 / 2 ( x)  
 
n  0 n!(1  1 / 2  n)  2 
2 n 1 / 2
Como (1 + ) = () y (1/2) = ½,
entonces
 1
 (2n  1)!
1   n   2n1

 2
 2
n!
De ahí que

(1) n
J1/ 2 ( x)  
n 0 ( 2n  1)! 
n!
22 n1 n!
 x
 
 2
2 n 1 / 2
2  (1)n 2 n1

x

x n0 (2n  1)!
y
2
J1/ 2 ( x) 
sin x
x
2
J 1/ 2 ( x) 
cos x
x
(23)
(24)
La Solución de Ecuación de Legendre
• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos
n
y  
c
x
n 0 n
Después de sustituir y simplificar, obtenemos
n(n  1)c0  2c2  0
(n  1)( n  2)c1  6c3  0
( j  2)( j  1)c j  2  (n  j )( n  j  1)c j  0
o en las formas siguientes:
n(n  1)
c2  
c0
2!
(n  1)( n  2)
c3  
c1
3!
(n  j )( n  j  1)
c j 2  
c j , j  2, 3, 4, 
( j  2)( j  1)
(25)
Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
n(n  1) 2 (n  2)n(n  1)( n  3) 4

y1 ( x)  c0 1 
x 
x
2!
4!

(n  4)( n  2)n(n  1)( n  3)( n  5) 6

x  
6!

(n  1)( n  2) 3 (n  3)( n  1)( n  2)( n  4) 5
y2 ( x)  c1  x 
x 
x
3!
5!

(n  5)( n  3)( n  1)( n  2)( n  4)( n  6) 7

x   (26)
7!

Observaciones: Si n es un entero par, la
primera serie termina, mientras que y2 es una
serie infinita.
Si n es un entero impar, la serie y2 termina
con xn.
Polinomios de Legendre
• Los siguientes polinomios de orden n son
polinomios de Legendre:
P0 ( x)  1,
P1 ( x)  x
1 2
1 3
P2 ( x)  (3 x  1),
P3 ( x)  (5 x )  3 x
(27)
2
2
1
1

2
P4 ( x)  (35 x  30 x  3), P5 ( x)  (63x5  70 x3  15 x)
8
8
Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
n  0 : (1  x 2 ) y  2 xy  0
2
n  1 : (1  x ) y  2 xy  2 y  0
n  2 : (1  x 2 ) y  2 xy  6 y  0
n  3 : (1  x 2 ) y  2 xy  12 y  0

Fig 5.5

(28)
Fig 5.5
Propiedades
• (1) Pn ( x)  (1) n Pn ( x)
• (2) Pn (1)  1
• (3) Pn (1)  (1) n
• (4) Pn (0)  0, n impar
• (5) P'n (0)  0, n par
Relación de Recurrencia
• Sin comprobación, tenemos
(k  1) Pk 1 ( x)  (2k  1) xPk ( x)  kPk 1 ( x)  0
(29)
que es válida para k = 1, 2, 3, …
Otra fórmula puede generar los polinomios de
Legendre por diferenciación. La fórmula de
Rodrigues para estos polinomios es:
1 dn 2
n
Pn ( x)  n
(
x

1
)
, n  0, 1, 2, ...
n
2 n! dx
(30)