Transcript Bessel
5.3 Funciones Especiales
• Ecuación de
Bessel
de
orden
v
2
2
2
x y xy ( x v ) y 0
(1)
donde v 0, y x = 0 es un punto singular
regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman
funciones de Bessel.
• Lengender’s Equation de order n
(1 x 2 ) y 2 xy n(n 1) y 0
(2)
donde n es un entero no negativo, y x = 0 es
un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2)
se llaman funciones de Legendre.
La Solución de la Ecuación de Bessel
• Puesto que x = 0 es un punto singular regular,
sabemos que existe al menos una solución de
n r
y
c
x
la forma
. Entonces de (1),
n 0 n
x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y
cn (n r )( n r 1) x
n r
n 0
c0 (r r r v ) x x
2
2
c0 (r v ) x x
2
2
r
r
r
cn (n r ) x
n 0
r
cn x
n r 2
v
cn [(n r )(n r 1) (n r ) v
n 1
2
v ]x x
2
n
2
n 0
cn [(n r )
n 1
n r
r
n r
c
x
n
n 0
2
]x x
n
r
cn x n2
n 0
cn x n2
n 0
(3)
De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v,
r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos
(1 + 2v)c1 = 0
(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0
ó
ck 2
ck
,
(k 2)(k 2 2v)
k 0, 1, 2,
(4)
La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0,
así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea
k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos
c2 n2
(5)
c
2n
2 2 n( n v )
Así
c0
22.1.(1 v)
c2
c0
c4 2
4
2 .2(2 v) 2 .1.2(1 v)(2 v)
c4
c0
c6 2
6
2 .3(3 v)
2 .1.2.3(1 v)( 2 v)(3 v)
c2
c2 n
(1) n c0
2n
,
2 n!(1 v)(2 v) (n v)
n 1, 2, 3,
(6)
Elegimos c0 como valor específico
1
c0 v
2 (1 v)
donde (1 + v) es la función gamma. Vease el
Apéndice II. Hay una relación importante:
(1 + ) = ()
Así que podemos reducir el denominador de (6):
(1 v 1) (1 v)(1 v)
(1 v 2) (2 v)(2 v) (2 v)(1 v)(1 v)
De ahí que podemos poner (6) como
c2 n
(1)n
2 nv
, n 0,1,2,...
2
n!(1 v n)
Funciones de Bessel de Primera Clase
• Podemos definir Jv(x) mediante
(1)
x
J v ( x)
n 0 n! (1 v n) 2
y
n
2 nv
(1)
x
J v ( x )
n 0 n! (1 v n) 2
n
(7)
2 n v
(8)
En otras palabras, la solución general de (1)
en (0, ) es
y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero
(9)
Fig 5.3
Fig 5.3
Ejemplo 1
• Considere la ED
x 2 y" xy'( x 2 1/4) y 0
Hallamos v = ½, y la solución general en (0, )
es
y c1J1/2 ( x) c2 J 1/2 ( x)
Funciones de Bessel de Segunda Clase
• Si v entero, entonces
cos v J v ( x) J v ( x)
(10)
Yv ( x)
sin v
y la función Jv(x) son soluciones linealmente
independientes de (1). Otra solución de (1) es
y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
• Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0.
De la regla de L’Hopital, la función
Ym ( x) lim Yv ( x)
vm
y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
x 2 y" xy'( x 2 m2 ) y 0
De ahí que para cada valor de v, la solución
general de (1) es
y c1J v ( x) c2Yv ( x)
Yv(x) se llama función de Bessel de segunda
clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).
(11)
Fig 5.4
Ejemplo 2
• Considere la ED
x 2 y" xy'( x 2 9) y 0
Hallamos v = 3, y de (11) la solución general
en (0, ) es
y c1J 3 ( x) c2Y3 ( x)
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel
• Sea t = x, > 0, en
x 2 y xy ( 2 x 2 v 2 ) y 0
entonces por la regla de la cadena,
dy dy dt
dy
dx dt dx
dt
2
d 2 y d dy dt
d
y
2
2
dt dx dx
dx
dt 2
(12)
• Así, (12) pasa a ser
2
2
t
d
2 y t dy t 2 v 2 y 0
2
dt dt
2
d
y dy 2 2
2
t
t t v y 0
2
dt
dt
La solución de la anterior ED es
y = c1Jv(t) + c2Yv(t)
Sea t = x, tenemos
y = c1Jv(x) + c2Yv(x)
(13)
• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel
modificada de orden v,
x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y 0
(14)
• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se
transforma en
2
d
y dy
2
2
2
t
t
(
t
)y 0
2
dt
dt
Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de
valores reales, llamada función de Bessel modificada
de primera clase de orden v se define como
(15)
I ( x) i J (ix)
• Análogamente a (10), la función de Bessel
modificada de segunda clase de orden v entero
se define como
I ( x) I ( x)
(16)
K ( x)
2
sin
y para cualquier v = n entero,
K n ( x) lim K ( x)
n
Puesto que Iv y Kv son linealmente
independientes en (0, ), la solución general de
(14) es
(17)
y c1I ( x) c2 K ( x)
• Consideramos otra ED importante:
2 2 2 c 2 a 2 p 2c 2
1 2a
y 0, p 0 (18)
y
y b c x
2
x
x
La solución general de (18) es
y x a [c1J p (bx c ) c2Yp (bx c )]
Aquí no se especifican los detalles.
(19)
Ejemplo 3
Hallar la solución general de xy 3 y 9 y 0 en (0, )
Solución
Escribiendo la ED como
3
9
y y y 0
x
x
recurriendo to (18)
1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0
luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.
De (19) la solución es
1
1/ 2
1/ 2
y x [c1J 2 (6 x ) c2Y2 (6 x )]
Ejemplo 4
• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8
t
mx ke x 0, 0
Se debe comprobar que tomando
se tiene
2 k t / 2
s
e
n
2
d
x
dx 2
2
s
s s x0
2
ds
ds
Ejemplo 4 (2)
La solución de la nueva ecuación es
x = c1J0(s) + c2Y0(s),
Si volvemos a sustituir
2 k t / 2
s
e
n
obtenemos la solución.
2 k t / 2
2 k t / 2
x(t ) c1J 0
e
e
c2Y0
m
m
Propiedades
• (1) J m ( x) (1)m J m ( x)
m
J
(
x
)
(
1
)
J m ( x)
• (2) m
0 , m 0
• (3) J m (0)
1 , m 0
• (4) lim x0 Ym ( x)
Ejemplo 5
Obtener la fórmula xJ 'v ( x) vJ v ( x) xJ v1 ( x)
Solución
De la ecuación (7) se deduce
(1) n (2n v) x
xJ v ( x)
n 0 n! (1 v n) 2
2 nv
(1)
x
n 0 n! (1 v n) 2
n
v
2 nv
(1) n x
n 0 n! (1 v n) 2
2
n
2 n v 1
(1) n
x
vJ v ( x) x
(
n
1
)!
(
1
v
n
)
2
n 1
k n 1
2 nv
Ejemplo 5 (2)
(1)
x
vJ v ( x) x
k 0 k!( 2 v k ) 2
vJ v ( x) xJ v1 ( x)
k
2 k v 1
• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como
v
J v ( x) J v ( x) J v1 ( x)
x
que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos
lados por el factor de integración x-v, se obtiene
d v
(20)
v
[ x J v ( x)] x J v1 ( x)
dx
Se puede demostrar que
d v
(21)
v
[ x J v ( x)] x J v1 ( x)
dx
Cuando y = 0, se deduce del (14) que
(22)
J 0 ( x) J1 ( x), Y0( x) Y1 ( x)
Funciones de Bessel Esféricas
• Cuando el orden v es la mitad de un entero
impar, esto es,
1/2, 3/2, 5/2, …..
La función de Bessel de primera clase Jv(x)
puede expresarse como función de Bessel
esférica :
(1) n
x
J1 / 2 ( x)
n 0 n!(1 1 / 2 n) 2
2 n 1 / 2
Como (1 + ) = () y (1/2) = ½,
entonces
1
(2n 1)!
1 n 2n1
2
2
n!
De ahí que
(1) n
J1/ 2 ( x)
n 0 ( 2n 1)!
n!
22 n1 n!
x
2
2 n 1 / 2
2 (1)n 2 n1
x
x n0 (2n 1)!
y
2
J1/ 2 ( x)
sin x
x
2
J 1/ 2 ( x)
cos x
x
(23)
(24)
La Solución de Ecuación de Legendre
• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos
n
y
c
x
n 0 n
Después de sustituir y simplificar, obtenemos
n(n 1)c0 2c2 0
(n 1)( n 2)c1 6c3 0
( j 2)( j 1)c j 2 (n j )( n j 1)c j 0
o en las formas siguientes:
n(n 1)
c2
c0
2!
(n 1)( n 2)
c3
c1
3!
(n j )( n j 1)
c j 2
c j , j 2, 3, 4,
( j 2)( j 1)
(25)
Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
n(n 1) 2 (n 2)n(n 1)( n 3) 4
y1 ( x) c0 1
x
x
2!
4!
(n 4)( n 2)n(n 1)( n 3)( n 5) 6
x
6!
(n 1)( n 2) 3 (n 3)( n 1)( n 2)( n 4) 5
y2 ( x) c1 x
x
x
3!
5!
(n 5)( n 3)( n 1)( n 2)( n 4)( n 6) 7
x (26)
7!
Observaciones: Si n es un entero par, la
primera serie termina, mientras que y2 es una
serie infinita.
Si n es un entero impar, la serie y2 termina
con xn.
Polinomios de Legendre
• Los siguientes polinomios de orden n son
polinomios de Legendre:
P0 ( x) 1,
P1 ( x) x
1 2
1 3
P2 ( x) (3 x 1),
P3 ( x) (5 x ) 3 x
(27)
2
2
1
1
2
P4 ( x) (35 x 30 x 3), P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x)
8
8
Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
n 0 : (1 x 2 ) y 2 xy 0
2
n 1 : (1 x ) y 2 xy 2 y 0
n 2 : (1 x 2 ) y 2 xy 6 y 0
n 3 : (1 x 2 ) y 2 xy 12 y 0
Fig 5.5
(28)
Fig 5.5
Propiedades
• (1) Pn ( x) (1) n Pn ( x)
• (2) Pn (1) 1
• (3) Pn (1) (1) n
• (4) Pn (0) 0, n impar
• (5) P'n (0) 0, n par
Relación de Recurrencia
• Sin comprobación, tenemos
(k 1) Pk 1 ( x) (2k 1) xPk ( x) kPk 1 ( x) 0
(29)
que es válida para k = 1, 2, 3, …
Otra fórmula puede generar los polinomios de
Legendre por diferenciación. La fórmula de
Rodrigues para estos polinomios es:
1 dn 2
n
Pn ( x) n
(
x
1
)
, n 0, 1, 2, ...
n
2 n! dx
(30)